欧拉图和哈密尔顿图.ppt
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欧拉图与哈密顿图演示文稿
欧拉回路: 通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点 的回路。
欧拉图: 具有欧拉回路的图; 半欧拉图:具有欧拉通路而无欧拉回路的图。
第6页，共40页。
举例
欧拉图
半欧拉图
无欧拉通路
欧拉图
无欧拉通路
无欧拉通路
第7页，共40页。
无向欧拉图的判定定理
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。 定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有两个奇度 顶点。
(3)是半哈密顿图。 (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。
第24页，共40页。
定理15.6
定理15.6 设无向图G＝<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V，且V1≠，均 有 p(G-V1)≤|V1| 其中，p(G-V1)为G-V1的连通分支数。
证明 设C为G中任意一条哈密顿回路， 易知，当V1中顶点在C上均不相邻时， p(C-V1)达到最大值|V1|， 而当V1中顶点在C上有彼此相邻的情况时， 均有p(C-V1)＜|V1|，所以有 p(C-V1)≤|V1|。 而C是G的生成子图，所以，有p(G-V1)≤p(C-V1)≤|V1|。
设图为G3。G3＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,c,g,h,e}，V2＝{b,d,i,j,f}， G3中存在哈密顿回路。 如 abcdgihjefa， 所以G3是哈密顿图。
第28页，共40页。
例15.3的说明
哈密顿通路是经过图中所有顶点的一条初级通路。 哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。 对于二部图还能得出下面结论：
第17页，共40页。
求欧拉图中欧拉回路的算法
Fleury算法，能不走桥就不走桥
(1) 任取v0∈V(G)，令P0＝v0。 (2) 设Pi＝v0e1v1e2…eivi已经行遍，按下面方法来从
欧拉图: 具有欧拉回路的图; 半欧拉图:具有欧拉通路而无欧拉回路的图。
第6页，共40页。
举例
欧拉图
半欧拉图
无欧拉通路
欧拉图
无欧拉通路
无欧拉通路
第7页，共40页。
无向欧拉图的判定定理
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。 定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有两个奇度 顶点。
(3)是半哈密顿图。 (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。
第24页，共40页。
定理15.6
定理15.6 设无向图G＝<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V，且V1≠，均 有 p(G-V1)≤|V1| 其中，p(G-V1)为G-V1的连通分支数。
证明 设C为G中任意一条哈密顿回路， 易知，当V1中顶点在C上均不相邻时， p(C-V1)达到最大值|V1|， 而当V1中顶点在C上有彼此相邻的情况时， 均有p(C-V1)＜|V1|，所以有 p(C-V1)≤|V1|。 而C是G的生成子图，所以，有p(G-V1)≤p(C-V1)≤|V1|。
设图为G3。G3＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,c,g,h,e}，V2＝{b,d,i,j,f}， G3中存在哈密顿回路。 如 abcdgihjefa， 所以G3是哈密顿图。
第28页，共40页。
例15.3的说明
哈密顿通路是经过图中所有顶点的一条初级通路。 哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。 对于二部图还能得出下面结论：
第17页，共40页。
求欧拉图中欧拉回路的算法
Fleury算法，能不走桥就不走桥
(1) 任取v0∈V(G)，令P0＝v0。 (2) 设Pi＝v0e1v1e2…eivi已经行遍，按下面方法来从
第4讲Euler图和Hamilton图
【算法的Matlab程序】见word文档 算法的),(0,2),(1000,0),用改良圈算 用改良圈算 法计算经过这四个点的Hamilton圈。 法计算经过这四个点的 圈
V=[ 0 0 ;100 1000; 0 2; 1000 0] For i=1：4 ： for j=1:4 W(i,j)=sqrt((V(i,1)-V(j,1))^2+(V(i,2)-V(j,2))^2); end end
二、【Fleury算法：见word文档】 算法： 文档】 算法 文档
三、Hamilton圈和旅行售货商问题 Hamilton圈和
1859年，数学家Hamilton发明了一种周游世界 的游戏。把一个12面体的20个顶点分别标上北京、 东京、华盛顿等20个大都市的名字，要求玩的人 从某城市出发，沿着12面体的棱通过每一个城市 恰好一次，再回到出发的城市。这种游戏在欧洲 曾经风靡一时，Hamilton以25个金币的高价把该 项专利卖给了一个玩具商。 用图论的语言来讲，此游戏本质就是在一个12 面体上寻找经过每一个顶点一次且恰好一次的特殊 的圈，即Hamilton回路。
定理一：当G是连通图时，下面三个命题等价 定理一： 是连通图时， 是连通图时
1. G是Euler图 是 图 2. G的每个顶点是偶次 的每个顶点是偶次 3. G是圈的并，且圈的交集是空集 是圈的并， 是圈的并
“一笔画”，就是指一笔能画出的图形， 一笔画” 就是指一笔能画出的图形， 一笔画 容易知道，一笔画其实就是Euler通路和 容易知道，一笔画其实就是 通路和 回路的思想。 回路的思想。 推论一：一个连通图有Euler迹当且仅 推论一：一个连通图有 迹当且仅 当最多有两个奇点。 当最多有两个奇点。
图和Hamilton图 第四讲 Euler图和 图和 图
离散数学PPT课件 7欧拉图与汉密尔顿图(ppt文档)
00
0 1
1 0
11
此轮的设计:以两位二进制数
V={00,01,10,11}为结点,画带
权图(即边上标有数字--称为
边的权), 从任何a1∈V结点 画2条有向边,标权0(或1),
该边指向结点a2,于是构成 边a10, (或a11),这八条边分别 表示八个二进制数:
e0 =000
e1 =001 00 01 e5 =101 10
v2
v3
v4
v5
G2 v6
如何判定一个图中是否有 a
b
1
4
欧拉路,或有欧拉回路?
c
d
3
2
3.有欧拉路与有欧拉回路的判定: 定理8-5.1:无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有 零个或两个奇数度的结点. *证明:必要性, 设G有欧拉路.(自行尝试证明) 充分性,(证明的过程就是一个构造欧拉路的过程)
7. 欧拉图与汉密尔顿图
这里主要讨论图的遍历问题,一个是遍历过程中要求经过
的所有边都不同;一个是遍历过程中要求经过的所有结点
都不同.
欧拉在1736年发表了第一篇关于图论的论文, 就是就七
桥问题.
A
BDΒιβλιοθήκη CAe1 e2 e5
B e6 D
e3 e4
C
e7
一.欧拉图:
1.欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经 过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.
e3 =011 e2 =010
11 1
e7 =111
000,001,010,011,100,101,110,111 从此图上取一个欧拉回路: e0e1e2e5 e3e7e6e4 将上述各边的末位数字写成序列:01011100, 于是就按照此序列将鼓轮进行加工,标0部分
欧拉图和哈密尔顿图ppt课件
有欧拉通路
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件
网络设计：用于设计网络拓扑结构，如路由器、交换机等设备的连接
电路设计：用于设计电路板布局，如PCB板、集成电路等
地图绘制：用于绘制地图，如城市地图、交通地图等
建筑设计：用于设计建筑布局，如房屋、办公楼等
物流规划：用于规划物流网络，如仓库、配送中心等
城市规划：用于规划城市布局，如道路、公园等
汇报人：
哈密尔顿图是平面图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图定义：每个顶点的度数等于图中的边数
哈密尔顿图的性质：哈密尔顿图是欧拉图
哈密尔顿图的判定方法：通过计算每个顶点的度数来判断
哈密尔顿图的应用：在图论、计算机科学等领域有广泛应用
PART FIVE
平面图是一种特殊的图，其顶点和边都在同一个平面上
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度数都是2或0。
哈密尔顿图是一种特殊的欧拉图，其每个顶点的度数都是2。
哈密尔顿图是一种特殊的平面图，其顶点和边都可以在平面上表示出来。
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图是二部图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
在数学中，哈密尔顿图可以用于研究图的性质，如图的连通性、图的色数等。
哈密尔顿图在图论中具有重要的应用价值，特别是在网络流、电路设计等领域。
在计算机科学中，哈密尔顿图可以用于解决一些NP-hard问题，如旅行商问题、背包问题等。
在物理学中，哈密尔顿图可以用于描述量子系统的状态空间，从而进行量子计算和量子信息处理。
汇报人：
,
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
二部图是一种特殊的图，由两个部分组成，每个部分包含一组节点每个节点只能与另一部分的节点相连，不能与同一部分的节点相连二部图的节点可以分为两个集合，每个集合中的节点只能与另一个集合中的节点相连二部图的边可以分为两种类型，一种是连接两个不同集合的边，另一种是连接同一集合中的边二部图的性质包括：每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边
第十五章欧拉图与哈密顿图
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是 连通的且为若干个边不重的圈的并.
本定理的证明可用归纳法. 例15.1 设G是非平凡的且非环的欧拉图，证明：
（1）λ(G)≥2. （2）对于G中任意两个不同顶点u, v，都存在 简单回路C含 u 和 v.
证 （1）由定理15.5可知，e E(G), 存在圈C， e 在C中，因而 p(G - e) p(G), 故 e 不是桥。 由 e 的任意性λ(G)≥2，即G是2边-连通图。
在这里做个规定: 平凡图是欧拉图.
例1 下列各图中 是否有欧拉回路、欧位通路？ 图15.1
解：e1 e2 e3 e4 e5 为(1)中的欧拉回路，所以(1)图为欧拉图. e1 e2 e3 e4 e5 为(2)中的一条欧拉通路，但图中不存在 欧拉回路（为什么？），所以(2)为半欧拉图。
（3）中既没有欧拉回路也没有欧拉通路(为什么？)， 所以(3)不是欧拉图，也不是半欧拉图。
设(2)中图为G2，则 G2 V1,V2 , E , 其中 V1 {a, g,h,i,c},V2 {b,e, f , j,k,d }, 易知， p(G2 -V1) |V2 | 6 |V1 | 5,由定理15.6可知， G2不是哈密顿图，但G2是半哈密顿图，其实， baegjckhfid 为G2中一条哈密顿通路.
图示：
(a)
“周游世界” 智力题
(b)
哈密顿图
一、哈密顿通路、哈密顿回路、 哈密顿图、 半哈密顿图的定义
定义15.2 经过图（有向图或无向图）中所有 顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路；
经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密 顿回路；
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图； 具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈 密顿图.
第9章 欧拉图和哈密顿图
10
例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
9
定理9.1.2 设G=<V, E>是有向弱连通图，则 （1）当且仅当G的每个顶点的入度等于出度时， G是欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点外，其它顶点的入度 等于出度，而除外的两个顶点，一个的入度比出度 多1，另一个的入度比出度少1时，G有欧拉通路。
定理9.1.1和定理9.1.2提供了欧拉通路与欧拉回 路的十分简便的判别准则。
v1
v2
v3
v8
v4
v1 v2 v2 v3
v8
v4
v8
v4
v1
v2
v3
v2
v8 v8
v4 v4
v6
v7
v6
v5
（a）
（b） v7 v6 v6 v5
v7 （vc6 ） v5
定理9.1.3 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连 通的且为若干个边不重的圈的并。
11
❖ 9.1.3 欧拉图的难点 对于欧拉图，需要大家注意以下几点： 1．仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图。 2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路的判定非常简单，
第四篇 图 论
1
第九章 欧拉图和哈密顿图
❖ 9.1 欧拉图 ❖ 9.2 哈密顿图
2
9.1 欧拉图
9.1.1 欧拉图的引入和定义 18世纪中叶，在东普鲁士哥尼斯堡城，有一条
例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
9
定理9.1.2 设G=<V, E>是有向弱连通图，则 （1）当且仅当G的每个顶点的入度等于出度时， G是欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点外，其它顶点的入度 等于出度，而除外的两个顶点，一个的入度比出度 多1，另一个的入度比出度少1时，G有欧拉通路。
定理9.1.1和定理9.1.2提供了欧拉通路与欧拉回 路的十分简便的判别准则。
v1
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v8 v8
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（a）
（b） v7 v6 v6 v5
v7 （vc6 ） v5
定理9.1.3 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连 通的且为若干个边不重的圈的并。
11
❖ 9.1.3 欧拉图的难点 对于欧拉图，需要大家注意以下几点： 1．仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图。 2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路的判定非常简单，
第四篇 图 论
1
第九章 欧拉图和哈密顿图
❖ 9.1 欧拉图 ❖ 9.2 哈密顿图
2
9.1 欧拉图
9.1.1 欧拉图的引入和定义 18世纪中叶，在东普鲁士哥尼斯堡城，有一条
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。
离散数学欧拉图与哈密尔顿图ppt课件
例5 设G是非平凡的欧拉图，且v ∈V(G)。证明：G 的每条具有起点v的迹都能扩展成G的欧拉环游当且仅当 G-v是森林。
证明：“必要性”
若不然，则G-v有圈C。 考虑G1=G-E(G)的含有顶点v的分支H。
由于G是非平凡欧拉图，所以G1的每个顶点度数为偶数， 从而，H是欧拉图。
12
1
0.5 n 0
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
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00
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1
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0.6 0.4 x 0.2
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1
0.5 n 0
如果邮路图本身是非欧拉图，那么为得到行走环游，必须重 复行走一些街道。于是问题转化为如何重复行走街道？
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
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2、管梅谷的结论
定理2 若W是图G中一条包含所有边的闭途径，则W在 这样的闭途径中具有最短的长度当且仅当下列两个条件被 满足：
在vi与vi+k间连新边ei得图G*（1≦i≦k).则G*是欧拉图， 因此，由Fleury算法得欧拉环游C.
在C中删去ei （1≦i≦k).得k条边不重的迹Qi （1≦i≦k):
E(G) E(Q1) E(Q2 )
E(Qk )
第19讲-欧拉回路及哈密顿回路PPT优秀课件
从引例的求解过程可以得到以下启示：
①对一个问题是否用上述方法求解，其关键在于能否将问 题转化为相互联系的决策过程相同的多个阶段决策问题。
所谓多阶段决策问题是：把一个问题看作是一个前后关 联具有链状结构的多阶段过程，也称为序贯决策过程。如下 图所示：
决 策
状 态
状 态
1
决 策 状 态
2
决 策
状 态
状 态
值为 64．
返回
哈密尔顿图
定义 设 G=(V,E)是连通无向图. （１）经过 G 的每个顶点正好一次的路径，称为 G 的一条
哈密尔顿路径． （２） 经过 G 的每个顶点正好一次的圈，称为 G 的哈密尔
顿圈或 H 圈． （３）含 H 圈的图称为哈密尔顿图或 H 图．
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推销员问题-定义
流动推销员需要访问某地区的所有城镇，最后 回到出发点．问如何安排旅行路线使总行程最 小．这就是推销员问题．
割边
e7
e8
e6
v
v 7 e9
6
G的边e 是割边的充要条件是 e 不含在G的圈中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图
（１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回．
（２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回．
（３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图．
（４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
C= v1,v2,… ,vi,,vj , vj-1,… , vi+1,vj+1, …,vn,v1 (3)对 C 重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的 C 即 为所求．
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
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1、引例（最短路问题）
①对一个问题是否用上述方法求解，其关键在于能否将问 题转化为相互联系的决策过程相同的多个阶段决策问题。
所谓多阶段决策问题是：把一个问题看作是一个前后关 联具有链状结构的多阶段过程，也称为序贯决策过程。如下 图所示：
决 策
状 态
状 态
1
决 策 状 态
2
决 策
状 态
状 态
值为 64．
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哈密尔顿图
定义 设 G=(V,E)是连通无向图. （１）经过 G 的每个顶点正好一次的路径，称为 G 的一条
哈密尔顿路径． （２） 经过 G 的每个顶点正好一次的圈，称为 G 的哈密尔
顿圈或 H 圈． （３）含 H 圈的图称为哈密尔顿图或 H 图．
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推销员问题-定义
流动推销员需要访问某地区的所有城镇，最后 回到出发点．问如何安排旅行路线使总行程最 小．这就是推销员问题．
割边
e7
e8
e6
v
v 7 e9
6
G的边e 是割边的充要条件是 e 不含在G的圈中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图
（１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回．
（２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回．
（３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图．
（４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
C= v1,v2,… ,vi,,vj , vj-1,… , vi+1,vj+1, …,vn,v1 (3)对 C 重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的 C 即 为所求．
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
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1、引例（最短路问题）
离散数学PPT课件7欧拉图与汉密尔顿图(ppt文档)
7. 欧拉图与汉密尔顿图
这里主要讨论图的遍历问题,一个是遍历过程中要求经过
的所有边都不同;一个是遍历过程中要求经过的所有结点
都不同.
欧拉在1736年发表了第一篇关于图论的论文, 就是就七
桥问题.
A
B
D
C
A
e1 e2 e5
B e6 D
e3 e4
C
e7
一.欧拉图:
1.欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经 过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.
新的闭迹C
用上述算法求右图中欧拉回路.
1
1
此图中所有结点度均为偶数, 6 2 6 2
所以有欧拉回路.
a) 选以1为起点的闭迹E1:1261 b) E1不包含所有边.
5 3 4
5 3 4
c) 在G- E1中找新闭迹E2: 6356 ( 6是E1与E2的公共点)
d)以公共点6为起点,对E1∪E2中的边排序:C=6356126
思考题：
上面的“计算机鼓轮设计问题”里，用到的是有 向图欧拉回路。而有向图何时具有欧拉回路，其判定 方法与无向图不同。具体会是怎样的呢？请同学们在 课余时间自行搜索资料。
另外，上面设计有向图的边，也缺乏唯一性和确 定性。是不是随便设计边就可以呢？请大家举例尝试 自行设计计算机鼓轮的编码。
实际上，该编码不能任意设计，也就是说有向图 是应该有确定的设计规则的。具体规则又会是什么呢？
e3 =011 e2 =010
1011,100,101,110,111 从此图上取一个欧拉回路: e0e1e2e5 e3e7e6e4 将上述各边的末位数字写成序列:01011100, 于是就按照此序列将鼓轮进行加工,标0部分
这里主要讨论图的遍历问题,一个是遍历过程中要求经过
的所有边都不同;一个是遍历过程中要求经过的所有结点
都不同.
欧拉在1736年发表了第一篇关于图论的论文, 就是就七
桥问题.
A
B
D
C
A
e1 e2 e5
B e6 D
e3 e4
C
e7
一.欧拉图:
1.欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经 过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.
新的闭迹C
用上述算法求右图中欧拉回路.
1
1
此图中所有结点度均为偶数, 6 2 6 2
所以有欧拉回路.
a) 选以1为起点的闭迹E1:1261 b) E1不包含所有边.
5 3 4
5 3 4
c) 在G- E1中找新闭迹E2: 6356 ( 6是E1与E2的公共点)
d)以公共点6为起点,对E1∪E2中的边排序:C=6356126
思考题：
上面的“计算机鼓轮设计问题”里，用到的是有 向图欧拉回路。而有向图何时具有欧拉回路，其判定 方法与无向图不同。具体会是怎样的呢？请同学们在 课余时间自行搜索资料。
另外，上面设计有向图的边，也缺乏唯一性和确 定性。是不是随便设计边就可以呢？请大家举例尝试 自行设计计算机鼓轮的编码。
实际上，该编码不能任意设计，也就是说有向图 是应该有确定的设计规则的。具体规则又会是什么呢？
e3 =011 e2 =010
1011,100,101,110,111 从此图上取一个欧拉回路: e0e1e2e5 e3e7e6e4 将上述各边的末位数字写成序列:01011100, 于是就按照此序列将鼓轮进行加工,标0部分
第13节欧拉图与哈密顿图
18/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻， 则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1， 因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶 点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
19/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果 对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p， 则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少 有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
22/25
集合与图论
实 例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在 同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中 找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.
集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻， 则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1， 因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶 点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
19/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果 对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p， 则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少 有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
22/25
集合与图论
实 例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在 同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中 找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，
2至021/今6/18沿用。
2
哈密顿
1805年8月4日生于爱尔兰都柏林；1865年9月2日卒于都 柏林．力学、数学、光学．哈密顿的父亲阿其巴德 (Archibald Rowan Hamilton)为都柏林市的一个初级律师． 哈密顿自幼聪明，被称为神童．他三岁能读英语，会算术； 五岁能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗； 九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地语．14岁时，因在都 柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V，vi,vj都在C上， 因而vi,vj连通，所以G为连通图。 又vi∈V，vi在C上每出现一次获得2度， 若出现k次就获得2k度，即d(vi)＝2k， 所以G中无奇度顶点。
数学的研究，口述了好几本书和400余
篇的论文。
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音
乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等
是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标
准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永
远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设
并从回C路上C的i，某i顶＝点1,v2r,开…始,s行，遍最，后每回遇到到vr，v*ji，就行遍G i中的欧拉 得回路vr…v*j1…v*j1…v*j2…v*j2…v*js…v*js…vr， 此回路经过G中每条边一次且仅一次并行遍G中所有顶点，
欧拉图与哈密顿ppt课件
阐明：该推论是充分条件但不是必要的。 例如：
该五边形是哈密顿图，但恣意两个不相邻的顶点度 数之和为4，图形阶数为5。
;
座位问题
例 在某次国际会议的预备会中，共有8人参与，他 们来自不同的国家。假设他们中任两个无共同言语的人 与其他有共同言语的人数之和大于或等于8，问能否将这 8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。
;
图中有四个奇度点，v2,v4,v6,v8，将它们分成两 对，比如说v2与v4为一对，v6与v8为一对。
衔接的v2与v4、v6与v8的通路有好几条，但要取权 和最小的一条。
这个图中没有奇度点，故它是欧拉图。对于这个可行方案，反 复边的权和为17。
;
在最优方案中，图中每个圈的反复边的权和不大于 该圈权和的一半。
;
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
〔6〕
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕为哈密顿图 〔5〕为半哈密顿图 〔6〕既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
;
到目前为止，还没有找到判别哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面引见哈密顿图和半哈密顿图的必要条件 定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的恣 意非空子集，那么有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1 的连通分支数。
;
假设在某条道路中边〔vi,vj〕上反复走了几次， 我们在图中vi,vj之间添加几条边，令所添加边的权与 原来的权相等，并把新添加的边，称为反复边。
于是这条道路就是相应新图中的欧拉回路。
;
由于在任何一个图中，奇度点个数为偶数，所以假 设图中有奇度点，就可以把它们配成对。又由于图是连 通的，故每一对奇度点之间必有通路，把权和最小的通 路上的一切边作为反复边加到图中去，可见新图中无奇 度点。
该五边形是哈密顿图，但恣意两个不相邻的顶点度 数之和为4，图形阶数为5。
;
座位问题
例 在某次国际会议的预备会中，共有8人参与，他 们来自不同的国家。假设他们中任两个无共同言语的人 与其他有共同言语的人数之和大于或等于8，问能否将这 8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。
;
图中有四个奇度点，v2,v4,v6,v8，将它们分成两 对，比如说v2与v4为一对，v6与v8为一对。
衔接的v2与v4、v6与v8的通路有好几条，但要取权 和最小的一条。
这个图中没有奇度点，故它是欧拉图。对于这个可行方案，反 复边的权和为17。
;
在最优方案中，图中每个圈的反复边的权和不大于 该圈权和的一半。
;
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
〔6〕
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕为哈密顿图 〔5〕为半哈密顿图 〔6〕既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
;
到目前为止，还没有找到判别哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面引见哈密顿图和半哈密顿图的必要条件 定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的恣 意非空子集，那么有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1 的连通分支数。
;
假设在某条道路中边〔vi,vj〕上反复走了几次， 我们在图中vi,vj之间添加几条边，令所添加边的权与 原来的权相等，并把新添加的边，称为反复边。
于是这条道路就是相应新图中的欧拉回路。
;
由于在任何一个图中，奇度点个数为偶数，所以假 设图中有奇度点，就可以把它们配成对。又由于图是连 通的，故每一对奇度点之间必有通路，把权和最小的通 路上的一切边作为反复边加到图中去，可见新图中无奇 度点。
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练习1：连通图的判定
➢ 指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
欧拉回路：在图G中存在一条回路，经过图 G中每条边一次且仅一次。（能一笔画）
欧拉图：具有欧拉回路的图。
欧拉图的判定定理
1856年,英国数学家哈 密尔顿设计了一个周游世界的 游戏，他在一个正十二面体的 二十个顶点上标上二十个著名 城市的名字，要求游戏者从一 个城市出发，经过每一个城市 一次且仅一次，然后回到出发 点。
哈密尔顿回路图
a
练习3：一笔画的判定
➢ 指出下列各图是否一笔画
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
例7-9一笔画的判定
a
a
如(agfecfbdaegdf)
d g e A、f是奇点，有欧拉通路，
b
f
c 可以A、f为起点， F、 A为终点一笔画成。
f
全部结点为偶结 点，故有欧拉回 路，可以任意结 点为起点， 且为 终点一笔画成。
哈密尔顿图
设G=<V，E>是连通无向图 图G中存在一条经过图中的每个结点一次且仅
一次的通（回）路，称此通路为哈密顿通（回）路 哈密顿图：具有哈密尔顿回路的图。
目前还没有找到连通无向图具有哈密顿通（回）路的
充分必要条件。
?
练习4：哈密尔顿回路判定
判定下图是否存在哈密尔顿回路！
图1
图2
Example 周游世界问题
定理7-4 无向图G=<V，E>具有欧拉回路，即是 欧拉图的充分必要条件是这个图是连通的，并且 图G中所有结点的度数都是偶数，即都与偶数条 边相连。
定理7-5 无向图G=<V，E>具有欧拉通路的充分 必要条件是图G是连通的，并且图G中恰有两个度 数是奇数的结点或者没有度数是奇数的结点。
练习3：欧拉回路的判定
此投递线路即一笔画线路。
一笔画问题：就是判断一个图形能否一笔画成, 实质上就是判断图形是否存在欧拉通路和欧拉 回路的问题。
一笔画的判定定理：⑴ 如果图中的每个结点都与 偶数条边相连，则可以任取一点做始点，一笔画 完，回到始点；⑵ 如果图中只有两个顶点与奇数 条边相连，则选择这两个顶点中的一个做始点， 一笔画完，终点为另一个与奇数条边相连的结点。
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
a
b
d
f h
j
k
c e
g i
l
全部结点为偶结点，故有欧拉 回路，即所求投递线路， 例如(abcgebdfhdeihkiglkjfa)
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u到结点v是可达的。
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几 个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通 关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发， 通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称 图是连通的。
➢ 指出下列各图哪些是欧拉回路？哪些是欧拉通路？
（1）
（2）
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
例7-7
a 。 。b c 。 。d a、b、c、d
a。 。b
a。 。b
c。
。 d
。e
f。
。c
a、c为奇结点，
。 e
。d
都为奇结点，无欧 无欧拉回路 拉通路与欧拉回路
有欧拉通路
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
回路：在点边序列v0e1v1e2…envn中，当 v0=vn时称此通路为回路。