欧拉图与汉密尔顿图

图的矩阵表示
1. M(D), M(G) 2. 邻接矩阵A(D), 邻接矩阵A(G) 3. 用A的幂求不同长度通路(回路)总数 4. 可达矩阵P(D), P(G)
欧拉图与汉密尔顿图
1
无向图关联矩阵 v1 M(G) v2 v3 v4
e1 e2 e3 e4 e5 e6
1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
1, vi与vj相邻,ij
aij =
v1
v4 0, vi与vj不相邻
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0 1
1 0
0 1
1
1
v2
v3
v3 欧拉图与汉密尔顿图 v 4
0 1
1 1
0 0
0
0
8
无向图邻接矩阵(性质)
A(G)对称: aij= aji 每行(列)和为顶点度: ni=1aij=d(vj) 握手定理: ni=1nj=1aij=ni=1d(vj)=2m
ni=1aii (r) =长度为r的回路总数. #
欧拉图与汉密尔顿图
10
用邻接矩阵求通路数(例)
v1
v4
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0
1
1 0
0 1
1
1
v3 v4
0
1
1 1
0 0
0
0
v2
v3
2 1 1 1
A2
1
3
0
1
1 0 1 1
1
1
1
2
2 4 1 3
A3
4
2
3
4Biblioteka Baidu
1 3 0 1
2
4
1
2
7 6 4 6
A4
6
11
2
6
4 2 3 4
6
6
4
7
欧拉图与汉密尔顿图
11
邻接矩阵与通路数
设Ar=Ar-1•A,(r2), Ar=[aij(r)]nn,
推论1: aii (2) =d(vi). #
推论2: G连通距离d(vi,vj)=min{r|aij(r)0，ij}. #
设G=<V,E>是无向图,V={v1,v2,…,vn},
E={e1,e2,…,em}
关联矩阵(incidence matrix): M(G)=[mij]nm,(每 个顶点确定一行,每条边确定一列), mij = vi与ej 的关联次数
2, vi与ej关联，且ej是 环
mij = 1, vi与ej关联，且ej不是环
v1 M(D) v2
1
1
1 1
1 0
0 1
0 0
0
0
v3 v4
0
0
0 1 1 1 1
0
0
0
1
1
欧拉图与汉密尔顿图
6
有向图关联矩阵(性质)
每列和为零: ni=1mij=0 每行绝对值和为d(v): d(vi)=mj=1mij, 其中1的个
数为d+(v), -1的个数为d-(v)
握手定理: ni=1mj=1mij=0
0, v 欧拉图与汉密尔顿图 不与e 关联
2
无向图关联矩阵(例)
v1
e3
v4
e1 e2
e4
e6
v2
e5
v3
v1 M(G) v2
v3 v4
e1 e2 e3 e4 e5 e6
1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
欧拉图与汉密尔顿图
3
无向图关联矩阵(性质)
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0
1
1 0
0 1
1
1
v2
v3
v3 v4
0
1
1 1
0 0
0
0
欧拉图与汉密尔顿图
9
邻接矩阵与通路数
设A(D)=A=[aij]nn, Ar=Ar-1•A (r2), Ar=[aij (r)]nn,
整数乘和整数加
定理1: aij (r) =从vi到vj长度为r的通路总数 ni=1nj=1aij (r) =长度为r的通路总数
关联矩阵(incidence matrix): M(D)=[mij]nm ,
(每个顶点确定一行,每条边确定一列)
1, vi是ej的起点
mij =
0, vi与ej不关联
-1, vi是ej的终点
欧拉图与汉密尔顿图
5
有向图关联矩阵(例)
v1
v4
e1 e2 e3 e5 e6
v2
e4
v3
e1 e2 e3 e4 e5 e6
从vi到vj的边数
v1
v4
v1 v2
v1 A(D) v2
0 0
2 0
平行边: 相同两列
v1
M(D) v2
e1
1
1
e2 1
1
e3 1
0
e4 0
1
e5 e6
0 0
0
0
v3 v4
0
0
0 1 1 1 1
0
0
0
1
1
欧拉图与汉密尔顿图
7
无向图邻接矩阵
设G=<V,E>是无向简单图,V={v1,v2,…,vn} 邻接矩阵(adjacence matrix):
A(G)=[aij]nn, aii=0,
每列和为2: ni=1mij=2 ( ni=1mj=1mij=2m ) 每行和为d(v): d(vi)=mj=1mij 孤立点:全0行
平行边: 相同两列
环：对应列中只有一个2其余是0
v1 M(G) v2
v3 v4
e1 e2 e3 e4 e5 e6
1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
M(G1)
M(G)
M(G2)
M(Gk)
欧拉图与汉密尔顿图
4
e1 e2 e3 e4 e5 e6
有向图关联矩阵 v1 M(D) v2
1
1
1 1
1 0
0 1
0 0
0
0
v3 v4
0
0
0 1 1 1 1
0
0
0
1
1
设D=<V,E>是无环有向图, V={v1,v2,…,vn},
E={e1,e2,…,em}
P(G1)
P(G)
P(G2)
P(Gk )
欧拉图与汉密尔顿图
14
连通矩阵(例)
v1
v3
v4
v6
v2
v5
1 1 1 0 0 0
1
1
1
0
0
0
1 1 1 0 0 0
P
0
0
0
1
1
0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1
欧拉图与汉密尔顿图
15
有向图邻接矩阵
设D=<V,E>是有向图,V={v1,v2,…,vn} 邻接矩阵(adjacence matrix): A(D)=[aij]nn, aij =
欧拉图与汉密尔顿图
12
连通矩阵
只考虑有无，不考虑有多少条 设G=<V,E>是无向简单图, V={v1,v2,…,vn}, 连通矩阵: P(G)=[pij]nn,
1, 若vi与vj连通 pij =
0, 若vi与vj不连通
欧拉图与汉密尔顿图
13
连通矩阵(性质)
主对角线元素都是1: viV, vi与vi连通 连通图: 所有元素都是1 伪对角阵: 对角块是连通分支的连通矩阵 设Br=A+A2+…+Ar= [bij(r)]nn, 则ij, pij=1 bij(n-1) > 0