函数零点教学设计

函数的零点教学设计

数学科学学院杜建设指导老师刘洋

一、教材分析：

1 函数的零点是新课程中新增的内容，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修1 第三章第一节。

2 地位与作用：函数是高中数学的核心概念，而函数的零点又是其中的一个链接点，它从不同角度将数与形，函数与方程有机的联系起来，本节课的学习又为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用。

3 教学重点：函数零点的概念及求法

难点：利用函数的零点作图

二、教学目标

1. 知识与技能

(1) 结合二次函数的图像，掌握零点的概念，会求简单函数的零点。

(2) 理解方程的根和函数零点的关系。

(3) 理解函数零点存在的判定条件。

2. 过程与方法

(1) 观察能力：观察熟悉的一元二次方程与相应的二次函数图像得出零点定义。以及观察函数图像来得出函数零点的存在的判定条件。

(2) 归纳能力：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。

3. 情感态度与价值观

(1) 从易到难，顺应学生的学习心理，学生能体会到学习数学的成功感。

(2) 以学生为主体，营造学习氛围，学生产生热爱学习数学的积极心理。

三、教法学法：采用学案导学，以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法。

四、教学过程：为顺利完成本节课的教学目标，现制定以下教学环节：

(一)问题引入：

( 1) 一元二次方程是否有实根的判定方法是什么？

( 2) 二次函数y=ax2+bx+c 的顶点坐标、对称轴方程分别是什么？

设计意图：为学生顺利进入新知探究做好铺垫。以旧引新，也利于学生建构知识网络。

(二)新知探究

此过程是本节课的重点，在这里我以学生熟悉的二次函数为载体，以问题串的方式, 组织学生自主探究，通过归纳、概括形成概念。具体做法如下：

1概念形成

问题1求方程X2—2x—3 = 0的实数根，并画出函数y= X2—2x—3的图象；

方程x2—2x —3 = 0的实数根为-1、3。函数y= x2—2x —3的图象如图所示。

y

设计意图：①从学生最熟悉的问题入手，便于学生动手动脑，更利于学生激起求知欲望；

②最后用多媒体展示作图过程，进一步提高学生的作图能力。

问题2观察形式上函数y = x2—2x —3与相应方程x2—2x —3= 0的联系。

函数y= 0时的表达式就是方程x2—2x —3= 0。

设计意图：提高学生分析问题，观察问题的能力。

问题3由形式上的联系，进而观察方程x2—2x —3= 0的实数根在函数y= x2—2x —3的图象中如何体现？

2 2

y= 0即为x轴，所以方程x —2x—3= 0的实数根就是y= x —2x—3的图象与x轴的交点横坐标。

设计意图：提高学生作图与识图以及自主解决问题的能力，培养学生数形结合思想的应

用意识

问题4根据以上三个问题的解决，你对引例中二次方程的根-1 , 3是否有了新的认识？

设计意图：此问题的设计为初步提出零点的定义做好准备。

初步提出零点的概念：-1、3既是方程x2—2x —3 = 0的根，又是函数y= x2—2x —3在y =0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。

问题5函数y = x2—2x + 1和函数y = x2—2x + 3零点分别是什么？

函数y= x —2x + 1的零点是-1。函数y = x —2x+ 3不存在零点。

设计意图：学以致用，加深对概念的理解。同时还让学生明确函数不一定都有零点。

问题6通过以上问题的回答，你是否能总结函数零点的概念？

零点的定义：一般的，如果函数.-.•'.，在实数a处的值等于零，即f( a )-0,则

a叫做这个函数的零点。

设计意图：培养学生归纳能力，让学生尝试由特殊到一般的的思维方法。初步体会求函数零点转化为求对应方程的根的问题。

2概念深化：

为了更好的理解概念，弓I导学生回答下列问题：

(1) 如何求函数的零点？

(2) 函数的零点与图像的关系是什么？

(3) 函数的零点是点还是数？

(4) 结合引例指出函数、方程、不等式三者之间的关系。

设计意图：以问题研讨形式替代教师的说明，有利于学生对知识的掌握，便于发现学生的理

解误区，从而达到强化教学重点的目的。

(三)针对练习：

求函数y=-x 2-2x+3的零点，并指出y>0,y<0时，x的取值范围。

设计意图：紧跟练习，能及时巩固所学知识与方法，也突出了对二次函数零点的应用。

(四)应用举例：

(1 )二次函数y=ax2+bx+c零点的判定。

此问题由学生讨论，小组代表发言，师生共同完成下列表格。

二次函数y=ax2+bx+c的零点个数，方程ax2+bx+c=0的实根个数见下表：

设计意图：倡导学生合作学习，让学生体验成功的快乐。

（2）画出函数y=x2的图像，观察本节课中你画出的三个二次函数图象，总结二次函

数零点的性质。

y

①二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点）函数值变号。

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。

处理方式：小组讨论，学生代表发言，教师补充，特别是二重根问题，教师应给与及时的纠正，并说明结论的一般性。设计意图：培养学生观察、分析、归纳的数学能力。进一步深化函数零点的认识，且为突破禾U用零点作简单三次函数的图像这一难点做好了铺垫。

（3）提升练习：

思考下列冋题：

(1) 由以往作图经验，要作该函数的图像应该先找哪些点?

(2) 你经常米用什么方法求一兀二次方程的根？

(3) 该函数有几个零点？该怎么求？

(4) 函数的零点把整个定义域分成几部分？

(5) 每个部分函数值的符号怎样？

(6) 通过以上问题的解答，你能画出该函数的草图吗？