欧拉图与汉密尔顿图

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第15章欧拉图与哈密顿图

e5
v3
v2 e1 v1
e2
e3
e4
v4
e5
v3 e3 e4 v4
v2 v1 v5
e2 e3
e1 e5
v3 e4 v4 v6
v1
e6 v5 e7 e8 v6 e2 e3
e8 v5
e8 v6 v5 e2 v6
e7
G
v2 e1 v1 v5 v6 v3 e4 v4 v5 v2
G1
e2 v3 e4 v2 e1 v1 v5 e1
定理15.7
定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj)≥n-1 (15.1) 则G中存在哈密顿通路。证明首先证明G是连通图。否则G至少有两个连通分支，设G1,G2是阶数为n1,n2的两个连通分支，设v1∈V(G1)，v2∈V(G2)，因为G是简单图，所以 dG(v1)+dG(v2)＝dG1(v1)+dG2(v2)≤n1-1+n2-1≤n-2 这与(15.1)矛盾，所以G必为连通图。
例15.3的说明
哈密顿通路是经过图中所有顶点的一条初级通路。哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。对于二部图还能得出下面结论：一般情况下，设二部图G＝<V1,V2,E>，|V1|≤|V2|，且 |V1|≥2，|V2|≥2，由定理15.6及其推论可以得出下面结论： (1) 若G是哈密顿图，则|V1|＝|V2|。 (2) 若G是半哈密顿图，则|V2|＝|V1|+1。 (3) 若|V2|≥|V1|+2，则G不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。
§15.2 哈密顿图
设图为G2，则G2＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,g,h,i,c}，V2＝{b,e,f,j,k,d}，易知，p(G2-V1)＝|V2|＝6>|V1|＝5，由定理15.6可知，G2不是哈密顿图，但G2是半哈密顿图。 baegjckhfid为G2中一条哈密顿通路。设图为G3。G3＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,c,g,h,e}，V2＝{b,d,i,j,f}， G3中存在哈密顿回路。如 abcdgihjefa，所以G3是哈密顿图。

7-4欧拉图与汉密尔顿图

证明（略）。
定理4. 5 设G是具有n个结点的简单图，如果G中每一对结点度数之和大于等于n，则在G中存在一条汉密尔顿回路。证明（略）。
（3）充要条件
定义4. 4 设给定图G=<V，E>有n个结点，若将图G中度数之和至少是n的非邻接结点连接起来得图G’，对图G’重复上述步骤，直到不再有这样的结点对存在为止，所得到的图，称为原图G的闭包，记作C(G)。定理4. 6 当且仅当一个简单图的闭包是汉密尔顿图时，这个简单图是汉密尔顿图。证明:略。
证明: 设C是G的一条汉密尔顿回路，则对于V的任何一个非空子集S在C中删去S中任一结点a1，则C－a1是连通的非回路，若再删去S中另一结点a2，则W(C- a1- a2)≤ 2，由归纳法可得： W(C-S)≤ |S| 同时C-S是G-S的一个生成子图（包含G的每个结点的子图），因而 W(G-S)≤ W（C-S）所以 W(G-S)≤ |S|。证毕。
证明：
推论无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有结点度数全为偶数。
定理4. 1 证明
必要性设G具有欧拉路，即有点边序列v0e1v1e2…eiviei+1…ekvk，其中
结点可能重复出现，但边不重复，因为欧拉路经过图G的所有结点，故图G必是连通的。对任意一个不是端点的结点vi，在欧拉路中每当vi出现一次，必关联两边，故vi虽可重复出现，但deg(vi)必是偶数。对于端点，若 v0=vk，则d(v0)为偶数，即G中无奇数度结点；若端点v0与vk不同，则d(v0)为奇数，d(vk)为奇数，G中就有两个奇数结点。充分性若图G连通,有零个或两个奇数结点,我们构造一条欧拉路如下：
二、汉密尔顿图
1、正十二面体问题 2、汉密尔顿图的定义 3、汉密尔顿图的判别条件

欧拉图和哈密尔顿图

例 “一笔划”问题——G中有欧拉通路
？
实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图
中国邮递员问题-模型
数学模型：
构造无向权图G，以道路为边，路长为权问题的解 ——G 中包含所有边的回路权最小，称为最优回路(未必是简单回路)。当G是欧拉图，则最优回路即欧拉回路。
周游世界的游戏
1859 哈密尔顿 “周游世界”游戏： 20个城市，每个城市恰游一次，回到出发地
例
a
10 12 9
从a出发的“较好的”回路， a
7
14Biblioteka b7 13 11d
6
c
8
e
5
b
14
a
c
5
6
8
长度：40
e
e
d
算法精度下限
设算法所得的回路长度为d， d0 是最小H_
回路的长度，G有n点，则

d / d0 ½ [ln(n)+1]+ ½
改进：
如果在已有回路中，W(vi,vj)+ W(vi+1,vj+1)< W(vi,vi+1)+ W(vj,vj+1),
货郎担/旅行推销员(TSP)问题：
在一个赋权的完全图中，找出一个具有最小权的H_回路，也即回路边的权之和最小对该赋权图上的边，满足三角不等式（距离不等式） W(a,b) W(a,c) + W(c,b)
数学模型
构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每个元素对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图，总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题是如何从这n!/2条中找出最短的一条 eg：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万亿条-(1.216451017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条，需 2万年

概率论-第二十一讲--欧拉图与哈密尔顿图(略)

16
二、哈密尔顿图
例5. 证明下图中没有汉密尔顿路径。图中，3个顶点标记为A，5个顶点 A 标记为B，相差2个，不可能存在一条汉密尔顿路径。 B B 如果在标记过程中，遇到相邻结点出现相同标记时，如果有一个结点的度数为2，可在此对应边上 A A 增加一个结点，并标上相异标 A 记。 B B B B B
11
二、哈密尔顿图
定理3：若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图， V1是V的任意非空真子集，则 ω(G- V1)≤| V1 |。证明：设C是G的一条哈密尔顿回路，对于V的每个非空真子集 V1有：ω(C-V1) ≤|V1|
ω(C- V1)是C删去V1中所有顶点及关联的边后所得图
的连通分支数。又因为C - V1是G - V1的生成子图，故有
13
二、哈密尔顿图
定义3：若无向图G＝<V,E>的顶点集合V可以划分成两个子集X 和Y，使G中的每一条边e的一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称G为二部图或偶图。二部图可记为 G＝<X,E,Y>，X和Y称为互补结点子集。二部图不会有自回路。
14
二、哈密尔顿图
定理4：设二部图G=<X, E, Y>，设|X|=m，|Y|=n。若m≠n，则G 必不是汉密尔顿图。证明：方法1. 用汉密尔顿图的性质证明。因为|X|≠|Y|，不妨设|X|<|Y|。显然有ω(G-X)=|Y|>|X|，这与汉密尔顿图的必要条件ω(G-X)≤|X|矛盾。因此G必不是汉密尔顿图。
定理2：一个有向连通图具有欧拉路径，当且仅当它的每个顶点的引入次数等于引出次数，可能有两个顶点除外，其中一个的引入次数比它的引出次数大1，另一个的引入次数比它的引出次数小1。推论：一个有向连通图具有欧拉回路，当且仅当它的每个顶点的引入次数等于引出次数。

欧拉图与哈密顿图

Fleury算法示例
例15.2
下图是给定的欧拉图G。某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误? 解答此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8} 为下图所示。此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥，他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没有走，所以犯了错误。注意，此人在行遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥 e8，但当时除桥外他无别的边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯错误的。
≤ p(G -V1)+1 ≤ |V1|+1
例15.3
例15.3 在下图中给出的三个图都是二部图。它们中的哪些是哈密顿图？哪些是半哈密顿图？为什么？易知互补顶点子集 V1＝{a,f} V2＝{b,c,d,e} 设此二部图为G1，则G1＝<V1,V2,E>。 p(G1-V1)＝4>|V1|＝2，由定理15.6及其推论可知，G1不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。
因为Г只有两个端点且不同，因而G中只有两个奇数顶点。
另外，G的连通性是显然的。
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有两个奇度顶点。
证明充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0，
对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)，则G 是连通且无奇度顶点的图，由定理15.1可知，G 为欧拉图，因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一条欧拉通路，
哈密顿回路是生成的初级回路。

一、图的概念、路和回路、欧拉图和汉密尔顿图

1、什么是图（Graphs)? d
a
c
由一些点和一些连接两点间的连线组成。
b 定义一个图是一个三元组<V(G), E(G), Ψ(G)>，其中
V(G):非空结点的集合； E(G):边的集合； Ψ(G):从边集合E到结点无序偶(有序偶)上的函数。
Graphs/图论
a
例: 图1：
e1
e3 e2
b
e4
图9 a b
c
a的出度为2，入度
e 为1，a的度数为3
d
Graphs/图论
定理3 在任何有向图中，所有结点的出度之和等于所有结点的入度之和。
证明：因为每一条有向边，必对应一个入度和一个出度；若一个结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边。所以，有向图中各结点入度之和等于边数，各结点出度之和也等于边数。因此，任何有向图中，出度之和等于入度之和。证毕
定理 2 在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。
证明：设：V1 ：图G中度数为奇数的结点集。
V2：图G中度数为偶数的结点集。
由定理1可知
deg(v) deg(v) deg(v) 2 | E |
vv1
vv 2
vV
因为 deg(v) 和2|E|均为偶数，所以 deg(v) 为偶数。
点的组合数为：cn2 = (1/2)*n*(n-1)
故Kn的边数为： |E| ＝(1/2)*n*(n-1)。（证毕）定义如果在Kn中，对每一条边任意确定一个方向，就称该图为n个结点的有向完全图。
|E|＝(1/2)*n*(n-1)
Graphs/图论
对任给的一个图G，总可以将他补成具有相同结点的完全图。
连通性是结点集合上的一种等价关系。

习题四欧拉图与汉密尔顿图 - 烟台大学计算机与控制工程学院

习题四: 欧拉图与汉密尔顿图1．判定图7-4.15的图形是否能一笔画。

2．构造一个欧拉图，其结点数v 和边数e 满足下述条件 a ）v ，e 的奇偶性一样。

b ）v ，e 的奇偶性相反。

如果不可能，说明原因。

3．确定n 取怎样的值，完全图n K 有一条欧拉回路。

4．a ）图7-4.16中的边能剖分为两条路（边不相重），试给出这样的剖分。

b ）设G 是一个具有k 个奇数度结点（k >0）的连通图，证明在G 中的边能剖分为2k 条路（边不相重）。

c ）设G 是一个具有k 个奇数度结点的图，问最少加几条边到G 中，而使所得的图有一条欧拉回路，说明对于图7-4.16如何能做到这一点。

d ）在c ）中如果只允许加平行于G 中已存在的边，问最少加几条边到G 中，使所得的图有一条欧拉回路，这事总能做到吗？叙述能做到这事的充分必要条件。

5．找一种9个a ，9个b ，9个 c 的圆形排列，使由字母｛c b a ,,｝组成的长度为3的27个字的每个字仅出现一次。

6．a ）画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。

图7-4.15(a)(b)图7-4.16图7-4.17b ）画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。

c ）画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。

7．判断图7-4.17所示的图中是否有汉密尔顿回路。

8．设G 是一个具有n 个结点的简单无向图，3≥n ，设G 的结点表示n 个人，G 的边表示他们间的友好关系，若两个结点被一条边连结，当且仅当对应的人是朋友。

a ）结点的度数能作怎样的解释。

b ）G 是连通图能作怎样的解释。

c ）假定任意两人合起来认识所留下的n -2个人，证明n 个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，而两端的两个人，他们每个人旁边只站着他的一个朋友。

d ）证明对于n 4≥，c ）中条件保证n 个人能站成一圈，使每一个人的两旁站着自己的朋友。

9．证明如G 具有汉密尔顿路，则对于V 的每一个真子集S 有 1)(+≤-S S G W10．一个简单图是汉密尔顿图的充要条件是其闭包是汉密尔顿图。

第三章哈密顿图

– –
(1) G的每条边在G*至多重复一次；
(2) G的每个(初级)圈在G*重复边权的和不超过该圈权的一半。

算法过程
–
1．用Dijstra算法求所有奇度顶点对之间的最短路径。 (若G是欧拉图，直接用Fleury算法) 2．以G中所有奇度顶点构造带权完全图G2k, 每边的权是两端点间最短路径长度。
1
2
20
17
19
18Biblioteka 义：图G中的一圈，若它通过G中每个顶点恰好一次，则该圈称为哈密尔顿圈，具有哈密尔顿圈的图称为哈密尔顿无向图。完全图必是哈密尔顿图。
从定义可知，一个图的Hamilton圈与
Euler环游是很相似的，差别在于Hamilton
圈是环游G的所有顶点圈（点不重，当然
边也不重），而Euler环游是环游G的所
道的交叉点，街道长度用相应边的权表示。则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的圈，称为最优圈(注意：未必是简单圈)。当G是欧拉图，则最优圈即欧拉圈。若G不是欧拉图，则通过加边来消除G中的奇度顶点，要求使加边得到的欧拉图G'中重复边
的权和最小。
C是带正权无向连通图G中的最优圈当且仅当对应的欧拉图G*满足：
边外,,每经过G中顶点xi(包括a和b),都为顶点xi
贡献2度,而C的第一边为a贡献1度,C的最后一条
边为b贡献1度.因此,a和b的度数均为奇数,其余
结点度数均为偶数.
充分性:设连通图G恰有两个奇数度结点,
不妨设为a和b,在图G中添加一条边e={a,b} 得G’,则G’的每个结点的度数均为偶数,因而G’中存在欧拉圈,故G中必存在欧拉路.
J K
例3 一张纸上画有如下图所示的图，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？

《离散数学》第八章欧拉图与哈密尔顿图

1 10 1
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用
欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
现在构造一个有向图G，G有8个顶点，每个顶点分别表示 000～111的一个二进制数。设α i∈{0，1}，从顶点α 1α 2α 3 引出两条有向边，其终点分别为α 2α 30和α 2α 31，这两条边分别为α 1α 2α 30以及α 1α 2α 31，按照此种方法，对于八个顶点的有向图共有16条边，在这个图的任意一条通路中，其邻接的边必是α iα jα kα t和α jα kα tα s的形式，即前一条有向边的后3位与后一条有向边的前3位相同。因为图中的16条边被记成不同的4位二进制信息，即对应于图中的一条欧拉回路。
推论无向连通图中顶点与间存在欧拉通路，当且仅当中与的度数为奇数，而其他顶点的度数为偶数。
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
b
a
d
c
图8.1-2
v1
v2
v1
v3
v4
v5
v6
v2
(a)
图8.1-3
v4
v3 (b)
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.3 有向图是欧拉图，当且仅当是强连通的，且中每个顶点的入度都等于出度。
8.2 哈密尔顿图
8.2.1 哈密尔顿图
在图8.2-2中，（a）、（b）中存在哈密尔顿回路，是哈密尔顿图，（c）中存在哈密尔顿通路，但不存在哈密尔顿回路，是半哈密尔顿图，（d）中既无哈密尔顿回路，也无哈密尔顿通路，不是哈密尔顿图。
（ a）
（ b）
（ c）
（ d）
8.2 哈密尔顿图
8.2.2 哈密尔顿图的判定

欧拉图和哈密而顿图

15.1 欧拉图欧拉(1707-1783)：瑞士著名的数学家。13岁进入欧拉：瑞士著名的数学家。岁进入巴塞尔大学，岁取得哲学硕士学位岁取得哲学硕士学位。巴塞尔大学，16岁取得哲学硕士学位。1736年，年他证明了欧拉定理，他证明了欧拉定理，并解决了哥尼斯堡桥的问从而成为图论的创始人。题，从而成为图论的创始人。定义15.1 通过图（无向图或有向图）中每一条边通过图（无向图或有向图）定义一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路。通过图（无向图或有向图）拉通路。通过图（无向图或有向图）中每一条边一次且仅一次行遍图中所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
16
15.欧拉图与哈密顿图欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止，到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充分必要条件。下面介绍一个必要定理。分必要条件。下面介绍一个必要定理。定理15.6：设无向图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是哈密尔顿Ｇ＝＜Ｖ，定理：设无向图Ｇ＝＜ＶＥ＞是哈密尔顿图，则对V的每个非空真子集均成立：则对的每个非空真子集S均成立：的每个非空真子集均成立 w(G-S) ≤|S| 其中，中的顶点数，表示G删去其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示删去中的顶点数表示删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数，有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径，故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径，再回到出发点是不可能的。再回到出发点是不可能的。

离散数学中的欧拉图与哈密顿图

欧拉图和哈密顿图是离散数学中的两个重要的图论概念。

它们分别研究了图中的路径问题，对于解决一些实际问题具有很大的应用价值。

欧拉图是指一个无向图中存在一条路径，经过图中的每条边一次且仅一次，这条路径称为欧拉路径。

如果这个路径的起点和终点重合，则称为欧拉回路。

而对于有向图，存在一条路径，使得经过每一个有向边恰好一次，称为欧拉有向路径，如果该路径起点和终点相同，则称为欧拉有向回路。

1722年，瑞士数学家欧拉首次提出了这个概念，并证明了一系列欧拉图的性质。

欧拉图的性质是其路径的存在性。

既然有了这个概念，那如何判断一个图是不是欧拉图就是一个非常重要的问题。

根据欧拉图的定义，我们可以发现，图中的每个节点的度数都应该是偶数，否则该节点无法成为路径中的中间节点。

因此，一个图是欧拉图的充分必要条件是该图中每个节点的度数都是偶数。

哈密顿图是指一个图中存在一条路径，经过图中的每个顶点一次且仅一次，这条路径称为哈密顿路径。

如果这个路径的起点和终点重合，则称为哈密顿回路。

哈密顿图的概念由19世纪初英国数学家哈密顿引入，其研究对象是关于骑士巡游问题。

与欧拉图不同的是，哈密顿路径并没有一个十分明显的判定条件。

唯一已知的是某些图是哈密顿图，比如完全图和圈图。

至于一般的图是否存在哈密顿路径，目前尚无通用的判定方法。

这也是全世界许多数学家所面临的一个著名且具有挑战性的开放问题，被命名为“哈密顿路径问题”。

欧拉图和哈密顿图在实际问题中具有广泛的应用。

欧拉图的应用包括电子电路和网络的设计，路线规划等。

而哈密顿图的应用更多地涉及路径的优化问题，比如旅行商问题。

在实际应用中，我们常常需要通过对欧拉图和哈密顿图的研究，来寻找最优解或者设计最佳路径。

总的来说，离散数学中的欧拉图和哈密顿图是两个重要的图论概念，它们研究的是图中的路径问题。

欧拉图的判定条件相对明确，而哈密顿图的判定则是一个尚未完全解答的开放问题。

这两个概念在实际中具有广泛的应用，对于解决一些路径优化问题具有重要的参考价值。

欧拉图和汉密尔顿图

生物信息学
在生物信息学中，欧拉图和汉密尔顿图可以用于表示和分析基因组、蛋白质组等生物分子网络。
社会学
在社会学中，欧拉图和汉密尔顿图可以用于表示和分析社会关系、社交网络等方面的问题。
05
总结与展望
对欧拉图和汉密尔顿图的总结
01
欧拉图和汉密尔顿图是图论中的重要概念，分别由数学家欧拉和汉密尔顿提出。
人工智能
汉密尔顿图在人工智能领域也有应用，例如在知识表示和推理中，可以利用汉密尔顿路径来表示和推理复杂的逻辑关系。
机器学习
汉密尔顿图还可以应用于机器学习中，特别是在图神经网络（GNN）中，可以利用汉密尔顿路径进行节点间的信息传递和传播。
欧拉图与汉密尔顿图在其他领域的应用
01
02
03
交通运输
欧拉图和汉密尔顿图在交通运输领域有广泛应用，例如在路线规划、物流配送和交通控制等方面。
汉密尔顿图是指一个图中存在一条遍历其所有顶点的路径，且每条边只遍历一次。
当一个汉密尔顿图的起点和终点是同一点时，该路径就成为欧拉路径，此时汉密尔顿图也就是欧拉图。
欧拉图与汉密尔顿图的判定问题
欧拉图的判定问题
给定一个图，判断是否存在一条遍历其所有边且每条边只遍历一次的路径。
汉密尔顿图的判定问题
02
欧拉图是指存在一条或多条路径能够遍历图的所有边且每条边只遍历一次的图。
03
汉密尔顿图是指存在一条路径能够遍历图的所有顶点且每条边只遍历一次的图。
04
欧拉图和汉密尔顿图在计算机科学、运筹学、电子工程等领域有广泛的应用。
对欧拉图和汉密尔顿图未来的研究方向
寻找更高效的算法来判断一个图是否为欧拉图或汉密尔顿图，以及寻找更多的应用场景。

离散数学15 欧拉图与哈密顿图

穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路）经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图称为半哈密顿图。平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知（4）为欧拉图，（5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图（5）为半哈密顿图（6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。

欧拉图和哈密顿图

例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
尽管讨论哈密顿通路和哈密顿回路在形式上与欧
拉通路和欧拉回路非常相似，但遗憾的是到目前为止，仍然没有找到一个合适的条件来作为判断哈密顿通路或哈密顿回路存在的充要条件。不过，可以给出哈密顿通路和哈密顿回路存在的充分条件或必要条件。
定理9.2.1设无向图G=<V, 的任意非空子集，则
E>是哈密顿图，V1是V
下面给出一些哈密顿图的充分条件。
定理9.2.2设G=<V, E>是具有n个节点的简单无向图，若
对任意的u, v∈V均有
deg(v) +deg(u) ≥n－1
则G中存在哈密顿通路。
容易看出，定理9.2.2中的条件对图中是否存在哈密顿路是充分而不必要的。
如图9.2.6所示的六边形G，虽然任意两个节点度数之和等于4<6-1(n=6)，但G中却显然有哈密顿路（实际上G是哈密顿图）。
只要数一下图中节点的度数即可。
❖ 9.1.4 欧拉图的应用一笔画问题所谓“一笔画问题”就是画一个图形，笔不离纸，每条边只画一次而不许重复地画完该图。“一笔画问题”本质上就是一个无向图是否存在欧拉通路（回路）的问题。如果该图为欧拉图，则能够一笔画完该图，并且笔又回到出发点；如果该图只存在欧拉通路，则能够一笔画完该图，但笔回不到出发点；如果该图中不存在欧拉通路，则不能一笔画完该图。

第13节欧拉图与哈密顿图

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集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻，则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1，因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
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集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p，则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
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集合与图论
实例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？解做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.

欧拉图与汉密尔顿

欧拉图是满足每条边恰好出现一次的路径，而汉密尔顿图是满足每条边恰好出现一次的回路。
欧拉路径是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的路径，而汉密尔顿回路是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的回路。
欧拉图与汉密尔顿图的区别
欧拉图不一定是回路，而汉密尔顿图一定是回路。
欧拉图可以有多条路径，而汉密尔顿图只有一条路1
一个连通图存在欧拉回路当且仅当其所有顶点的度均为偶数。
欧拉图的性质2
欧拉图的性质3
一个无向图存在欧拉回路当且仅当其所有顶点的度都是偶数，或者只有一个顶点的度是奇数，其余所有顶点的度都是偶数。
如果一个连通图存在欧拉回路，那么这个欧拉回路的长度一定是其边数的两倍。
欧拉图与汉密尔顿
• 欧拉图 • 汉密尔顿图 • 欧拉图与汉密尔顿图的关系 • 欧拉图与汉密尔顿图的应用
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
欧拉图的定义：一个图如果存在一条路径，该路径经过图中的每条边恰好一次，则称这条路径为欧拉路径，如果这个路径的起点和终点是同一点，则称为欧拉回路。
欧拉回路是路径的子集，它从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一次，最后回到起始顶点。
欧拉图与汉密尔顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图与汉密尔顿图在经济学中用于研究市场均衡、供需关系等问题。
社会学
欧拉图与汉密尔顿图在社会学中用于研究社会网络、人际关系等问题。
生物学
欧拉图与汉密尔顿图在生物学中用于研究生物分子结构、基因调控网络等问题。
感谢观看
THANKS
欧拉图只要求路径上的边不重复，而汉密尔顿图要求路径上的边和节点都不重复。
04
欧拉图与汉密尔顿图的应用

离散数学第4-5章

例题6： 1 2 带权图如右，求图的最小生成树 6 5 e 4 解：选取含最大边(c,d)的回路cdec， 3 删去其中权数最大的边(c,d)，然后 b 1 c 再选取含最大边(a,b)的回路abea，删去其中权数最大的边(a,b)，再选取含最大边(c,e)的回路bceb，删去其中权数最大的边(c,e)，再选取含最大边(a,d)的回路adea，删去其中权数最大的边(a,d)，即得最小 a 生成树。 d 1 T=<{a,b,c,d,e},{(c,b),(b,e),(e,a),(e,d)}>。 e 2
汉密尔顿图的判定：
必要条件但不是充分条件定理： 1。在汉密尔顿图G中删除结点集V1后，G－V1的连通分支数W (G V1 ) | V 1|。不满足这一条件的图一定不是汉密尔顿图。充分条件但不是必要条件定理： 2。如果无向简单图G中任何一对结点的度数之和都大于等于结点数，则G中存在一条汉密尔顿回路。
例题4：下列结论不正确的是（ D ）。 A）无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点 B）非平凡连通图G有欧拉通路的充分必要条件是 G最多有两个奇数度结点 C）有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的每个结点的入度等于出度 D）有向连通图D是有向欧拉图的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等于出度
例题3：设G是无向图如右(彼得森图)，说明G不是欧拉图。解：因为无向图G中所有的结点的度数全为奇数，所以 G不是欧拉图。 2。无向连通图存在欧拉通路的充分必要条件是图中只有两个奇数度的结点。 3。当n为奇数时，完全无向图Kn是欧拉图。例如K3、K5等。 4。当n为偶数时，完全无向图Kn不是欧拉图，也不存在欧拉通路。
g
例题8：设图G如右，作图G 的嵌入图，说明图G是平面图。解：图G的嵌入图如下，故图G是平面图。