图论-哈密尔顿图-课内专题报告

2014-4-14 图论之哈密尔顿图 11
Xi’an Jiaotong University
在一个完全图中寻找哈密顿圈的应用
问题：在Alfred教授的科学营地中，17名学生每天都围坐在 一个圆桌旁吃午餐。为了更好地了解彼此，他们试图每个 人每天中午都坐在两个不同的同伴之间。那么他们这样做 一共可以度过多少个中午？该怎样安排座位？ 分析：为了解决这个问题，我们考虑完全图 K n，其中n≥3且 是个奇数。这个图有n个顶点(每个代表一名学生)并且有 K (n 2 ) n( n 1) / 2 条边。 n 中的一条哈密顿圈就对应一种座位 =(n-1)/2 安排。每个这些圈都有n条边，所愿以一共有 (1/ n)( n 2） 条哈密顿圈满足任两个圈没有公共边。
2014-4-14 图论之哈密尔顿图 16
Xi’an Jiaotong University
定理 3 设G =(V,E)是一个无环图并且|V| 2。如果对于所有的x,y V并且x y 都有deg(x)+deg(y) n-1,则G中有哈密顿路径。 使得x是C1中的一个顶点，y是C2中的一个顶点。设Ci具有n i 个顶点，其中i=1,2。 则deg(x) n1 1， deg( y ) n2 1, 从而有 deg( x) deg( y) ( n1 n2 ) 2, 这就与定理中 给出的条件矛盾。因此,G是连通的。 现在构造G中的一条哈密顿路径。对于m 2，pm是长度为m 1的路径
标号法—一种判别别哈密尔顿路不存在的方法
图(a )是一个连通图G，并且判断G中是否存在哈密顿路径。图(b)提供了同样 一个图标号但是取自x和y的集合。 这些标号按照如下方式得到：首先把顶点a标号为x。然后将那些与顶点a邻接 的顶点(b, c, d )标号为y。接下来把与顶点b, c或者d 邻接的未标号顶点都标号为x。 这就得到顶点e, g , i上的标号为x。最后把与顶点e, g 或者i邻接的未标号的顶点都 标号为y。此时G中所有顶点都已经被标号。既然 | V | 10, 如果G中有一条哈密顿 路径，那么必须存在5个x以及5个y的交替系列。只有4个顶点标号为x，所以这不 可能。因此 G中没有哈密顿路径 (或者哈密顿圈)。 e x
* 定理 2 设K* 是一个有向完全图 --即， K n n 有n个顶点并且在
每一对不同的顶点x和y之间，边(x,y)和边(y,x)之间恰好有 一条在K* n中。这样的一个图[称为竞赛图]中一定存在一条 (有向)哈密顿路径。
2014-4-14
图论之哈密尔顿图
14
Xi’an Jiaotong University
2014-4-14
图论之哈密尔顿图
12
Xi’an Jiaotong University
考虑图(a)中的圆圈以及 K n 的一个子图，这个子图由n个顶点以及n条边{1,2},{2,3},…, {n-1,n},{n,1}组成。保持圆周上的顶点固定，并把这个哈密顿圈顺时针旋转一个角度
2 。这就得到图(b)中的一条哈密顿圈，它由边{1,3},{3,5},{5,2},{2,7},…,{n,n-3}, n 1
6
Xi’an Jiaotong University
n-维超立方体(Qn)
01
11
011 010 000 110 100
111
00
Q2
10 001
Q3
101
Q2中有圈：00->10->11->01->00
Q3中有圈:000->100->110->010->011->111->101->001>000
13
n-5 n-1 n-3 (a) n-3 利用图(a)，那么n=17时就可以得到8种可能的安排。
2014-4-14 图论之哈密尔顿图
Xi’an Jiaotong University
定理 1 当n 3时，完全图K n 是Hamilton图。 证明：设完全图K n的顶点为v1 ,v2 ,...,vn，ei 为连接vi与vi 1 的边，其中i=1,2,...,n-1，en为连接v n与v1的边，则 v1e1v 2e2v3 ...v nen v1是Hamilton回路。
j
b i (a) h
2014-4-14
a d
c
f
y y x y (b) x y y
y
如果图中有一条哈密尔顿路， 则必交替通过结点x和y。因此 或者结点x和y1数目一样， 或者两者相差1个。
10
g
x
图论之哈密尔顿图
Xi’an Jiaotong University
例 用标号法证明左图没有哈密顿路
证明 : 任取一结点如v1，用A标记，所有与它相邻的结点标B。 继续不断地用A标记所有邻接于B的结点，用B标记所有邻接 于A的结点，直到图中所有结点全部标记完毕。 如果图中有一条哈密尔顿路，则必交替通过结点A和B。因此 或者结点A和B数目一样，或者两者相差1个。而本题有３个结点 标记A，５个结点标记B，它们相差２个，所以该图不存在哈密尔顿路。
专题讨论--哈密尔顿图
HR
1 2014-4-14
Xi’an Jiaotong University
行 遍 性 问 题
一、中 国 邮 递 员 问 题
（一） 欧 拉 图 （二） 中 国 邮 递 员 问 题
二百度文库旅 行 商 问 题
（一） 哈 密 尔 顿 图 （二） 旅 行 商 问 题
2014-4-14
图论之哈密尔顿图
2014-4-14
图论之哈密尔顿图
4
Xi’an Jiaotong University
哈密顿图与欧拉图的比较
哈密尔顿图问题尽管在形式上与欧拉图问题极其相似，哈密尔顿圈（路径）要
求只能访问图中每个定点一次；欧拉闭迹要求只能访问图中每条边一次。但至今还未 得到确保哈密尔顿圈（路径）存在性的简明的充要条件，这属于图论中尚未解决的难 题之一。到目前为止已经对于连通图建立了许多必要条件或者充分条件，来判断是否 具有哈密尔顿圈或者哈密尔顿路径。
2014-4-14
图论之哈密尔顿图
3
Xi’an Jiaotong University
基本概念
一、哈密顿图与半哈密顿图 1. 定义 若G=<V,E>是一个图或者多重图并且|V| ≥3，如果在G里存在包含V中 每个顶点的一个圈，则称G具有一条哈密顿圈(Hamilton cycle)。一条 哈密顿路径(Hamilton path)是包含G中每个顶点的一条路径(并且不能 是圈)。 （1）哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路。 （2）哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路。 （3）哈密顿图——具有哈密顿回路的图。 （4）半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图。 几点说明： • 平凡图是哈密顿图。 • 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路。 通过观察，我们可以看出（周游世界问题）是哈密顿图，上图 • 环与平行边不影响哈密顿性。 给出的一条哈密顿回路。 • 哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上。
2014-4-14 图论之哈密尔顿图 8
Xi’an Jiaotong University
上例给出的一点有用提示
在一个图G=(V,E)中试图寻找一个哈密顿圈时， 1)如果G中有一个哈密顿圈，则对于所有的v ∈V，deg(v) ≥2。
2)如果a ∈V并且deg(a) =2，那么关联于顶点a的两条边一定要出现在G的
实际上，对于所有n2， Qn都有哈密顿圈(以及路径)。
2014-4-14
图论之哈密尔顿图
7
Xi’an Jiaotong University
a
b
c
e d
f
g
h
图
i
若图G表示上图，那么边{a,b}, {b,c}, {c,f}, {f,e}, {e,d}, {d,g}, {g,h}, {h,i} 就是G中的一条哈密顿路径。但是G中有哈密顿圈吗？ 由于G有九个顶点，如果在G中存在哈密顿圈，那么它必须包含九条边。我们可以 从顶点b开始试图构造一条 哈密顿圈。因为这个图时对称的，所以从b到c或者从b到a 都可以。不妨选择从b到c。C既可以到达f也可以到达i。再次利用对称性，到达f。因为 无法再回到顶点c，所以后续考虑中删除边{c,i}。为了在这个圈中包括顶点i，现在必须 从f到i(到h到g)。因为边{c,f}he {f,i}在这个圈里，所以再这个圈中不能存在边{e,f}。[否则， 在这个圈中就有deg(f)>2。]但是，接下来一旦到达顶点e我们就要左右为难。因此，对于 这个圈来说不存在哈密顿圈。
2014-4-14 图论之哈密尔顿图 15
Xi’an Jiaotong University
定理 2 的应用
定理2也可以描述成n(n 2)阶竞赛图中存在哈密顿通路。
证明提示：竞赛图的基图是无向完全图，对n(n ≥2)做归纳。可以观察如下两个图。
有关竞赛图的两个结论： (1)竞赛图必是半Hamilton有向图。 (2)强连通的竞赛图必是Hamilton有向图。
定理 2 的证明
证明：令m 2并且p m是包括m-1条边(v1 , v2 ), (v2 , v3 ),..., (vm 1 , vm ) 的一条路径。如果m=n，则证明完毕。如果不是，则设v是一个 没有出现在p m中的顶点。 如果(v, v1 )是K * n中一条边，则可以把这条边加到p m 上。如果不是， 那么(v1 , v)一定是K * n中的一条边。现在假设( v, v2 )在这个图中。这就 得到一条更长的路径： (v1 , v), (v, v2 )， (v2 , v3 ),..., (vm 1 , vm )。如果(v, v2 )不是 K* n中的一条边，则(v2 , v )一定是。在继续这一过程中，只可能出现两 种情况： (a )对于某个1 k m-1，边(vk , v)和(v, vk )都在K * n中，并且用 这对边代替边(vk , vk 1 );(b)(vm , v)在K * n中并且把这条边加到p m 上。无论 何种情况都会得到一条路径p m 1：它包括m 1个顶点以及m条边。继续 这个过程知道得到一条具有n个顶点的路径Pn。
证明：首先证明G是连通图。否则，设C1 ,C2是G的两个连通分支并且令x,y V，
{v1 , v2 },{v2 , v3},...,{vm 1 , vm }。(如果有必要就重新标号这些顶点。)这样 的一条路径是存在的，因为对于m =2，所需的只是一条边。如果v1邻接 到不同于v2 , v3 ,..., vm中的任意顶点v，那么就把边{v, v1}加到pm上得到pm +1。 如果vm邻接到不同于v1 , v2 ,..., vm -1中的一个顶点，那么就采用同样的方式。 若可以按照此方法把pm扩展到pn , 那么就得到一条哈密顿路径。否则这条 路径pm： {v1 , v2 },{v2 , v3},...,{vm 1 , vm }上的v1与vm都只邻接到pm中的顶点，并且 m n。在这种情况发生时，我们可以断言G有包含所有这些顶点的一条圈。
稍后会分别介绍判定哈密尔顿图的充分条件和必要条件。
2014-4-14
图论之哈密尔顿图
5
Xi’an Jiaotong University
（1）
（2）
（3）
（4）
在上述图中， （1）,（2）是哈密顿图， （3）是半哈密顿图， （4）既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。
2014-4-14
图论之哈密尔顿图
每条哈密顿圈中。 3)如果a ∈V并且deg(a) ＞2，那么在我们试图构造一条哈密顿圈时，一旦经过
顶点a的两条边，那么在后续考虑中就可以删除关联于a的所有无用边。
4)在构造G的一条哈密顿圈时，不能得到G子图的一个圈，除非它包括G中所有 顶点。
2014-4-14
图论之哈密尔顿图
9
Xi’an Jiaotong University
{n-3,n-1},{n-1,1}组成。这条哈密顿圈与第一条圈没有公共边。当n ≥7时，按照这种
k 2 方法把图？中的圈旋转角度 n 1 ，其中2 ≤k ≤(n-3)/2，就得到总数为(n-1)/2条哈密顿
圈，它们满足任意两个圈没有公共边。所以这17名学生在此科学营地中一直可以共进 (17-1)/2=8天午餐，直到某些同学不得再次坐在其它人旁边。 5 5 7 n-2 3 3 2 4 1 n 2 1 n n-1 (b)
2
Xi’an Jiaotong University
哈密尔顿周游世界问题
1857年，著名的爱尔兰数学家Sir William Hamilton设计了一个游 戏：它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当 时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游 过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游 过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。给定世界上20个 城市，用一个代表地球的十二面体的20个顶点分别代表这20个城市。 从某一个顶点出发，沿着十二面体的棱，经过每个顶点恰好一次， 最后回到出发点。