(完整word版)一元二次方程知识点以及考点分析

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一元二次方程

一、本章知识结构框图

二、具体内容 (一)、一元二次方程的概念

1.理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式; 2.正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

(1)让学生明确只有当二次项系数0≠a 时,整式方程02

=++c bx ax 才是一元二次方程。

(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). (3)熟练整理方程的过程

3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4.列出实际问题的一元二次方程 (二)、一元二次方程的解法

1.明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解;

2.根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程; 3.体会不同解法的相互的联系; 4.值得注意的几个问题:

(1)开平方法:对于形如n x =2

或)0()(2

≠=+a n b ax 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未

知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解. 形如n x =2

的方程的解法: 当0>n 时,n x ±=;

当0=n 时,021==x x ; 当0

(2)配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2

)(的方程,再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤:

①移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边; ②“系数化1”:根据等式的性质把二次项的系数化为1; ③配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为n m x =+2

)(的形式; ④求解:若0≥n 时,方程的解为n m x ±

-=,若0

(3)公式法:一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根a

ac b b x 242-±-=

当042

>-ac b 时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;

当042

=-ac b 时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为a

b x x 221-==; 当042

<-ac b 时,方程无实数根.

公式法的一般步骤:①把一元二次方程化为一般式;②确定c b a ,,的值;③代入ac b 42

-中计算其值,判断方程是否有实数根;④若042

≥-ac b 代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。

(因为这样可以减少计算量。另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程。)

(4)因式分解法:

①因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:若0=ab ,则00==b a 或; ②因式分解法的一般步骤:

将方程化为一元二次方程的一般形式;把方程的左边分解为两个一次因式的积,右边等于0;令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 (5)选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式,选用因式分解较简便,若整理为一般式再解就较为麻烦。 (6)解含有字母系数的方程

(1)含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型;

(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 (三)、根的判别式

1.了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 (1)∆=ac b 42

-

(2)根的判别式定理及其逆定理:对于一元二次方程02

=++c bx ax (0≠a ) ①当⎩⎨

⎧≥∆≠时

00

a ⇔方程有实数根;

(当⎩⎨

⎧>∆≠时00a ⇔方程有两个不相等的实数根;当⎩

⎨⎧=∆≠时00

a ⇔方程有两个相等的实数根;

) ②当⎩⎨

⎧<∆≠时

00

a ⇔方程无实数根;

从左到右为根的判别式定理;从右到左为根的判别式逆定理。 2.常见的问题类型

(1)利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情况

(2)已知方程中根的情况,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 (3)应用判别式,证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式(关键步骤); ②用配方法将判别式恒等变形; ③判断判别式的符号; ④总结出结论.

例:求证:方程0)4(2)1(2

2

2

=++-+a ax x a 无实数根。

(4)分类讨论思想的应用:如果方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为0,方程有可能是一元一次方程;如果二次项系数不为0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

(5)一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题,解答时要在全面分析的前提下,注意合理运用代数式的变形技巧 (6)一元二次方程根的判别式与整数解的综合 (7)判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 (四)、一元二次方程的应用

1.数字问题:解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式。

2.几何问题:这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系,构建方程,对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题(下降率):在此类问题中,一般有变化前的基数(a ),增长率(x ),变化的次数(n ),变化后的基数(b ),这四者之间的关系可以用公式b x a n

=+)1(表示。

4.其它实际问题(都要注意检验解的实际意义,若不符合实际意义,则舍去)。 (五)新题型与代几综合题

(1)有100米长的篱笆材料,想围成一矩形仓库,要求面积不小于600平方米,在场地的北面有一堵50米的旧墙,有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库,但面积只有400平方米,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?

(2)读诗词解题(列出方程,并估算出周瑜去世时的年龄):

大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,英年早逝两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得准,多少年华属周瑜?(36岁)

(3)已知:c b a ,,分别是ABC ∆的三边长,当0>m 时,关于x 的一元二次方程

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