[全]北京师范大学《量子力学》考研重点整理

北京师范大学《量子力学》考研重点整理

复习笔记

本章介绍了量子力学中最基本的波函数概念和表达形式，并且介绍了波函数的统计诠释和量子态的叠加原理，相应的引入描述量子态动力学过程的薛定谔方程，相比较于经典物理中的牛顿定律，在量子力学中，非相对论情况下的薛定谔方程同样占据了重要地位，对于有限几种可解模型，包括势阱、势垒和线性谐振子，以及氢原子情形，薛定谔方程可以求解出波函数和能级的具体形式，其结果可以完美解释物理实验中相关现象和数据，而对于不可精确求出解析解的模型，针对具体不同的模型，在物理背景的考虑下可以进行相应的近似处理，由薛定谔方程得出的近似解也可以比较满意地对实验现象和结果做出解释，后面的章节围绕理论部分会对近似求解详细阐述，在高等量子力学中，将会介绍相对论情形下的狄拉克方程。

一、波函数的统计诠释

1实物粒子的波动性

de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为

λ＝h/p，ν＝E/h

并称之为物质波（matter wave）。

2概率波，多粒子体系的波函数

Born提出的波函数的概率诠释：|ψ（r→）|2ΔxΔyΔz表征在r点处的体积元Δx ΔyΔz中找到粒子的概率，根据波函数的统计诠释，要求波函数ψ（r）满足下列条件

这称为波函数的归一化（normalization）条件。

归一化条件就可以简单表示为

（ψ，ψ）＝1

3动量分布概率（三维情况下）

动量分布概率密度即|φ（p）|2。

4不确定性原理与不确定度关系

位置（坐标）和动量的不确定性关系

上式表明粒子处于任何量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，x和p是一对对偶量，同理，能量E和时间t也具有相同的关系式。5力学量的平均值与算符的引进

p∧为动量算符，在坐标表象中其具体表达形式为

l→＝r→×p∧（角动量算符）

l是一个矢量算符，它的三个分量可以表示为

A∧是与力学量A相应的算符，其平均值为

如波函数未归一化，则

与经典Hamilton量H＝T＋V相应的算符表示为

其中，T为粒子的动能，V为粒子在势场中的势能。

6统计诠释对波函数提出的要求

根据统计诠释，对波函数ψ（r）的要求为

（1）|ψ（r）|2取有限值，即要求ψ（r）取有限值。

（2）波函数需要满足归一化条件（平方可积）

但概率描述中实质的问题是相对概率，因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数，比如平面波。

（3）|ψ（r）|2单值，但ψ（r）不一定取单值。

（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性（一般情形可以这样考虑，但遇到特殊情况要视具体的势能而定）。

7索末菲量子化条件的推广

8波粒二象性（见表1-1-1）表1-1-1 波粒二象性相关概念

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