常见离散型随机变量的分布 (1)

新乡医学院教案首页单位：计算机教研室

课程名称医药数理统计方法

授课题目 2.1 常见离散型随机变量的分布授课对象05级药学专业

时间分配超几何分布15分钟二项分布35分钟泊松分布30分钟

课时目标理解掌握常见离散型随机变量的分布函数

掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课重点伯努利试验、二项分布、泊松分布

授课难点两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别

授课形式小班理论课

授课方法启发讲解

参考文献医药数理统计方法刘定远主编人民卫生出版社概率论与数理统计刘卫江主编清华大学出版社北京交通大学出版社

高等数学(第五版)同济大学编高等教育出版社

思考题二项分布和超几何分布有何联系？

教研室主任及课程负责人签字教研室主任（签字）课程负责人（签字）年月日年月日

基 本 内 容 备 注 常见离散型随机变量的分布

一、超几何分布

例1 带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只作实验，表示X 放出的蜂中工蜂的只数，求X 的分布列。

解

X

1

2

3

4

5

P 052010530C C C 142010530C C C 232010530C C C 322010530C C C 412010530C C C 502010

5

30

C C C 定义 1 若随机变量X 的概率函数为

{} 0,1,2,,k n k

M N M

n

N

C C P X k k l C --⋅===

其中N≥M>0,n≤N -M,l=min(M,n),则称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布，记作X~H(N,M,n).

超几何分布的分布函数为()k n k

M N M

n

k x N

C C F x C --≤⋅=∑ 二、二项分布

1. Bernoulli 试验

只有两个可能结果的试验称为Bernoulli 试验。

例2 已知某药有效率为0.7，今用该药试治某病3例，X 表示治疗无效的人数，求X 的分布列。

解：X 可取0，1，2，3。 用A i

表示事件“第i 例治疗无效”,i=1,2,3.则()0.7i P A p ==

P{X=0}=33

123123()()()()(1)0.343P A A A P A P A P A p q ==-==

P{X=1}=231312123()P A A A A A A A A A ++

2231312123()()()30.441P A A A P A A A P A A A pq =++==

P{X=2}=321121323()P A A A A A A A A A ++

2321121323()()()30.189P A A A P A A A P A A A p q =++==

基 本 内 容

备 注 P{X=3}=3

123()0.027P A A A p ==

所以X 的分布列为

X 0 1 2 3 P

0.343

0.441

0.189

0.027

定义：设试验E

只有两种结果：A

与A ，且

(),()1 (01).P A p P A p p ==-<<将试验E 独立重复地进行n 次，称这样

的试验为n 重贝努利试验。

以X 表示n 重贝努利试验中事件A 发生的次数, 则X 是一个随机变量。下面来求它的分布律。为了直观起见，先考虑n=4的情况, 即求P{X=k}，k=0, 1, 2, 3, 4.

23410: ,k A A A A = 41234{0}( )(1-)P X P A A A A p ===。

32341k 1: A A A A p(1-p), =⇒31342A A A A p(1-p),⇒ 3312412334 A A A A p(1-p) , A A A A p(1-p)⇒⇒。

1

4141p(1p)P{X }C -==-。

34122

41234

A A A A 2:A A A A k C ⎫

⎪=⇒⎬⎪⎭

共有个，22424P{X 2}(1).C p p -==-，故 归纳44P{X k}(1), k 0, 1, 2, 3, 4.k k k

C p p -==-=可得：

n 重Bernoulli 试验的分布规律

定理1 设在一次试验中，事件A 发生的概率为p(0

()(1)0,1,

,k k

n k n n P k C p p k n -=-=

2.二项分布

定义

若随机变量X 的概

率

函

数

为

()(1)0,1,

,k k

n k n P X k C p p k n -==-=

则称X 服从参数为n,p 的二项分布，记作X~B(n.,p).

定义 如果随机变量X 的分布列为

()

011p p -，则称X 服从参数为p

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基 本 内 容

备 注

的两点分布（或0－1分布）。

注：(1) 在n 重Bernoulli 试验中，X 表示事件A 发生k 次, 单次试验n=1时，X 服从两点分布；n ≥2时，X 服从二项分布. （2）若X i

(i =1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则1

n

i

i X X

==∑服从二项分

布。

抽检时，若总体数量有限，二项分布适用于有放回抽取的情况；而超几何分布适用于有放回抽取的情况；若总体数量充分大，超几何分布可按二项分布近似处理。

例3 据报道，有10%的人对某药有胃肠道反应。为考察某厂的产品质量，现任选5人服用此药。试求

（1）k 人有反应的概率（k=0,1,2,3,4,5）；

（2）不多于2个人有反应的概率； ( 3 ) 有人有反应的概率。

解（1）用X 表示有反应的人数，则X 服从二项分布B(5,0.10).

因为 55{}(0.10)(0.90)k k k

P X k C -==，

所以X 的分布列为

()

0123450.590490.328050.072900.008100.000450.00001

（2）不多于2个人有反应的概率为{2}.P X ≤

{2}{0}{1}{2}P X P X P X P X ≤==+=+=

0.590490.328050.072900.99144=++=

（3）有人有反应的概率为{1}.P X ≥

5

1

{1}{}0.328050.07290k P X P X k =≥===+∑

0.008100.000450.000010.40951+++=

或 {1}1{0}10.590490.40951P X P X ≥=-==-=

例4. 某人进行射击, 每次命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率。

解：将每次射击看成一次试验，设400次射击中击中的次数为X,则

X~ B(400, 0.02)。X 的分布列为

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