离散汉密尔顿图

周游世界
Sir William Rowan Hamilton, 1857, Icosian game: 是否存在一条回路，使它含有图中的所有顶点 一次且仅一次？
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马的周游路线(knight’s tour)
棋盘上马的周游路线(knight’s tour on a chessboard)
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汉密尔顿图
1. 周游世界,汉密尔顿通(回)路,汉密尔顿 图 2. 判定汉密尔顿图的必要条件 3. 判定汉密尔顿图的充分条件 4. 旅行商问题
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Willam Rowan Hamilton
Willam Rowan Hamilton(1805~1865):
爱尔兰神童(child prodigy), 三一学院(Trinity College), 光学(optics) 1827, Astronomer Royal of Ireland. 1837, 复数公理化, a+bi, (a,b) 四元数(quaternion): a+bi+cj+dk, 放弃乘 法交换律!
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无向半汉密尔顿图的必要条件
推论: 设G=<V,E>是无向半汉密尔顿图, 则对V的任意非空真子集V1有 p(G-V1)≤|V1|+1 证明: 设P是G中任意汉密尔顿通路, 当V1 中顶点都在P内部且都不相邻时, p(PV1)= |V1|+1最大; 否则, p(P-V1)≤|V1|. P 是G的生成子图, 所以p(G-V1)≤p(PV1)≤|V1|+1. #
路径--极大路径--圈--更长路径 ---更长极大路径--更长圈--更长路径--……--汉密尔顿通路（构造法）
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极大路径
Γ是一条路径，如果Γ的始点和终点都不 与Γ外的顶点相邻，则称Γ是一条极大路 径。 极大：不能再向外延伸
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定理15.7(证明(1)(3))
证明: (1) G连通: ∀u∀v( (u,v)∉E→ ∃w((u,w)∈E∧(w,v)∈E ) n-2
设二部图G=<V1, V2, E>, |V1|≤|V2|, |V1|≥2, |V2|≥2
若G是汉密尔顿图，则|V1|=|V2|； 若G是半汉密尔顿图，则|V1|=|V2|-1； 若|V2| ≥ |V1|+2；若G不是半汉密尔顿图， 也不是汉密尔顿图
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反例: 非充分条件
上述条件只是必要条件,而不是充分条件 反例: Petersen图
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TSP的复杂性
蛮力法(brute force): 穷举所有的可能进 行验证或比较, 复杂性为2n以上. TSP: n!条H通路, (n-1)!/2条H回路 目前还不知道TSP是否有多项式时间算法, TSP , 大多数学者认为没有. 证明? P=?NP问题: 计算机科学的核心问题, 奖 金$1,000,000
15,18-20
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应用举例
例：七天内安排七门课的考试，使得同一位教 师所担任的两门课程不在相邻的两天考试，若 无教师担任多于四门课程，则可以合理安排。 每个顶点对应一门考试课程，两个顶点之间有 边当且仅当对应两课程由不同教师担任，每个 顶点的度数至少是3，任两个顶点度数之和至 少为6，因此一定存在一条汉密尔顿通路。
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作业2：
2、今有a，b，c，d，e，f，g7个人，已知下列 事实：
a会讲英语； b会讲英语和汉语； c会讲英语、意大利语和俄语； d会讲日语和汉语； e会讲德语和意大利语； f会讲法语、日语和俄语； g会讲法语和德语。
试问这7个人应如何排座位，才能使每个人都 能和他身边的人交谈？
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作业3：
v0 v0 vi vi+1 vk vk
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无向汉密尔顿图的充分条件
推论1: 设G是n(≥3)阶无向简单图,若对G 中任意不相邻顶点u与v有 d(u)+d(v)≥n 则G是汉密尔顿图. 证明: 由定理15.7知G连通且有汉密尔顿 通路Γ=v0v1…vn. (1) 若(v0,vn)∈E,则得汉 密尔顿回路C=v0v1…vnv0. (2) 若 (v0,vk)∉E,则与定理15.7证明(2b)类似,也 存在汉密尔顿回路. # v0 vn
6
汉密尔顿图(Hamilton)的思考
n阶简单图是汉密尔顿图，要求m≥n ——要有尽可能多的边
K3,3
K5
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无向汉密尔顿图的必要条件
定理15.6: 设G=<V,E>是无向汉密尔顿 图,则对V的任意非空真子集V1有 p(G-V1)≤|V1| 证明: 设C是G中任意汉密尔顿回路, 当V1 中顶点在C中都不相邻时, p(C-V1)=|V1| 最大; 否则, p(C-V1)<|V1|. C是G的生成 子图, 所以p(G-V1)≤P(C-V1)≤|V1|. #
v0 vi vi+1 vn
20பைடு நூலகம்
无向汉密尔顿图的充分条件
推论2: 设G是n(≥3)阶无向简单图,若对G 中任意顶点u有 d(u)≥n/2 则G是汉密尔顿图. G . 推论3:Kn(n>2)为汉密尔顿图
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图的闭包C(G)
定义：给定简单图G=<V,E>，|V|=n， 将图G中度数之和至少为n的非邻接顶点 连接起来得到图G '，对G '重复上述步骤， 直到不再有这样的顶点对为止，所得到 的图称为G 的闭包，记作C(G) 。
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推论(证明二)
推论: 设G=<V,E>是无向半汉密尔顿图, 则对V的任意非空真子集V1有 p(G-V1)≤|V1|+1 证明二: 设P是G中任意汉密尔顿通路, 两 个端点是u与v. 令G1=G∪(u,v), 由定理3 有 p(G-V1) ≤ p(G1-V1)+1 ≤ |V1|+1. #
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举例1
(3) 由圈得更长路径: 由连通性
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定理15.7(证明(2))
证明: (2) 由极大路径得圈: 设极大路径 Γ=v0v1…vk, k≤n-2. (2a) 若(v0,vk)∈E,则得圈 C=v0v1…vkv0. (2b) 若(v0,vk)∉E,则 ∃i( 1≤i≤k-1∧(vi,vk)∈E∧(v0,vi+1)∈E ), 否则, d(v0)+d(vk)≤d(v0)+k-d(v0) =k ≤n-2(矛盾). 于是得圈C=v0…vivkvk-1…vi+1v0. #
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定理5
定理5: 无向n阶简单图G是汉密尔顿图 ⇔ C(G)是汉密尔顿图.
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引理
引理: 设u,v是无向n阶简单图G中两个不 相邻顶点,且d(u)+d(v)≥n, 则 G是汉密尔顿图 ⇔ G∪(u,v)是汉密尔顿图. 证明: (⇒)显然 (⇐) 设C是G∪(u,v)中的汉密尔顿回路. (1) C不经过(u,v): C是G中汉密尔顿回路. (2) C经过(u,v): C-(u,v)是G中汉密尔顿通 路, 与定理15.7证明(2b)类似, G中有汉密 尔顿回路. #
4
马的周游路线(knight’s tour)
Leohard Euler, 1759, 详细分析
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汉密尔顿图(Hamilton)
汉密尔顿通路(Hamilton path): 经过图中 所有顶点的初级通路 汉密尔顿回路(Hamilton circuit/cycle): 经过图中所有顶点的初级回路 汉密尔顿图(Hamiltonian): 有汉密尔顿回 路的图 半汉密尔顿图(semi- Hamiltonian): 有汉 密尔顿通路但没有汉密尔顿回路的图
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有向汉密尔顿图的充分条件
n(n>1)阶竞赛图中都有汉密尔顿通路。 证明：归纳法
v‘r-1 v‘2 v‘1 vk+1 vk+1
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v‘1 v‘r
v‘2 vk+1 v‘2
v‘k
v‘1
v‘k
旅行商问题(TSP)
旅行商问题(Travling Salesman Problem): 给定n个城市之间的所有距离, 求推销员 走遍所有城市的最短路线 又名货郎担问题,巡回售货员问题,TSP TSP: 给定带权完全图G=<V,E,W>,求最 短汉密尔顿回路.
a
e b c d
f 二部图{a,f}和{b,c,d,e}
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举例2
a e h b g j c 二部图{a,c,g,h,i}和{b,d,e,f,j,k} 半汉密尔顿图
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f i k d
举例3
a b c g j d e 二部图{a,c,g,h,e}和{b,d,f,i,j} 汉密尔顿图
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i h f
二部图与汉密尔顿图
Petersen图满足: ∀V1≠∅, p(G-V1)≤|V1| Petersen图不是汉密尔顿图: 穷举 Petersen图是半汉密尔顿图
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无向半汉密尔顿图的充分条件
定理15.7: 设G是n(≥2)阶无向简单图,若对G中 任意不相邻顶点u与v有 d(u)+d(v)≥n-1 则G是半汉密尔顿图. 证明: (1) G连通 (2) 由极大路径得圈 (3) 由圈得更长路径
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总结
周游世界,汉密尔顿通(回)路,汉密尔顿图 判定汉密尔顿图的必要条件 判定汉密尔顿图的充分条件 旅行商问题
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作业1：
1、画一个无向图，使它是： (1)既是欧拉图，又是汉密尔顿图； (2)是欧拉图，而不是汉密尔顿图； (3)是汉密尔顿图，而不是欧拉图； (4)既不是欧拉图，也不是汉密尔顿图。