图形的变换⑴轴对称与中心对称

第24课时 图形的变换(1) 轴对称与中心对称
【基础知识梳理】 1.轴对称图形、轴对称
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫 .
对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能 ，那么，这两个图形成 ，这条直线就是对称轴。

2.轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴 。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段 ，对应角 。

3.中心对称、中心对称图形
中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成中心对称，该点叫做 。

中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180 0
，如果旋转前后的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的 。

【基础诊断】
1、（2013年潍坊市）下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）. 新 课 标 第 一 网
A. B. C. D.
2、（2013杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、如图，△ABC 与△A`B`C`关于直线l 对称， 且∠A =78°，∠C`=48°，则∠B 的度数为（ ） A ．48°
B ．54°
C ．74°
D ．78°
4、（2013四川南充，7，3分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；
②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。

将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （ ）
A. 51
B. 52
C. 53
D. 5
4
【精典例题】
例1：（2011四川自贡）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色。

第3题图
现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个．
例2、如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝时，AC＋BC的值最小．
【点拨】根据线段垂直平分线的性质，作点A(1，2)关于直线y＝1的对称点A′（1，0），则A′B与y＝1的交点C即为所求。

例3如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1
，△AOB
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC
若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
【自测训练】A—基础训练
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的）
1、在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（）
A、1条
B、2条
C、3条
D、4条
3、（2013济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）
A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）
4、小华将一张如图所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了下列
四个图形，这四个图形中不是
．．轴对称图形的是（）
5、如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
6、（2013凉山州）如图，∠3=30°
，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7、（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
第5题图
（第10题图）
E
D
C
B
A
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
二、填空题
8、点(35)p ，关于x 轴对称的点的坐标为
9、(2013年临沂)如图，四边形ABCD 中,AC 垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定．．．成立的是 （A ） AB=AD.
(B) AC 平分∠BCD. (C) AB=BD.
(D) △BEC ≌△DEC.
10、如图，
PQR ∆是ABC ∆经过某种变换后得到的图形.如果ABC ∆中任意一点M 的坐标
为（a ，b ），那么它的对应点N 的坐标为 .
11、如图，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O ，AD ∥x 轴，以O 为顶点且过A 、D 两点的抛物线与以O 为顶点且经过B 、C 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部份的面积是 10、如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠EFC ′＝1250
，那么∠ABE 的度数为
三、解答题
12、请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经
过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴
第8题图
第9题图
第10题图
影．（注：所画的三个图不能重复）
13.（2011山东济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水。

经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图）。

两村的坐标分别为A （2，3），B （12，7）。

(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管道最短？
(2) 水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
B 提升训练 一、选择题
1、（2011湖北）有如下图形：①函数1y x =+的图形；②函数1
y x
=的图像；③一段弧；④平行四 边形，其中一定是轴对称图形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合．．．
要求的是（ ）
3．下列图形即是轴对称图形又是中心对称图形的有：（ ） ①平行四边形；②正方形；③等腰梯形；④菱形；⑤正六边形 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4、（2012湖南）把等腰ABC ∆沿底边BC 翻折，得到DBC ∆，那么四边形ABDC ( )
A B C D
D C
B
A
第4题图
A. 是中心对称图形，不是轴对称图形
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 以上都不正确
5、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ） A.① B.② C.③ D.④
二、填空题
6、如图，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到△ABC ， 设点A 的坐标为),(b a 则点A
的坐标为
7（2011广西）在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机 抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 _ ．
8、在平面直角坐标系中，先将抛物线2
2y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴
作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为
9、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为 ．
10、已知点A （1，5），B （3，－1），点M 在x 轴上，当AM －BM 最大时，点M 的坐标为 . 11、（2013泰安）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是 ．
12、（2013•宁夏）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种．
第6题图
第9题图
13、（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点
O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为108度．
14、（2013•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从
点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为6，小球P所经过的路程为6．
三、解答题
15、把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折
痕分别为BH、DG．
（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长.
16、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—3）
两点，与x轴交于另一点B．
x
y O x＝1
A
C B
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；
17、（2012四川自贡）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．
（1）求l1的解析式；
（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．
18、（2013哈尔滨压轴题）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC
和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．
(1)如图l，求证：∠EAF=∠ABD；
(2)如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=1 2
∠BAF，AF=2
3
AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．。