岩石力学课件第四章 岩石本构关系与强度理论

位
形
移
变
应 力
面 力
体 积 力
几何方程
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物理方程
平衡方程
（一） 平面应力问题与平面应变问题
在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体， 它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体 的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和 力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 1、平面应力问题
等厚度薄板，承受平行于 板面并且不沿厚度变化的面力， 同时体力也平行于板面并且不 沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0 τzy = 0
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特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0，这与平面应变
问题相反。
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2、平面应变问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于柱面并且不沿长度变
化的面力，同时体力也平行于柱面并且不沿长度变化。
εz = 0 τzx = 0 τzy = 0
如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。
y
x
P
x
图 2－2
注意平面应变问题z = 0，但z 0，这恰与平面应力
问题相反。
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15 xyd y1Ydxd y10
整理得:
x yx X 0
x y
y xy Y 0
y x
这两个微分方程中包含着三个未知数x,y,xyyx。
因此决定应力分量的问题是超静定的；还必须考虑形变和 位移，才能解决问题。
对于平面应变问题,虽然前后面上还有 z ,但它们完全
不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题 都同样适用。
x
y
Y xy
xy
x
dx
B C
y
yx y
y
yx y
dy
dy
设作用在单元体左侧面上的正
应力是 xx(x,y，) 右侧面上坐标 x
得到增量 dx，该面上的正应力为
x(xd,xy)，将上式展开为泰勒级
数：
x(xd,xy)x(x,y)x(xx,y)dx
21!2xx(2x,y)(d)x2n1!nxx(nx,y)(d)xn
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（三） 几何方程
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。
通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图所示。弹性体 受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。
一、P点的正应变
x[u(u xd)d xdx xu]dxu x
在这里由于小变形，由y 方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
Xyyx dCyxyyyxxdyxxyxdxxdx将(上y式x的两yy边xd除以)yddxx dy1得到d2：y yxdx1d2y0
y
xy1 2 xxyd xyx1 2 yyxdy
令 d x0,d y0 ，即略去微量不计，得： xy
yx
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下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平
衡方程：
Fx 0 :
(
x
x
x
dx) dy 1
x
dy
1
(
yx
yx
y
dy) dx 1
o
x
yx
xy P D
y
A
X
x
x
x
dx
x
y
Y xy
xy
x
dx
B C
y
yx y
y
yx y
dy
dy
yx dx 1 X dx dy 1 0
Fy0:
(yyyd)yd x1yd x1(xyxxyd)xd y1
以上的假设对于工程中不少问题是适用的， 但对于一些问题的误差太大，就必须用另外的 简化方案，但许多概念基本理论仍然是共同的， 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元 方法等学科的基础。
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（三） 弹性力学的解题程序
平衡方程 几何方程 物理方程
边界条件
应力解 位移解
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（四）各物理量之间的关系
边界条件
(
y
x
)
xy
2 (1 E
) xy
且有：
z E (xy)
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二、平面应变问题的物理方程
x
1 E
2
(
x
பைடு நூலகம்
1
y)
y
1 E
2
(
y
1
x
)
xy
2 (1 E
) xy
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略去二阶及二阶以上的微量后便得 都一样处理，得到图示应力状态。
x(x,y)x(xx,y)dx同样
y
、
xy
、
yx
对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中
心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程 MD0 ：
o y
x
xy
yx
P
D
Y B
y
y A
x
( xyxxyd)xdy1d2x xydy1d2x
（3）均匀性假设：假定物体由同一材料组成， 这样物体的弹性不随位置坐标而变化。 6
（4）各向同性假设：物体内一点的弹性性质 在所有各个方向都相同。
（5）小变形假设：假定位移和形变是微小的。 这样，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸， 在考察物体的应变和位移时，可以略去高阶小量， 这对于方程的线性化十分重要。
所以
xyxvuy
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因此得到平面问题的几何方程：
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
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（四） 物理方程
一、平面应力问题的物理方程
x
1 E
( x
y
)
y
1 E
（二） 弹性力学的基本假设
在弹性力学中，在满足实用所需精度的前提 下做一些必要的假设，使问题得以求解。 弹性力学的基本假设为：
（1）连续性假设：这样物体内的一些物理量， 例如应力、应变和位移等可用坐标的连续函数表示 它们的变化规律。
（2）完全弹性假设：假定物体为完全弹性体， 则服从虎克定律---应力和相应的形变成正比，弹 性常数不随应力或形变的大小而变化。
o
u P
v
y
P
B v v dy
y
u u dx
x
x
A
A
v v dx x
B
u u dy y
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同理可求得：
y
v y
o
u P
u u dx
x
x
A
二、P点的剪应变 线段PA的转角：
(vxvdx)vvv
y
v y
v B
dy
u
P u
B
dy
A
dx
x
y
v v dx x
同理可得线段PB的转角：
u y
（二） 平衡微分方程
无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题， 所有物理量均与z无关。
下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并
由此导出平衡微分方程。从薄板取出一个微小的正平行六面体PABC， 它在z方向的尺寸取为一个单位长度。
o
x
yx
xy P D
y
A
X
x
x
x
dx