段正敏主编《线性代数》习题解答(重庆大学版)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性代数习题解答1
目录
第一章行列式 (1)
第二章矩阵 (22)
第三章向量组的线性相关性 (50)
第四章线性方程组 (69)
第五章矩阵的相似对角化 (91)
第六章二次型 (114)
附录：习题参考答案 (129)
第一章行列式
1．填空题：
1教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。
（1）3421的逆序数为 5 ；
解：该排列的逆序数为00235t =+++=. （2）517924的逆序数为 7 ；
解：该排列的逆序数为0100337t =+++++=. （3）设有行列式
2
31
1
1
8700123456
4
02110
3152----=D =)(ij a ∆， 含因子543112a a a 的项为 -1440，0 ； 解：(23154)
31223314554(1)
(1)526831440t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=-
(24153)41224314553(1)(1)506810t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=
所以D 含因子543112a a a 的项为-1440和0.
（4）若n 阶行列式=-∆==∆=)(,)(ij ij n a D a a D 则()
1n
a
-；
解：
行列式D 中每一行可提出一个公因子1-，
()()()1()1n
n
ij ij D a a a ∴=∆-=-∆=-.
（5）设3
2
8
814412211
1
1
1)(x x x
x f --=，则0)(=x f 的根为 1，2，-2 ；
解：()f x 是一个Vandermonde 行列式，
()(1)(2)(2)(21)(22)(21)0f x x x x ∴=--+-----=的根为1，2，-2.
（6）设321,,x x x 是方程03
=++q px x 的三个根，则行列式
=1
3
2
213
3
21
x x x x x x x x x 0 ； 解：根据条件有332
123123123()()()()x px q x x x x x x x x x x x ax x x x ++=---=-+++-
比较系数可得：1230x x x ++=，123x x x q =-
再根据条件得：3113
2233
3x px q x px q x px q
⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩
原行列式333
123123123=3()33()0x x x x x x p x x x q q ++-=-++--⋅-=.
（7）设有行列式1
01
3
2x x x
-=0，则x = 1，2 ； 解：223
1
032(1)(2)00
1
x
x x x x x x -=-+=--= 1,2x ∴=.
（8）设=
)(x f 44
43
42
343331242221131211a a a x
a a x a a x a a x a a a ，则多项式)(x f 中3x 的系数为 0 ；
解：按第一列展开11112121313141()f x a A a A a A xA =+++，
112131,,A A A 中最多只含有2x 项，∴含有3x 的项只可能是41xA
()()121341
4122243334
3
123413242233132234122433(1)a a x xA x a x a x
a a x x a a a a a a x a a a a a a +=-⎡⎤ =-++-++⎣⎦
41xA 不含3x 项，∴()f x 中3x 的系数为0.
（9）如果
3
3002003
4564
321x =0，则x = 2 ；
解：
1234
6543
122(512)(63)00026533
0033x x x =⋅=--= 2x ∴=.
（10）
000000
000
00d
c b a
= -abcd ； 解：将行列式按第一行展开：
1400000
000(1)0000000000
a b b a c
abcd c
d
d
+=⋅-=-.
（11）如果12101
3c b
a =1，则1
11
4253
33---c b a = 1 ；
解：1323
3231
33301
302524121
111
1
1
1
T
r r A
A r r a a b c a b c b
c -=+---
=.
（12）如3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a =2，则33
3232
312322222113
121211222222222222a a a a a a a a a a a a ---= -16 ， 33
2313
2313
322212221231
21112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------= -4 ，
3212000332313322212
312111a a a a a a a a a = -4 ；
解：11
1213112131
21
222312312223212331
32
33
13
23
33
2T a a a a a a A a a a A a a a a a a a a a αααβββ======
()()11121213
32122222312231223
3132
3233
12212
32222222222222222288016
a a a a a a a a a a a a A αααααααααααααα--=-=-- =+-=-=-