高数第十二章习题课

n0
aqn
n0
当 当
q q
1 时, 1 时,
收敛, 发散.
lim
n
sn
a， 1 q
lim
n
sn
，
级数收敛， 级数发散．
(2) 1 2 3 n 是发散的.
(3)调和级数
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
用莱布尼茨判别法判别下列级数的敛散性:
1、 1 1 1 1 (1)n1 1 收敛
234
n
(1)
un
1 n
1 n 1
un1,
(2)
lim 1 0 n n
条件收敛
2、 1 1 1 1 (1)n1 1
收敛
2! 3! 4!
n!
(1)
un
1 n!
(n
1 1)!
un1,
(2)
lim 1 0 n n!
定.
(1)n1n 1 2 3 4
n1
(1 2) (3 4) [(2n 1) 2n]
发散
三、级数收敛的必要条件(性质5)
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
注(1)级数的一般项不趋于0 , 是判定级数发散的 一种常用方法 .
例如(2,)
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
n
lim
n
(n
1) 3n
2n1
lim
n
(n
3n1 1) 2n1
n 2n 3n
n 2n
lim 3 n 3 1 n 2 n 1 2
故级数发散
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理7 . ( 莱布尼茨 判别法 ) 若交错级数满足条件:
有趋界向. .
部分和序列
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有 (1) 若级数
收敛 , 则级数
也收敛 ;
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
n1
1 np
1
1 2p
1 3p
1 np
常数
p
>
0
P
级数
当 当
p p
1 1
时, 时,
收敛; 发散.
1
np
n1
1 1 2p
1 3p
第十二章 习题课
第一节
第十二章
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
一、常数项级数的概念
定义： 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为(常数项)无穷级数，
其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
rn un1 .
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数
条件收敛 .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
说明:
(1)性质1、2结合起来可写成：
设有两个收敛级数 S un , vn 则级数
n1
n1
( un vn ) (, 为任意常数）也收敛,其和为 S .
使得一大类级数的收敛判定问题，转化为正 项级数的收敛问题 .
注意
一般而言，由
| un |收敛，能推出
un 收敛,
i 1
i 1
但由 | un | 发散，并不能推出 un 发散.
i 1
i 1
如 (1)n 1
n1
n
1
i1 n
发散,
但
(1)n 1 收敛
类似可证前面加上或改变有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛,且其和不变.
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
说明:(1)此性质说明收敛级数项中任意加括号， 既不改 变级数的收敛性，也不改变它的和.
(2)若一个级数加括号后收敛，则原级数敛散性不
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1或 时, 级数发散 .
(3)当 1 时级数可能收敛也可能发散.
比值审敛法的优点:
不必找参考级数.直接从级数本身的构成—— 即通项来判定其敛散性.
练习
3 1 2
32 2 22
33 3 23
3n n 2n
；判断敛散性.
3n1
解：lim un1 u n
绝对收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1、
1
n1 n
发散
2、
1
收敛
n1 n!
1
lim (n 1)! lim 1 0
n 1
n n 1
n!
定理8. 绝对收敛的级数一定收敛 .
定理8表明：
如果级数 un 收敛，则级数 un 必定收敛.
n1
n1
上述定理的作用：
任意项级数 敛散性问题
正项级数 敛散性问题
n1
(2) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(3) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 .
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
性质3. 在级数前面加上或去掉或改变有限项, 不会 影响级数的敛散性.
数敛散性相同.
极限状况相同, 故新旧两级
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
则百度文库无穷级数 收敛 ,
并称 S 为级数的和,（也称级数收敛于S） 记作
则称无穷级数发散 .
即
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
当级数收敛时, 称差值
显然
为级数的余项.
(1) 等比级数（几何级数）
aqn a aq aq2 aqn (a 0) .
1 np
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim n
un vn
l
(l可以代表普通实数，也可以代表
）
则有 (1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
定理4 . 比值审敛法 (达朗贝尔判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
因此这个级数发散.
原命题 真 逆命题 假 否命题 假 逆否命题 真
第二节
第十二章
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
2.正项级数收敛的充要条件:
定理 1. 正项级数
发收散敛