高考数学圆锥曲线及解题技巧

m
x
,
y
k
,
令顶点 P 的坐标为（ x，y ）， 由已知，得
k 解得
x
y m.
m y.
代入①式并整理，得
a2 x2
b2 y2
1, 即为所求顶点 P 的轨迹方程．
方程 a2 x2
b2 y2
1形似椭圆的标准方程 , 你能画出它的图形吗 ?
x2 y2
23
3
例 3 已知双曲线 a 2 b 2 1 的离心率 e
x2
例 5. 已知椭圆：
y2
x
1 ，直线 l ：
y 1 ， P 是 l 上一点，射线 OP 交椭圆于一点
24 16
12 8
Q 的轨迹方程。
R，点 Q 在 OP 上且满足 |OQ || OP|
|OR|2 ，当点 P 在 l 上移动时，求点
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线
代入椭圆方程 b 2 x2 a 2 y 2 a 2b 2，得
b2 x2
l 的方程为 y kx m(k 0). a 2 ( k 2 x 2 2kmx m2 ) a2 b2 .
化简后，得关于 x 的一元二次方程
(a2k 2 b 2) x2
2 ka 2 mx
x2 y2 x y
即
24 16 12 8
化简整理得点 Q 的轨迹方程为：
( x 1) 2 5
( y 1) 2 5
1 （直线 y
2
3
1
2 x 上方部分） 3
六. 应用曲线系，事半功倍 利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。
例 6. 求经过两圆 x 2 y 2 6x 4 0 和 x 2 y 2 6 y 28 0 的交点，且圆心在直线 x y 4
4a 2 4c 2 1
4a 2
4c 2
1 1 2e2 0 ，
2r1 r2
2( r1 r2 ) 2
2
8 / 15
解出
2
e
.
2
（ 2）考虑直线 l 的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当 k 存在时，设 l 的方程为 y k( x c) ………………①
椭圆方程为
x2
2
y2
2
1, A( x1, y1), B (x 2, y2 ) 由 e
线的位置关系 , 求解有时还要用到平几的基本知识 ,这点值得考生在复课时强化 .
例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点， AB=2 、OT=t (0<t<1) ，以 AB 为直腰作直角梯形 A A B B ，使 A A 垂直且等于 AT，使 B B 垂直且等于 BT ， A B 交
半圆于 P 、 Q 两点，建立如图所示的直角坐标系 .
圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解 题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。
2
例 1. 已知点 A （3， 2）， F（ 2， 0），双曲线 x 2 y
又 k AM
y0
1
，而 P1、 A 、 M 、P2 共线
x0 2
k P1P2
k AM ，即 y0 1 x0 2
2 x0 y0
5 / 15
P1 P2 中点 M 的轨迹方程是 2 x 2 y 2 4 x y 0
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有 4 题 (2 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 30 分左右 , 考查的知识点约为 20 个左右 . 其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查 . 选择题和 填空题考查直线 , 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识 . 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点 , 通过知识的重组与链接 , 使知识形成网络 , 着重考查直线与圆锥曲
解：如图， OQ ， OR ， OP 共线，设 OR OQ ， OP OQ ， OQ ( x， y) ，则 OR ( x， y) ， OP ( x， y)
3 / 15
|OQ|| OP| |OR|2
|OQ |2
2
2| OQ|2
点 R 在椭圆上， P 点在直线 l 上
2x2
2 y2
xy
1，
24 16
12 8
（ 1）求椭圆 C 的离心率； （2）求椭圆 C 的方程．
讲解：（1 ）设 | PF1 | r1 ,| PF2 | r2 ,| F1 F2 | 2c , 对 PF1 F2 , 由余弦定理 , 得
cos F1PF2
r11
r
2 2
4c2
2r1 r2
(r1 r 2 ) 2 2r1 r2 4c 2 2r1r 2
三. 数形结合，直观显示
将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常 能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例 3. 已知 x, y R ，且满足方程 x 2
y2
3( y 0) ，又 m
y3
，求 m 范围。
a 2 12 2
9 / 15
故当△ ABF 2 面积最大时椭圆的方程为：
x2
y2 1.
12 2 6 2
下面给出本题的另一解法 ,请读者比较二者的优劣：
设过左焦点的直线方程为： x my c …………①
（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思
.）
椭圆的方程为： x 2 2
y2
2
1, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
ab
由e
2 . 得： a 2 2c 2 , b2 c2 , 于是椭圆方程可化为： x 2
解：设所求圆的方程为：
x 2 y2 6 x 4 ( x 2 y2 6 y 28) 0 (1 ) x 2 (1 ) y2 6x 6 y (28 4) 0
0 上的圆的方程。
4 / 15
则圆心为 ( 3 ， 3 ) ，在直线 x y 4 0 上
1
1
解得
7
故所求的方程为 x 2 y 2 x 7 y 32 0
，过 A( a,0), B( 0, b) 的直线到原点的距离是
.
3
2
（ 1）求双曲线的方程；
（ 2）已知直线 y kx 5(k 0) 交双曲线于不同的点 C，D 且 C ， D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值 .
7 / 15
讲解：∵（ 1） c a
2 3 , 原点到直线 AB ： x
3
a
y 1 的距离 d b
例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解：取如图所示的坐标系，设点 F 到准线 l 的距离为 p（定值），椭圆中心坐标为

M （ t， 0）（ t 为参数）
1 / 15
p b 2 ，而 c t c
2
b pc pt
再设椭圆短轴端点坐标为
xct
P（ x， y），则
y b pt 消去 t，得轨迹方程 y 2 px
22
am
22
ab
0.
于是其判别式
( 2ka2 m) 2 4( a 2 k 2 b 2 )( a 2 m 2 a2 b2 ) 4a 2 b 2 ( a2 k 2 b 2 m 2 ).
由已知，得△
=0 ．即
a
22
k
2
b
m2 . ①
在直线方程 y kx m 中，分别令 y=0 ，x=0 ，求得 R( m ,0), S( 0, m). k
x3
解析：
m
y
3
的几何意义为，曲线
x2
y2
3( y 0) 上的点与点（－ 3，－ 3）连线的斜率，如图所示
x3
2 / 15
k PA m k PB 33 m 2
35 2
四. 应用平几，一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
(1) 写出直线 A B 的方程； （ 2）计算出点 P 、Q 的坐标；
（ 3）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通过点 Q.
''
讲解 : 通过读图 , 看出 A , B 点的坐标 .
(1 ) 显然 A' 1,1 t , B‘ 1，1 t ，于是 直线 A B
的方程为 y
tx 1 ；
c | k | | x1 x 2 |
2 2c2
1 k2 |k | 1 2k 2
2
2c2
1
k2 k4 4k 2 4k4
2 2c2
1
1
4 k4 k2
2c2 .
ii) 当 k 不存在时，把直线 x c 代入椭圆方程得 y
2 c,| AB |
1
2c, S
2c
2c 2
2
2
由①②知 S 的最大值为 2c 2 由题意得 2c 2 =12 所以 c 2 6 2 b2
x0
x1 x2 2
15 k 1 3k 2
y0
kx 0
5
1
5 3k 2
, k BE
y0 1 x0
1. k
15 k
x0
ky0
k
0, 即
1
3k 2
5k 1 3k 2
k
0,又 k
0, k 2
7
故所求 k= ± 7 .
为了求出 k 的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构 k 的方程 .
例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F 1、F 2 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且∠ F1PF 2 的最大值为 90 °，直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A 、B 两点，△ ABF 2 的面积 最大值为 12 ．
b
ab
ab
a2 b2
c
1, a
3.
故所求双曲线方程为
x2
y2
1.
3
（2 ）把 y kx 5 代入 x 2 3 y 2 3 中消去 y ，整理得 (1 3k 2 ) x 2 30kx 78 0 .
3 2 ..
设 C (x1, y1 ), D (x2 , y 2 ), CD 的中点是 E(x 0 , y 0 ) ，则
x1 2
y1 2 2
1
1
x2 2
y22
1
2
2
<2>－<1> 得
( x2 x1)( x1 x2 ) ( y 2 y1 )( y1 y 2 ) 2
即 y2 y1 x2 x1
2( x1 x2 ) y1 y2
设 P1P2 的中点为 M ( x 0 ， y 0 ) ，则
k P1 P2
y2 y1 x2 x1
2x0 y0
例 4. 已知圆 ( x 3) 2 y 2 4 和直线 y mx 的交点为 P、Q，则 |OP || OQ|的值为 ________。 解： OMP ~ OQN
|OP|| OQ| |OM || ON | 5
五. 应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
2
x1 |
2 2c 1 k 1 2k 2
， | AB |
AB 边上的高 h | F1F 2 | sin BF1 F2 2c
|k| , 1 k2
1
1 k2 |k |
S
2 2c(
2
1
2k 2 )
1
2c k2
1) 0 .
1 k 2 | x2
x1 |
2 2c(1 k 2 ) ， 1 2k 2
也可这样求解：
1 S 2 | F1F2 | | y1 y2 |
x2
y2
（2 ）由方程组
y
tx
1,
解出
1,
P ( 0 ,1 ) 、 Q ( 1
2t t2
,1 1
t2 ) ； t2
（3） k PT
10 0t
1 , k QT
t
1 t2
1 t2 2t
1 t2
0 t
1 t2 t (1 t 2 )
1
.
t
由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点 Q.
需要注意的是 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式 , 有趣吗 ?
6 / 15
x2 例 2 已知直线 l 与椭圆 a 2
y2 b2
1( a
b 0) 有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、 y 轴分别交于 R、S ，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程．
讲解：从直线 l 所处的位置 , 设出直线 l 的方程 ,
七. 巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。
例 7. 过点 A （ 2，1）的直线与双曲线 x 2
y2
1 相交于两点 P1、P2，求线段 P1P2 中点的轨迹方程。
2
解：设 P1 ( x1 ， y1 ) ， P2 ( x 2 ， y 2 ) ，则
2 .
得
a 2 2c 2 ,b 2 c2 .
ab
2
于是椭圆方程可转化为
x2 2 y2 2c 2 0 ………………②
将①代入②，消去 y 得
x 2 2k2 ( x c) 2 2c2 0,
整理为 x 的一元二次方程，得
(1 2k 2 ) x2 4ck 2 x 2c2 ( k 2
则 x1、 x2 是上述方程的两根．且 | x2
1 ， P 为双曲线上一点。
3
求 | PA| 1 | PF | 的最小值。 2
解析：如图所示，
双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定律知
1
5
|PA| |PF | |PA| |PE | AM
2
2
1 | PF | 即点 P 到准线距离。 2
二. 引入参数，简捷明快 参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。