极限的求解方法
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求函数极限的方法和技巧
1、运用极限的定义
2、利用极限的四则运算性质
若 A x f x x =→)(lim 0
B x g x x =→)(lim 0
(I)[]=±→)()(lim 0
x g x f x x )(lim 0
x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0
(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0
(III)若 B ≠0 则：
B
A
x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )
(lim )()(lim 0
00
（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0
（c 为常数）
上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 3、约去零因式（此法适用于型时0
,0x x →）
例: 求
解:原式=()
()
)
12102(65)
2062(103lim
2
23223
2
+++++--+---→x x x x x
x x x x x
x =)
65)(2()
103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x
=)
65()
103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2
lim
-→x 73
5
-=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型）
12
16720
16lim 23232+++----→x x x x x x x
例: 求 )21
44(
lim 22
x
x x ---→
解: 原式=)2()2()
2(4lim
2x x x x -⋅++-→
=)2)(2()
2(lim
2x x x x -+-→
=4
1
21lim
2=+→x x
5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）
设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0
=→x f x x
(II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0
=→x f x g x x
例: 求 x
x x 1sin
lim 0
⋅→ 解: 由 0lim 0
=→x x 而 11
sin
≤x
故 原式 =01
sin
lim 0
=⋅→x
x x 6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
（I ）若：∞
=)(lim x f 则 0)
(1
lim
=x f (II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)
(1
lim x f 例: 求下列极限 ① 51lim
+∞→x x ②1
1
lim 1-→x x
解: 由 ∞=+∞
→)5(lim x x 故 051
lim =+∞→x x
由 0)1(lim 1
=-→x x 故 11
lim 1-→x x =∞
7、等价无穷小代换法
设'
'
,,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： '
'
~,~ββαα，
''
lim β
α 存在，
则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''
lim β
α
例:求极限2
22
0sin cos 1lim x x x x -→
解: ,~sin 2
2
x x 2
)(~cos 12
22
x x -
∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2
22
2=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、
差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
1sin lim
)(0=→x x A x e x
B x x =+∞→)1
1(lim )(
但我们经常使用的是它们的变形：
)
)((,))(1
1lim()()0)((,1)
()
(sin lim
)()(''∞→=+→=x e x B x x x A x ϕϕϕϕϕϕ
例：求下列函数极限
x
a x x 1lim )1(0-→、 bx ax
x cos ln cos ln lim
)2(0→、 )
1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a u x a a u x u a x x
+=
-+==-于是则）令解：（
a u a
u u a u a u x
a u x u
u u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 0
10000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当
)]
1(cos 1ln[)]
1(cos 1ln[(lim
)2(0-+-+=→bx ax x 、原式
1
cos 1
cos 1cos )]
1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim
0--⋅--+--+=→ax bx bx bx ax ax x
1
cos 1
cos lim
0--=→ax bx x 222
2
22220220)2
()2()2
(2sin )2(2
sin lim 2sin 22sin 2lim a
b x a x b
x b x b x a x
a x
b x x x =⋅=--=→→α
9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
)
()](lim [))((lim )()(lim )]([)()
()(lim )()(0
00a f x f x f a u u f a x x f ii x f x f x x x f i x x x x x x x x ======→→→→ϕϕϕϕ处连续，则在且
是复合函数，又若处连续，则在若
例：求下列函数的极限