21截切立体(船)

§3.1 截切立体

一、截切平面立体

二、截切回转体

三、习题分析

一、截切平面立体

（一）平面立体的截交线（二）平面立体截交线的性质（三）平面立体截交线的求法

平面截切立体后的交线称为截交线，该平面称为截平面。

(一) 平面立体的截交线

平面立体表面的截交线是截平面与平面立体表面的交线。

(二) 平面立体截交线的性质

（1）平面立体表面的截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点。（共有性）

（2）由于平面立体的表面都具有一定的范围，所以截交线是封闭的平面多边形。（封闭性）

（3）平面多边形的各边是平面立体表面与截平面的交线，或是截平面与截平面的交线。平面多边形的各顶点是平面立体各棱线或边与截平面的交点。

（三）平面立体截交线的求法

求平面立体上截交线的过程，实际上是求直线与平面的交点或平面与平面的交线问题。其步骤：（1）求立体各棱线与截平面的交点；

（2）将各点依次相连；

（3）判断截交线的可见性。

例题1例题2例题

3

4"

3"

1"

2"

6"

5"

Ⅰ

Ⅵ

Ⅴ

Ⅳ

Ⅲ

Ⅱ

1

1'

4'

5'

6

2

3

（6'）

（2'）

（3'）

2

354

1"1

1'

6'

6"

5"4"3"

2"

6

Ⅰ

Ⅴ

Ⅳ

ⅢⅡ

Ⅵ4'

（5'）2'（3'）

[例题3] 求立体被平面切割后的投影

1'（2'）3

41

26

5

2"1"

5"

6"3"

4"

6'（5'）3'（4'）

Ⅲ

Ⅰ

Ⅵ

Ⅳ

ⅡⅤ

二、截切回转体

（一）概述（二）截切圆柱（三）截切圆锥（四）截切球（五）综合题分析

（一）概述

1.截交线的性质

2.求作截交线的方法

3.截交线上的特殊点

4.作图步骤

1.截交线的性质

（1）共有性—截交线是曲面立体表面和截平面的共有线。（2）封闭性—截交线是由直线或曲线围成的封闭平面图形。

2.求作截交线的方法

（1）表面取点法

①素线法在回转体表面取若干条素线，求出这些素线与截平面的交点（特殊点），并将其依次光滑连接。

②纬圆法在回转体表面取若干个纬圆，求出这些纬圆与截平面的交点（特殊点），并将其依次光滑连接。

（2）辅助平面法

用三面共点原理作适当数量的辅助平面，然后求作辅助平面与立体表面以及截平面的交线，则这两条交线的交点就是截交线上的点，将这些点依次光滑连接。

求作截平面与复合回转体的截交线时，应把复合回转体分解为基本几何体，分别求出截交线。求作多个截平面与基本立体相交时，按单一截平面求截交线的方法，分别求出各截平面的截交线。

3.截交线上的特殊点

特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点，具体有：

（1）极限点确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、最左和最右的点。

（2）转向点曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。

（3）特征点曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。（4）结合点截交线由几部分不同线段（曲线、直线）组成时结合处的那些点。

对于特殊点，根据现有知识凡是能求出来的都应求出。

4.作图步骤

（1）根据截平面的位置和回转体表面的性质，判别截交线的形状和性质。

（2）根据截平面的位置和回转体所处的位置，决定采用什么方法求共有点。

（3）求出截交线上的特殊点。

（4）根据需要求出若干个一般点。

（5）光滑且顺次连接各点，作出截交线，并判别可见性。

（6）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。

（二）截切圆柱

1. 圆柱上截交线的形状

2. 圆柱上截交线的求法

3. 例题

1.平面与圆柱相交所得截交线的形状

圆

矩形椭圆

2.圆柱上截交线的求法

表面取点法：在圆柱表面上取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；当圆柱的轴线处于特殊位置时，可利用圆柱的积聚性投影直接求得截交线上点的投影。

3.例题

[例题1] 求圆柱被截切后的截交线11'

1"4"3"2'

2"2

6543Ⅶ

ⅧⅥⅤⅢ

ⅣⅠ

3'4'

5'6'

5"6"解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；4．光滑且顺次连接各点并且判别可见性；5．整理轮廓线。

87

7'8'

7"8"