图论-哈密尔顿图-课内专题报告
图论讲义第4章-欧拉图与hamilton图
§4.1 Euler 图
一、基本概念
通常认为，图论见诸于文献的起始研究之一是瑞士数学家欧拉关于七桥问题的研究。在 18 世纪普鲁士的哥尼斯堡城（Königsberg），普雷格尔（Pregel）河穿城流过，河中有两个河 心岛，有七座桥将小岛与河岸连接起来（如下图）。有市民尝试从河岸或岛屿的任一陆地点 出发，经过每座桥一次且仅一次回到出发点，但一直未能获得成功。人们怀疑，这样的走法 是否存在？这便是七桥问题。
⇒
哥尼斯堡七桥
图1
1741 年，欧拉经过对七桥问题的研究，发表了第一篇有关图论的论文，从而使七桥问 题闻名于世。欧拉将四块陆地用平面上四个点来表示，两块陆地间有一座桥相连，就在两个 相应的点间连一条边，最终获得如图 1 所示的一个图 G。于是七桥问题转化为一个图论问题： 图 G 中从任一顶点出发，经过每条边恰好一次回到出发点，是否可能？
若Wn 不是 G 的 Euler 闭迹，设 S = { Gn 中度>0 的所有顶点}。则 S ≠ φ （因Wn 不是 G 的 Euler 闭迹，有边不在Wn 上），且Wn 上有 S 中的点（否则 Gn 中Wn 上的点都是 Gn 的孤立 点，这与 G 是 Euler 图（从而连通）矛盾），但 vn ∈ S = V (G) \ S 。设 m 是Wn 上使得 vm ∈ S 而 vm+1 ∈ S 的最大整数。因Wn 终止于 S = V (G) \ S ，故 em+1 = vmvm+1 是 Gm 中 [S, S ] 的仅 有的一条边，因而是 Gm 的一条割边。
充分性：设 G 的每条边含在奇数个圈上，希望证明 G 的每个顶点都是偶数度的。任取
顶点 v， 设 v 关联的边共有 k 条，分别为 e1, e2 , , ek 。与这些边相应，构造一个有重边的 图 H 如下：顶点集 H = {u1, u2 , , uk } ，对于每个 ui ，相应于每个既含有 ei 也含有某个 e j 的 圈，在 ui 和 u j 之间连一条边。
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图第四章欧拉图与哈密尔顿图(⼀)、欧拉图及其性质(1)、问题背景---欧拉与哥尼斯堡七桥问题问题：对于图G，它在什么条件下满⾜从某点出发，经过每条边⼀次且仅⼀次，可以回到出发点？注：⼀笔画----中国古⽼的民间游戏（存在欧拉迹）要求：对于⼀个图G, 笔不离纸, ⼀笔画成.拓展：三笔画：在原图上添加三笔，可使其变为欧拉图。
定义1 对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。
欧拉闭迹⼜称为欧拉环游，或欧拉回路。
定理1 下列陈述对于⾮平凡连通图G是等价的：(1) G是欧拉图；(2) G的顶点度数为偶数；(3) G的边集合能划分为圈。
推论1 连通图G是欧拉图当且仅当G的顶点度数为偶。
推论2 连通⾮欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。
证明：若G和H是欧拉图，则G×H是欧拉图。
若G是⾮平凡的欧拉图，则G的每个块也是欧拉图。
(⼆)、Fleury算法(欧拉图中求出⼀条具体欧拉环游的⽅法)⽅法是尽可能避割边⾏⾛(三)、中国邮路问题（最优欧拉环游，管梅⾕）定理2 若W是包含图G的每条边⾄少⼀次的闭途径，则W具有最⼩权值当且仅当下列两个条件被满⾜：(1) G的每条边在W中最多重复⼀次；(2) 对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权值不超过该圈⾮重复边总权值。
(四)、哈密尔顿图的概念定义1 ：如果经过图G的每个顶点恰好⼀次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。
所经过的闭途径是G的⼀个⽣成圈，称为G的哈密尔顿圈。
定义2: 如果存在经过G的每个顶点恰好⼀次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。
(五)、哈密尔顿图性质与判定1、性质定理【必要条件】；定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任⼀⾮空顶点⼦集S，有：w(G−S)≤|S|注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满⾜时，可断定对应图是⾮H、图。
1-tough条件下哈密尔顿图的一个充分条件的开题报告
1-tough条件下哈密尔顿图的一个充分条件的开题报
告
哈密尔顿图是一种特殊的图，指包含一条经过所有节点的路径（即
哈密尔顿路径）的无向图。
而对于哈密尔顿路径的研究，则可以得到哈
密尔顿回路，即由哈密尔顿路径组成的闭合路径。
在实际应用中，哈密尔顿图在计算机科学中扮演着重要的角色，如
在旅行推销员问题、电路设计、图形路由、自动化制造等领域中都有广
泛应用。
然而，在某些情况下，哈密尔顿图的计算问题变得异常困难。
例如，在NP难问题条件下，哈密尔顿图的求解可能会变得不可行。
因此，研究哈密尔顿图的充分条件可以帮助我们理解其计算难度并找到更高效的解
决方法。
在该项目中，我们将探讨哈密尔顿图的充分条件之一：tough条件。
tough条件是由图论家F.T. Leighton于1979年首次提出的，它被定义为：
对于任意无向图G，设L(G)表示其最长路径的长度，n表示其节点数，则G满足tough条件当且仅当：
对于所有2 <= k <= n/2，有：
k <= L(G)/(n-k+1)
即对于每个k，一个由图上取任意k个节点组成的子集，不会比大于n-k+1个节点的子集短得太多。
tough条件是充分而非必要条件，即如果一个图满足tough条件，则它一定是哈密尔顿图；但如果一个图不满足tough条件，则不能确定它
是不是哈密尔顿图。
因此，我们将研究一些样例并比较它们是否满足tough条件和是否是哈密尔顿图，以更深入地理解这个条件的特性和重要性。
最后，我们将讨论tough条件的实际应用以及与其他哈密尔顿图条件的关系，以展示该充分条件对于哈密尔顿图研究的价值和意义。
811 哈密尔顿图的刻画
哈密尔顿图的刻画Characterization of Hamiltonian Graphs哈密尔顿图问题属于NPC问题哈密尔顿图的刻画一直是图论中的重要课题之一本节将介绍几个基本结果哈密尔顿图中一定不存在悬挂边存在哈密尔顿道路的图中不存在孤立顶点n > 2时，K n 是哈密尔顿图14233412 1 2 4 3 1 2 4 3只要图G中有“足够多”的边，那么它就会是哈密尔顿图定理设G是n（n≥2）阶简单图，如果G中任一对顶点u和v，都满足deg(u)+deg(v)≥n-1，则G 中存在哈密尔顿道路（ Ore ，1960 ）设G 是n（n≥3）阶简单图，如果G中任一对顶点u 和v，都满足deg(u)+deg(v)≥n，则G是哈密尔顿图推论1（Dirac，1952 ）设G是n（n≥3）阶简单图，如果G中任一顶点的次数都至少是n/2，则G是哈密尔顿图推论2设G是一(n, m)简单图，若m≥(n2-3n+6)/2，则G是哈密尔顿图。
如果图中存在2个顶点u, v 使得deg(u)+deg(v)<n则在图G中删去这2个点，构成n-2 阶简单图G ’G ’中的边数为m’≥m-(deg(u)+deg(v))> (n2-3n+6)/2-n= (n-2)(n-3)/2与G ’是简单图矛盾。
因此，G中任一对顶点u 和v，都满足deg(u)+deg(v)≥nG是哈密尔顿图u vG G’注意上述结果都是充分条件，不满足这些条件的图也可能是哈密尔顿图n=6deg(v)=2<n/2for any vertex vm=6(n2 3n+6)/2=12例假设在n（n≥4）个人中，任意两人合在一起能认识其余的n-2个人，则他们可以围成一圈，使相邻者相识。
证明以每个人为一顶点，相识者之间加边，便构成一个图G问题转化为证明图G是哈密尔顿图对于任意两顶点u, v，若u, v代表的两人相识，则deg(u)+deg(v) ≥n-2 +1+1 = nu vn-2哈密尔顿图的刻画证明对于任意两顶点u, v，若u, v 代表的两人不相识他们两人合在一起能认识其余的n-2个人假设存在顶点w与u相邻，则必然有w与v相邻，否则u, w代表的两人合在一起仍然不认识v代表的人同理，若存在顶点w与v 相邻，则必然有w 与u 相邻这说明u,v 代表的两人都认识其余的全部n-2个人，于是deg(u)+deg(v) = n-2+n-2 ≥n可知图中存在哈密尔顿回路，即所有人可以围成一圈，使相邻者相识11 u vwE nd。
欧拉图和哈密尔顿图ppt课件
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件
网络设计：用于设计网络拓扑结构，如路由器、交换机等设备的连接
电路设计：用于设计电路板布局，如PCB板、集成电路等
地图绘制：用于绘制地图，如城市地图、交通地图等
建筑设计：用于设计建筑布局，如房屋、办公楼等
物流规划：用于规划物流网络，如仓库、配送中心等
城市规划：用于规划城市布局，如道路、公园等
汇报人：
哈密尔顿图是平面图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图定义：每个顶点的度数等于图中的边数
哈密尔顿图的性质：哈密尔顿图是欧拉图
哈密尔顿图的判定方法：通过计算每个顶点的度数来判断
哈密尔顿图的应用：在图论、计算机科学等领域有广泛应用
PART FIVE
平面图是一种特殊的图，其顶点和边都在同一个平面上
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度数都是2或0。
哈密尔顿图是一种特殊的欧拉图，其每个顶点的度数都是2。
哈密尔顿图是一种特殊的平面图，其顶点和边都可以在平面上表示出来。
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图是二部图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
在数学中，哈密尔顿图可以用于研究图的性质，如图的连通性、图的色数等。
哈密尔顿图在图论中具有重要的应用价值，特别是在网络流、电路设计等领域。
在计算机科学中，哈密尔顿图可以用于解决一些NP-hard问题，如旅行商问题、背包问题等。
在物理学中，哈密尔顿图可以用于描述量子系统的状态空间，从而进行量子计算和量子信息处理。
汇报人：
,
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
二部图是一种特殊的图，由两个部分组成，每个部分包含一组节点每个节点只能与另一部分的节点相连，不能与同一部分的节点相连二部图的节点可以分为两个集合，每个集合中的节点只能与另一个集合中的节点相连二部图的边可以分为两种类型，一种是连接两个不同集合的边，另一种是连接同一集合中的边二部图的性质包括：每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边
哈密尔顿图
定理11.2.5 设有向图G为竞赛图，若G是强连通的， 则G是哈密尔顿向图。
在采用循环赛制，而且没有平局的比赛中，如果 对某两个选手，总可以找到另一些选手而形成甲 胜乙、乙胜丙、丙又胜甲的循环胜，那么就可以 找到所有参选手之间的“循环胜”情形。
定义11.2.3 设有向图G为竞赛图，若G的顶点可顺 序排列为v1, v2, v3, …, vn，使得当i<j时(vi, vj)是G的 弧，则称G为传递竞赛图。
v4
v3
v1
v2
定理11.2.6 设G为竞赛图，则G为传递竞赛图的充 要条件是G中无圈。
• 传递竞赛图描述的是一种理想状态下的比赛，即 名次排在前面的选手一定胜过后面的选手。选手 强弱胜负分明，不存在以弱胜强的情形。
推论11.2.2 设G为竞赛图，并且不是传递竞赛图， 则G中必有长为3的圈。
问旅游者能否从某个城市出发经过每一个城市恰好一次然后回到出发的城市如图1121这就是著名的哈密尔顿问题也即在图1121中找出一条包含所有20个顶点的圈沿着图中给出的编号从顶点1依次走过所有20个顶点再回到顶点1就是哈密尔顿问题的一个解
11.2 哈密尔顿图
哈密尔顿在1859年提出了一个“环游世界”的 问题：用一个正十二面体的20个顶点代表世界上 20个城市，用正十二面体的棱代表旅游路线。问 旅游者能否从某个城市出发，经过每一个城市恰 好一次，然后回到出发的城市(如图11.2.1)？这 就是著名的哈密尔顿问题，也即在图11.2.1中找 出一条包含所有20个顶点的圈。
• 哈密尔顿有向图中有一条包含所有顶点的圈，因 此哈密尔顿有向图一定是强连通的。
定理11.2.3 设G=(V, E)是强连通有向图，V(G) ≥ 3, 且对任意的顶点v都有d+(v)+ d-(v) ≥ n，则G是哈密 尔顿向图。
欧拉图和哈密尔顿图-精
哈密尔顿 图
定义：若图G中有经过所有顶点的基本回路， 称为哈密尔顿回路，若G中含哈密尔顿回路， 则称G为H_图。
定义：经过图G中所有顶点的
○ 基本通路称为哈密尔顿通路， ○ 若G中含哈密尔顿通路， ○ 但不含哈密尔顿回路，则称 ○ G为半哈密尔顿图。
周游世界的游戏—— 的解
哈密顿图
存在哈密顿通路
则G称为以v为始点的随机欧拉图。
随机欧拉 图
注，若G是以v为始点的随机欧拉图，则任何一个以 02 v为始点的不包含G中所有边的回路都应该能扩充成
欧拉回路。反之，若G不是以v为始点的随机欧拉图，
则一定存在已经包含了v所关联的所有边，却未包
含G中所有边的简单回路。
随机欧拉图的判定
[定理] 欧拉图G是以v为始点的随机欧拉图当且仅当G中任一回 路均包含v。
定义：如果图G中仅有欧拉通路，但没有欧拉回路，则图G称为半欧拉 图。
定义：如果图G中含欧拉回路，则图G称为欧拉图。
图G的一个回路/通路,它经过G中每条边恰好一次，则回路/通路称为欧 拉回路/通路。
例 “一笔划”问题——G 中有欧拉通路
实例
上图中，(1) ,(4) 为 欧拉图
例 多米诺骨牌，28块
能否排成一圈使两两相邻的半边的点数相
C 牌 同数 ，问是否可能2？728种 7
将0-6看作7个结点，任2 点的边看作一块骨牌
这样,该问题转化为G有无 欧拉回路的问题
[定理]对连通图，下列命题等价
一．G是欧拉图 二．G的每个结点为
k
边 集 C 1 ,C 2 , ,C k 不 重 叠 之 基 本 回 路 ， 且 偶i U 度= 1 C 数 i E G
短的一条 eg：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万亿条-(1.21645 1017)/2，
4.4-Hamilton图(离散数学)
比较H 比较H路、H回路与Euler路 回路与Euler Euler路
Hamilton路着眼于无重复地遍历图中诸 路着眼于无重复地遍历图中诸 点，而 Euler路着眼于无重复地遍历有 路着眼于无重复地遍历有 向图中诸弧。 向图中诸弧。 存在Euler路，未必存在 H回路。 回路。 存在 路 回路 存在H回路 未必存在Euler路。 回路， 存在 回路，未必存在 路
§4.4 Hamilton图 Hamilton图
§4.4 Hamilton图 Hamilton图
沿着正十二面体的棱寻找一条旅行路线， 沿着正十二面体的棱寻找一条旅行路线，通过每个城 市恰好一次又回到出发城市。 这便是Hamilton回路问 市恰好一次又回到出发城市 。 这便是 回路问 题。
§4.4.1 Hamilton路及必要条件
证明： 证明：
往证G的闭合图 是完全图。 记点u在 往证 的闭合图C(G)是完全图。用d(u)记点 在G 的闭合图 是完全图 记点 中的度， 记点u在 中的度。 中的度，用d’(u)记点 在C(G)中的度。 记点 中的度 反证法，假设C(G)不是完全的，设u, v是C(G)中 不是完全的， 反证法，假设 不是完全的 是 中 使得d’ (u) +d’ (v)为最大的两个不相邻的点。不 使得 为最大的两个不相邻的点。 为最大的两个不相邻的点 妨设d’ 妨设 (u) ≤d’ (v)。 。 的性质， 由C(G)的性质，显然，d’ (u)+d’ (v) < γ 的性质 显然， 并且x在 中与v不相邻 令S={x | x∈P(G)并且 在C(G)中与 不相邻 ∈ 并且 中与 不相邻} T={x | x∈P(G)并且 在C(G)中与 不相邻 并且x在 中与u不相邻 ∈ 并且 中与 不相邻} 显然， 显然，|S|= γ-d’(v) ， |T| = γ-d’(u) 注意， 与自己算做不相邻。 注意，点u与自己算做不相邻。 与自己算做不相邻
图论课件-哈密尔顿图
哈密尔顿图被用于解决DNA测序中的
排序问题，以确定基因排序的最密尔顿回路，将某个形状切割 成相等面积的小块，被应用于制造领 域。
总结
哈密尔顿图的实际应用
通过解决问题和优化路线，哈密尔顿图在各个领 域带来实际效益和成功案例。
哈密尔顿图的研究价值
了解和探索哈密尔顿图的特性，可以推动图论领 域的研究和未来的学术发展。
判断图中是否存在包含 所有顶点的哈密尔顿回 路。
2 哈密尔顿路径问题
判断图中是否存在包含 所有顶点的哈密尔顿路 径。
3 哈密尔顿图存在性
问题
判定一个图是否为哈密 尔顿图。
应用领域
1
网络拓扑布局
哈密尔顿图可以用于设计网络的拓扑
遗传学领域的DNA测序问题
2
结构，确保每个节点都可以直接连接 到其他节点。
哈密尔顿图的性质
哈密尔顿图一定是强连通的，每个顶点有且只有一条入边和一条出边。
判定哈密尔顿图的方法
线性时间的方法
使用策略或算法，如基于图的剖分和动态规划， 以线性时间判定图是否为哈密尔顿图。
构造性方法
应用数学原理和图的性质，通过构造合适的路 径或回路来判断图是否为哈密尔顿图。
相关问题
1 哈密尔顿回路问题
图论课件-哈密尔顿图
欢迎来到图论课件-哈密尔顿图！探索什么是哈密尔顿图，判定方法和相关问 题，以及其在网络布局、遗传学和切割问题中的应用。
什么是哈密尔顿图
哈密尔顿图的定义
具有一条包含所有顶点的哈密尔顿路径的图。
哈密尔顿回路与哈密尔顿路径
回路是一条从某个顶点出发并最终回到该顶点的路径。路径只需要包含所有顶点即可。
图论课件第四章 欧拉图与哈密尔顿图
所以：解为：egjeijdghdbhcbafcg
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、算法证明
定理1 若G是欧拉图，则G中任意用Fleury算法作出的 迹都是G的欧拉环游。
证明：令Wn=v0e1v1…envn为由Fleury算法得到的一条 G中迹。
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
图论及其应用
应用数学学院
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第四章 欧拉图与哈密尔顿图
主要内容 一、欧拉图与中国邮路问题 二、哈密尔顿图 三、度极大非哈密尔顿图与TSP问题 四、超哈密尔顿图问题
“充分性”
若不然，设Q=(v, w)是G的一条不能扩充为G的欧拉环游 的最长迹，显然v = w,且Q包含了与v关联的所有边。即Q是 一条闭迹。
于是，G-v包含G-Q且G-Q的每个顶点度数为偶数.
于是，G-Q的非平凡分支是欧拉图，说明有圈，即G-v有 圈，这与条件矛盾.
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
1、 算法 (1)、 任意选择一个顶点v0,置w0=v0;
10
1
0.5 n 0
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1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、 假设迹wi=v0e1v1…eivi已经选定，那么按下述方 法从E-｛e1,e2,…,ei｝中选取边ei+1:
图论课件超哈密尔顿图问题共30页
(1) 假设是由a进入Ⅰ，要能够走 完P,必须遍历Ⅰ∪Ⅱ 的所有顶点后 由b进入Ⅲ，但这与断言2矛盾！
(2) 假设是由a进入Ⅳ，要能够走 完P,必须遍历Ⅲ∪Ⅳ 的所有顶点后 由b进入Ⅱ，但这也与断言2矛盾！
所以，情形1不能成立！
f
c
Ⅱ
Ⅰ
e
d
b
a
Ⅲ
Ⅳ
Thomassen图
12
1
f
c
Ⅱ
Ⅰ
e
d
b
a
Ⅲ
Ⅳ
Thomassen图 9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定理证明分为两部分: (1) 证明G中不存在H路；(2) 证
明对G中任意点v，有G-v存在H路。
f
c
(1) 证明G中不存在H路。
Ⅱ
Ⅰ
如图所示，将G用虚线分成对称
e
2
4
3
G
4
3
G2
值得一提的是：在H问题研究中，H图中H圈的计数问题 也是一个研究方向。
21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定理：每个3正则H图至少有3个生成圈。
我院张先迪、李正良教授曾经也研究过H图中H圈的计 数问题。90年在《系统科学与数学》学报上发表文章： “有限循环群上Cayley有向图的H回路”，得到了该类图 的H圈的计数公式。
0810604020xt0051152?1?050051n1本次课主要内容二e图和h图的关系超哈密尔顿图问题一超h图与超h迹0810604020xt0051152?1?050051n2定义1若图g是非h图但对于g中任意点v都有gv是是h图则称g是超h图
哈密而尔顿图
定义: 经过图中每个点一次且仅一次的路 (回路) 称为 哈密尔顿路 (回路或圈) ,存在哈密尔顿圈的图称为哈 密尔顿图。 例
只有哈密尔顿路，但不是哈密尔顿图
无哈密尔顿路
哈密尔顿图
• 欧拉回路和H圈的区别: 欧拉回路是包含G 中的所有边, 但H圈不是, 它仅仅包含了G中 的n条边…..
定理：设G = (V, E) 是哈密尔顿图，则对任意的V V ，V ’ ≠Ф，有 ω(G -V’)≤| V’| 其中ω(G -V ’) 表示G 中删去V ’ （即删去V ’中各点及其 关联的边）后所得图的连通分支数。（用于否定）
v
（a）
(b)
• • • •
推论1:每个H图都无割点. 证明：反证法： 推论2: 奇数阶的两分图不是H图. 证明： 反证法：
设G是具有n 个点的简单图，则对G的任意两个 不相邻顶点 u 和 v ， （1）若d(u) + d(v)≥n-1, 则 G 有哈密尔顿路； （2）若d(u) + d(v)≥n, 则 G 是哈密尔顿图。
证明：设C 是G 中一条哈密尔顿回路。任取 V 中非 空子集V’ ，因 C 是G 的哈密尔顿回路含G 的所有点， 故V’ 也是子图 C 的非空子集。由点不重复的回路的 特性知任意删去C 中 | V’ | 个点，最多将C 分为 | V’ | “段” ，即 ω(C-V’) ≤ | V’ |
依据定理可判断下图（a）不是哈密尔顿图，这是因 若取V ’= {v}，有ω(G -V ’) =2 > 1 =|V ’| 可验证彼得森图（下图（b）所示）不是哈密尔顿图， 但满足定理的条件。这表明定理所给出的条件只是 哈密尔顿图的必要条件而不是充分条件。
• 根据定理我们可以证明:
• 设G是(p,q)图, 若q≥(p2-3p+6)/2,则G是H-图.
8.3哈密而顿图
v1
G2 彼德森图G1 彼德森图
v2
G2-{V1,V2}
设G=<V,E>,为无向简单图,如G中任意两个结点 G=<V,E>,为无向简单图, 为无向简单图 的度数之和大于等于|V|,则 是哈密尔顿图。 的度数之和大于等于|V|,则G是哈密尔顿图。 |V|, 如： 例如： 该六边形是哈密顿图， 该六边形是哈密顿图 ， 但每 个节点是2度数之和为 ， 个节点是 度数之和为4， 点 度数之和为 的数目等于6。 的数目等于 。
例：如图为K5 如图为 1． 以a为起点，回路为 ． 为起点， 为起点 回路为adbeca，权和为 ；a ，权和为47； 2． 以b为起点，回路为 ． 为起点， 为起点 回路为badecb， ， 权和为42； 权和为 ； 3．以c为起点，回路为 ． 为起点 回路为cbadec， 为起点， ， 权和为42；回路为cdaebc，权和为 9； 权和为 ；回路为 ，权和为35； 4．以d为起点，回路为 ． 为起点， 为起点 回路为dabced， ，
（续）例题：143页6.17 例题： 页
任意两人合起来能认识留下的n-2人 任意两人合起来能认识留下的 人。 任取两人a、 ，（ ，（a≠b） 任取两人 、b，（ ） 1)、a、b是朋友，deg(a)+deg(b)≥1+1+(n、 、 是朋友 是朋友， 2) ≥n ≥n-1； ； 2)、 a、b不是朋友，a、b合起来能认识 、 、 不是朋友 不是朋友， 、 合起来能认识 其他的n-2人 对于另一个人 ，假设a认识 其他的 人，对于另一个人c，假设 认识 c；又由于a、c合起来能认识其他的 人， ；又由于 、 合起来能认识其他的 合起来能认识其他的n-2人 a、b不认识，只能 、b认识，从而 、 不认识 只能c、 认识 不认识， 认识， deg(a)+deg(b) ≥(n-2)+1=n-1。 。 由1)、2)知，任意两个结点的度数之和 、 知 ≥n-1，从而G中存在哈密而顿路径。 ，从而 中存在哈密而顿路径 中存在哈密而顿路径。
大学数学图论-哈密尔顿图
该成果获得中国2005年度国家自然科学二等奖。
例4 求证下图是H图。
1
2 3
4
5
7
6
G
9
8
证明：在G中有：
d1 d2 d3 3 d4 d5 5 d8 d9 8 因n=9,所以，m=1,2,3,4
d6 6 d7 7
d5 9 4 5, d6 9 3 6, d7 9 2 7, d8 9 1 8 所以，由度序列判定法，G是H图。
所以，有：
G G1 G2
又由引理2知，
G1 是闭G图2 ，且
有： G1 G2 G1 同理： G1 G2 G2
所以， G1 G2
G1 G2 G1
定理4(帮迪——闭包定理) 图G是H图当且仅当它的闭包是H图。
证明：“必要性”显然。 “充分性” ：假设G的闭包是H图，我们证明G是H图。
假设G的闭包和G相同，结论显然。 若不然，设ei (1≦i≦k)是为构造G的闭包而添加的所有边，由引理1，G是H 图当且仅当G+e1是H图， G+e1是H图当且仅当G+e1+e2是H图,…, 反复应用引理1， 可以得到定理结论。
1891年，彼得森发表了一篇奠定他图论历史地位的长达28页的论文。这篇 文章被公认是第一篇包含图论基本结论的文章。同时也是第一次在文章中使 用“图”术语。
1898年，彼得森又发表了一篇只有3页的论文，在这篇文章中，为举反例构 造了著名的彼得森图。
2、判定 图的H性判定是NP-困难问题。到目前为止，有关的定理有300多个，但 没有一个是理想的。拓展H图的实用特征仍然被图论领域认为是重大而没 有解决的问题。
图论中的哈密尔顿回路与最短路径问题
图论中的哈密尔顿回路与最短路径问题在图论中，哈密尔顿回路与最短路径问题是两个重要的研究方向。
本文将主要讨论这两个问题的定义、性质以及解决方法，并分析它们在实际应用中的重要性。
一、哈密尔顿回路问题哈密尔顿回路问题是指在给定的无向图中，是否存在一条包含每个顶点且只经过一次的闭合路径。
如果存在这样的路径，我们称之为哈密尔顿回路；否则，该图没有哈密尔顿回路。
1.1 哈密尔顿回路的定义与性质对于一个含有n个顶点的图，哈密尔顿回路可以定义为一条包含n 个顶点的简单回路。
具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图，没有哈密尔顿回路的图则称为非哈密尔顿图。
哈密尔顿回路问题具有以下性质：（1）哈密尔顿回路是NP完全问题：寻找哈密尔顿回路的过程是一个指数级的搜索问题，目前还没有找到多项式时间内解决该问题的算法。
（2）哈密尔顿回路问题的判定问题是NP问题：判断一个给定图是否存在哈密尔顿回路可以在多项式时间内完成。
1.2 解决哈密尔顿回路问题的方法由于哈密尔顿回路问题的复杂性，目前没有找到通用的解决方法。
但是对于一些特殊类型的图，可以使用一些常见的算法来求解。
（1）回溯法：回溯法是一种穷举搜索算法，通过遍历图中所有可能的路径，判断是否满足哈密尔顿回路的条件。
然而，由于搜索空间巨大，回溯法在大规模图中的效率较低。
（2）启发式算法：启发式算法是一种基于经验和启发性规则的优化算法。
例如，蚁群算法和遗传算法在解决哈密尔顿回路问题上取得了一定的成果。
二、最短路径问题最短路径问题是指在给定的带权有向图或无向图中，寻找两个顶点之间具有最短路径的问题。
最短路径可以根据路径上的边权重之和来定义。
2.1 最短路径问题的定义与性质对于一个含有n个顶点的图，最短路径可以定义为一条连接两个顶点的路径，且路径上的边权重之和最小。
如果没有这样的路径存在，则称两个顶点之间不存在最短路径。
最短路径问题具有以下性质：（1）最短路径问题是一个经典的优化问题：寻找最短路径是一种典型的组合优化问题，目前已经有多种高效的算法可以解决该问题。
图论课件第四章欧拉图与哈密尔顿
欧拉路径的长度等于其经过的边 数。
哈密尔顿路径的定义与性质
定义
哈密尔顿路径是指一个路径在图中经 过所有的顶点且每个顶点只经过一次 ，最后回到起始点。
性质
哈密尔顿路径的长度等于其经过的顶 点数。
欧拉路径与哈密尔顿路径的判定
欧拉路径的判定
对于一个给定的图，判断是否存在一个路径满足欧拉路径的 定义。通常需要通过图的连通性、边的数量和顶点的数量等 条件进行判断。
连通性
连通性是图论中的一个重要概念，研究图中顶点之间的连接关系。常 见的连通性算法包括深度优先搜索和广度优先搜索。
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图论课件第四章欧拉 图与哈密尔顿
目录
• 欧拉图 • 哈密尔顿图 • 欧拉路径与哈密尔顿路径 • 应用与扩展
01
欧拉图
欧拉图的定义
01
欧拉图是一个连通图，它包含一 条或多条边，并且每条边只包含 一次，使得从起点到终点的每条 路径都恰好经过每条边一次。
02
欧拉图中的路径称为欧拉路径， 起点和终点称为欧拉终点，如果 这条路径的长度恰好是边数，则 称为欧拉回路。
回溯法
通过回溯算法搜索所有可能的路 径，判断是否存在一个路径满足 哈密尔顿路或哈密尔顿路径的条件。
邻接矩阵法
通过判断邻接矩阵是否满足一定条 件来判定一个图是否为哈密尔顿图。
欧拉路径法
通过判断一个图是否存在欧拉路径 来判定该图是否为哈密尔顿图。
03
欧拉路径与哈密尔顿路径
欧拉路径的定义与性质
定义
欧拉路径是指一个路径在图中从 一点出发，经过所有的边且每条 边只经过一次，最后回到起始点 。
哈密尔顿回路是一个路径，它经过图中的每个顶点恰好一次，并且起点和终点必须 不同。
图的Hamilton性和连通性的谱刻画的开题报告
图的Hamilton性和连通性的谱刻画的开题报告概述：该开题报告主要讨论了图的Hamilton性和连通性的谱刻画。
具体来说，报告分为三部分：第一部分介绍了图论基础，包括图的定义、图的表示方法、路径和环的定义等。
第二部分讨论了图的Hamilton性和连通性的谱刻画。
首先，我们介绍了谱图理论和图Laplacian矩阵的定义。
然后，我们通过定义图的特征值和特征向量，提出了一些基本结果，例如图的度数和图的谱半径等。
接着，我们详细讨论了图的Hamilton性和连通性的谱刻画，并介绍了基于谱方法的算法，以及它们的优劣势。
第三部分总结了我们的研究成果，并提出了一些研究方向，例如将图谱方法应用于大规模的复杂网络，提高算法的精度和效率，以及探索图的其他性质的谱刻画等。
正文：一、图论基础图是由节点和边组成的抽象数学对象。
一个无向图G可以用顶点集V和边集E表示，其中V={v1,v2,v3, …, vn}表示节点集合，E={(vi，vj)}代表边集合。
路径是通过一系列节点和边连接的节点序列，环是一个路径从起点到终点的一条边。
在无向图中，简单路径是没有重复节点的路径。
简单环是没有重复节点或边的环。
二、图的Hamilton性和连通性的谱刻画1. 谱图理论和图Laplacian矩阵谱图理论是一种用特征值和特征向量描述图的方法。
我们可以通过谱图理论来研究图的结构和性质，例如连通性、Hamilton性、与自然图模型的比较等。
图Laplacian矩阵也是谱图理论中的一个重要概念。
它是由图的节点和边定义的矩阵，可以用于研究图的能量和其他性质。
对于无向图G=(V,E)，Laplacian矩阵$L_G$被定义为:$$L_G=D_G-A_G$$其中$A_G$是邻接矩阵，$D_G$是对角矩阵，$D_{ii}$是节点i的度数。
对于一个无环图，Laplacian矩阵具有下列性质：（1）它是一个实对称矩阵。
（2）它至少有一个非零特征值，当前这个特征值就是0。
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实际上，对于所有n2， Qn都有哈密顿圈(以及路径)。
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图论之哈密尔顿图
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Xi’an Jiaotong University
a
b
c
e d
f
g
h
图
i
若图G表示上图，那么边{a,b}, {b,c}, {c,f}, {f,e}, {e,d}, {d,g}, {g,h}, {h,i} 就是G中的一条哈密顿路径。但是G中有哈密顿圈吗？ 由于G有九个顶点，如果在G中存在哈密顿圈，那么它必须包含九条边。我们可以 从顶点b开始试图构造一条 哈密顿圈。因为这个图时对称的，所以从b到c或者从b到a 都可以。不妨选择从b到c。C既可以到达f也可以到达i。再次利用对称性，到达f。因为 无法再回到顶点c，所以后续考虑中删除边{c,i}。为了在这个圈中包括顶点i，现在必须 从f到i(到h到g)。因为边{c,f}he {f,i}在这个圈里，所以再这个圈中不能存在边{e,f}。[否则， 在这个圈中就有deg(f)>2。]但是，接下来一旦到达顶点e我们就要左右为难。因此，对于 这个圈来说不存在哈密顿圈。
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n-5 n-1 n-3 (a) n-3 利用图(a)，那么n=17时就可以得到8种可能的安排。
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定理 1 当n 3时，完全图K n 是Hamilton图。 证明：设完全图K n的顶点为v1 ,v2 ,...,vn，ei 为连接vi与vi 1 的边，其中i=1,2,...,n-1，en为连接v n与v1的边，则 v1e1v 2e2v3 ...v nen v1是Hamilton回路。
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n-维超立方体(Qn)
01
11
011 010 000 110 100
111
00
Q2
10 001
Q3
101
Q2中有圈：00->10->11->01->00
Q3中有圈:000->100->110->010->011->111->101->001>000
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基本概念
一、哈密顿图与半哈密顿图 1. 定义 若G=<V,E>是一个图或者多重图并且|V| ≥3，如果在G里存在包含V中 每个顶点的一个圈，则称G具有一条哈密顿圈(Hamilton cycle)。一条 哈密顿路径(Hamilton path)是包含G中每个顶点的一条路径(并且不能 是圈)。 （1）哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路。 （2）哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路。 （3）哈密顿图——具有哈密顿回路的图。 （4）半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图。 几点说明： • 平凡图是哈密顿图。 • 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路。 通过观察，我们可以看出（周游世界问题）是哈密顿图，上图 • 环与平行边不影响哈密顿性。 给出的一条哈密顿回路。 • 哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上。
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定理 2 的应用
定理2也可以描述成n(n 2)阶竞赛图中存在哈密顿通路。
证明提示：竞赛图的基图是无向完全图，对n(n ≥2)做归纳。可以观察如下两个图。
有关竞赛图的两个结论： (1)竞赛图必是半Hamilton有向图。 (2)强连通的竞赛图必是Hamilton有向图。
* 定理 2 设K* 是一个有向完全图 --即， K n n 有n个顶点并且在
每一对不同的顶点x和y之间，边(x,y)和边(y,x)之间恰好有 一条在K* n中。这样的一个图[称为竞赛图]中一定存在一条 (有向)哈密顿路径。
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图论之哈密尔顿图4Fra bibliotekXi’an Jiaotong University
哈密顿图与欧拉图的比较
哈密尔顿图问题尽管在形式上与欧拉图问题极其相似，哈密尔顿圈（路径）要
求只能访问图中每个定点一次；欧拉闭迹要求只能访问图中每条边一次。但至今还未 得到确保哈密尔顿圈（路径）存在性的简明的充要条件，这属于图论中尚未解决的难 题之一。到目前为止已经对于连通图建立了许多必要条件或者充分条件，来判断是否 具有哈密尔顿圈或者哈密尔顿路径。
稍后会分别介绍判定哈密尔顿图的充分条件和必要条件。
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（1）
（2）
（3）
（4）
在上述图中， （1）,（2）是哈密顿图， （3）是半哈密顿图， （4）既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。
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图论之哈密尔顿图
每条哈密顿圈中。 3)如果a ∈V并且deg(a) ＞2，那么在我们试图构造一条哈密顿圈时，一旦经过
顶点a的两条边，那么在后续考虑中就可以删除关联于a的所有无用边。
4)在构造G的一条哈密顿圈时，不能得到G子图的一个圈，除非它包括G中所有 顶点。
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{n-3,n-1},{n-1,1}组成。这条哈密顿圈与第一条圈没有公共边。当n ≥7时，按照这种
k 2 方法把图？中的圈旋转角度 n 1 ，其中2 ≤k ≤(n-3)/2，就得到总数为(n-1)/2条哈密顿
圈，它们满足任意两个圈没有公共边。所以这17名学生在此科学营地中一直可以共进 (17-1)/2=8天午餐，直到某些同学不得再次坐在其它人旁边。 5 5 7 n-2 3 3 2 4 1 n 2 1 n n-1 (b)
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哈密尔顿周游世界问题
1857年，著名的爱尔兰数学家Sir William Hamilton设计了一个游 戏：它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当 时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游 过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游 过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。给定世界上20个 城市，用一个代表地球的十二面体的20个顶点分别代表这20个城市。 从某一个顶点出发，沿着十二面体的棱，经过每个顶点恰好一次， 最后回到出发点。
定理 2 的证明
证明：令m 2并且p m是包括m-1条边(v1 , v2 ), (v2 , v3 ),..., (vm 1 , vm ) 的一条路径。如果m=n，则证明完毕。如果不是，则设v是一个 没有出现在p m中的顶点。 如果(v, v1 )是K * n中一条边，则可以把这条边加到p m 上。如果不是， 那么(v1 , v)一定是K * n中的一条边。现在假设( v, v2 )在这个图中。这就 得到一条更长的路径： (v1 , v), (v, v2 )， (v2 , v3 ),..., (vm 1 , vm )。如果(v, v2 )不是 K* n中的一条边，则(v2 , v )一定是。在继续这一过程中，只可能出现两 种情况： (a )对于某个1 k m-1，边(vk , v)和(v, vk )都在K * n中，并且用 这对边代替边(vk , vk 1 );(b)(vm , v)在K * n中并且把这条边加到p m 上。无论 何种情况都会得到一条路径p m 1：它包括m 1个顶点以及m条边。继续 这个过程知道得到一条具有n个顶点的路径Pn。
专题讨论--哈密尔顿图
HR
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行 遍 性 问 题
一、中 国 邮 递 员 问 题
（一） 欧 拉 图 （二） 中 国 邮 递 员 问 题
二、旅 行 商 问 题
（一） 哈 密 尔 顿 图 （二） 旅 行 商 问 题
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图论之哈密尔顿图
标号法—一种判别别哈密尔顿路不存在的方法
图(a )是一个连通图G，并且判断G中是否存在哈密顿路径。图(b)提供了同样 一个图标号但是取自x和y的集合。 这些标号按照如下方式得到：首先把顶点a标号为x。然后将那些与顶点a邻接 的顶点(b, c, d )标号为y。接下来把与顶点b, c或者d 邻接的未标号顶点都标号为x。 这就得到顶点e, g , i上的标号为x。最后把与顶点e, g 或者i邻接的未标号的顶点都 标号为y。此时G中所有顶点都已经被标号。既然 | V | 10, 如果G中有一条哈密顿 路径，那么必须存在5个x以及5个y的交替系列。只有4个顶点标号为x，所以这不 可能。因此 G中没有哈密顿路径 (或者哈密顿圈)。 e x
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定理 3 设G =(V,E)是一个无环图并且|V| 2。如果对于所有的x,y V并且x y 都有deg(x)+deg(y) n-1,则G中有哈密顿路径。 使得x是C1中的一个顶点，y是C2中的一个顶点。设Ci具有n i 个顶点，其中i=1,2。 则deg(x) n1 1， deg( y ) n2 1, 从而有 deg( x) deg( y) ( n1 n2 ) 2, 这就与定理中 给出的条件矛盾。因此,G是连通的。 现在构造G中的一条哈密顿路径。对于m 2，pm是长度为m 1的路径
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