全国高中数学联赛预赛试题1

全国高中数学联赛预赛试题 （考试时间：9月24日上午8:3011:00）

一．填空题（共2题，每题10分，合计80分）

1．设多项式()f x 满足：对于任意x R ∈，都有2

(1)(1)24,f x f x x x ++-=-则()f x 的最小值是＿＿＿＿＿＿.

2．数列{},{}n n a b 满足：1,1,2,,k k a b k ==已知数列{}n a 的前n 项和为1

n n

A n =

+，则数列{}n b 的前n 项和n B =＿＿＿＿＿＿.

3

．函数()f x =.

4．过抛物线2

8y x =的焦点F ,作一条斜率为2的直线l ，若l 交抛物线于,A B 两点，则

OAB ∆的面积是＿＿＿＿＿＿.

5.若ABC ∆为锐角三角形，满足

sin cos()sin A

A B B

=+，则tan A 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.

7.将1,2,,9随机填入右图正方形ABCD 的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率p =＿＿＿＿＿＿.

8.将集合{1,2,

12}M =的元素分成不相交的三个子集：M A B C =⋃⋃，其中

123412341234{,,,}{,,,}{,,,}A a a a a B b b b b C c c c c ===，1c ＜2c ＜3c ＜4c ，且k k k a b c +=，1,2,3,4,k =则集合C 为：＿＿＿＿＿＿.

二．解答题（共2题，合计70分）

9.（20分）如图，AB 是圆的一条弦，它将圆分成两部分，M 、N 分别是两段弧的中点，以点B 为旋转中心，将弓形AMB 顺时针旋转一个角度成弓形1A MB ，1AA 的中点为P ，

MN 的中点为Q .求证：2MN PQ =.

10.（25分）给定椭圆2222:1,(x y C a a b

+=＞b ＞0)以及圆222

:O x y b +=，自椭圆上异

于其顶点的任意一点P ，做

O 的两条切线，切点为,M N ，若直线MN 在,x y 轴上的截

距分别为,m n ；证明：222

222a b a n m b

+=.

11.（25分）对于2n 个素数组成的集合122{,,,}n M p p p =，将其元素两两搭配成n 个乘

积，得到一个n 元集，如果1234212{,,

,,}n n A a a a a a a -=与1234{,B b b b b =,

,

212}n n b b -是由此得到的两个n 元集，其中122{,,,}n a a a =122{,,

,}n b b b M =，且

A B ⋂=∅，就称集合对{,}A B 是由M 炮制成的一副“对联”.(例如当2n =时，由四元集

{,,,}a b c d 可炮制成三副“对联”：{,}ab cd {,}ac bd ，{,}

ab cd {,}ad bc

{,}

ac bd {,}ad bc ).

(1).当3n =时，求6元素集M {,,,,,}a b c d e f =所能炮制成的“对联”数； （2）对于一般的2n ≥，求由2n 元素集M 所能炮制成的“对联”数()T n .

全国高中数学联赛 预赛试题答案

1.2

2.

(1)(2)

3

n n n ++

3.0,

3⎡⎢⎣⎦

4.

5.

4

6.7.

89!

8.{8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}

9.思路：取AB 中点E ，1A B 中点F ，可证PEBF 为菱形； 证明角MFP=角PEN ； 再证角PNE=角MPF ； 然后证角MPN 为直角

10.关键步骤：设P 点坐标00(,)x y ，易的OMPN 四点共圆，此圆方程减圆O 方程得直

线MN 方程2

00x x y y b +=

11.（1）60; (2)1211()!2n n n T n C D n --=

⋅⋅ (其中n D =1111!1(1)1!2!3!

!n

n n ⎛⎫

-+-+- ⎪⎝⎭

)

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )

A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④

2．有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是( )

A．1B．2C．3D．4

3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )

4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )

5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )

A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋3

7．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1

，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2

①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆

8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．

10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．