第15章欧拉图与哈密尔顿图
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离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
第十五章欧拉图与哈密顿图
具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。平 凡图是哈密顿图。
图中所示的三个无向图都有哈密顿回路， 所以都是哈密顿图。有向图中，（）具有哈 密顿回路，因而它是哈密顿图。（）只有哈 密顿通路，但无哈密顿回路，因而它是半哈 密顿图，而（）中既无哈密顿回路，也没有 哈密顿通路，因而不是哈密顿图，也不是半 哈密顿图。
∈()，若不在Г的端点出现，显然 ()为偶数，若在端点出现过，则()为 奇数，因为Г只有两个端点且不同，因而 中只有两个奇数顶点。另外，的连通 性是显然的。
充分性: 设的两个奇度顶点分别 为 和，对加新边（），
得' ∪()，则'是连通且无奇度 顶点 的图，由定理可知，‘为欧拉 图，因而存在欧拉回路'，而' () 为中一条欧拉通路，所以为半欧拉图。
图
由定理立即可知，图()图 为欧拉图，本图既可以看成圈， ，，之并（为 清晰起见，将个圈画在（）中），也 可看成圈与圈 之并（两个圈画在（）中）。将（） 分解成若干个边不重的圈的并不是（） 图特有的性质，任何欧拉图都有这个性 质。
定理 是非平凡的欧拉图当且仅 当是连通的且为若干个边不重的圈的并。
证 读者用定理证明。
下面给出一些哈密顿图和半哈密顿图 的充分条件。
定理 设是阶无向简单图，若对
于中任意不相邻的顶点，均有
()()≥
()
则中存在哈密顿通路。
证： 首先证明是连通图。否则至少 有两个连通分支，设是阶数为 的两个连通分支，设∈()，∈()， 因为是简单图，所以 ()()
()()≤≤
这与（）矛盾所以必为连通图。
可以证明，当算法停止时所得简单回路 …()为中一条欧拉回路。
例 图()是给定的欧拉图。某人用算法 求中的欧拉回路时， 走了简单回路 之 后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试 分析在哪步他犯了错误?
第十五章-欧拉图与哈密顿图
（4）半欧拉图
具有欧拉通路而无欧拉回
路的图.
3
2. 无向欧拉图的判定 定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无 奇度结点。 证明:若G为平凡图结论显然成立。
下面设G为n阶m条边的无向图。 必要性 设C为G中一条欧拉回路。
（1）G连通显然。
（2）viV(G),vi在C上每出现一次获2度，所 以vi为偶度结点. 由vi的任意性，结论为真。 4
e5
e4 e2
e5
e4
e3
e3
e3
欧拉图
半欧拉图
不是欧拉图 不是半欧拉图
11
a(甲)
b (乙)
图G
例:两只蚂蚁比赛问题：两只 蚂蚁甲、乙分别处在图G 中 的结点a,b处,并设图中各边长 c 度相等。甲提出同乙比赛：
从它们所在结点出发，走过 图中所有边最后到达结点c处。 如果它们速度相同，问谁最 先到达目的地？
17
（2）若G恰有两个奇数度结点vi和vj,则G具有 欧拉通路，且邮局位于结点vi，则邮递员走遍所 有的街道一次到达结点vj ;从vj返回vi可选择其间 的一条最短路径。这样,最短邮路问题转化为求 vi到vj的欧拉通路和vj到vi的最短路径问题。
（3）若G中度数为奇数的结点多于2个,则回路 中必须增加更多的重复边。分两步:
19
例:在下图中确定一条从v1到v1的回路,3使其权值最小.
8
半欧拉图的判定
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通 且恰有两个奇度结点。若有两个奇数度结点,则 它们是每条欧拉通路的端点。
证明:必要性
G的连通性是显然的。设G是m条边的n阶无向 图,因为G为半欧拉图，因而G中存在欧拉通路 （但不存在欧拉回路），设=vi0ej1vi1…vim为G 中一条欧拉通路， vi0vim。对任意的v,若v不在 的端点出现，d(v)必为偶数，若v在端点出现 过，则d(v)为奇数，因为只有两个端点不同， 因此G中只有两个奇度结点。
欧拉图和哈密尔顿图
（b）中去掉结点u1和u2以后，p（G–{ u1，u2}）=3， 由此 可以判定，这两个图都不是哈密尔顿图。
用正十二面体代表地球。游戏题的内容是：沿着正十二面体的棱寻
找一条旅行路线，通过每个城市恰好一次又回到出发城市。这便是 Hamilton回路问题。
欧拉回路是指不重复地走过所有路 径的回路，而哈密尔顿环是指不重复地
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。 具有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次 且仅一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈 密尔顿图。
解一
a
a：说英语； b：说英语或西班牙语； C: 说英语,意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
b
d
c
e g
f
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边 (即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为 G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以 G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
欧拉图算法
int main() { memset(g,0,sizeof(g)); cin >> n >> e; for (i = 1; i <= e; i++) { cin >> x >> y; g[y][x] = g[x][y] = 1; du[x]++; //统计每个点的度 du[y]++; } start = 1; // 如果有奇点，就从奇点开始寻找，这样找到的就是 for (i = 1; i <= n; i++) // 欧拉路。没有奇点就从任意点开始， if (du[i]%2 == 1) // 这样找到的就是欧拉回路。(因为每一个点都是偶点) start = i; circuitpos = 0; find_circuit(start); for (i = 1; i <= circuitpos; i++) cout << circuit[i] << ' '; cout << endl; return 0; }
欧拉图和哈密尔顿图
欧拉回路是指不重复地走过所有路 径的回路，而哈密尔顿环是指不重复地
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造
第十五章 欧拉图与哈密顿图
长度大于或等于3的圈，设C为G中一个圈，
删除C上的全部边，得G的生成子图G'，
, G2 , 设G'有s个连通分支 G1
公共顶点为，i=1, 2, … , s.
, 每个连通分支 , Gs
至多有k条边，且无奇度顶点，并且设G'i与C的
, G2 , 由归纳假设可知， G1
, 都是欧拉图， , Gs
并设G的顶点集 V={v1, v2, … , vn }.
必要性. 因为G为欧拉图，所以G中存在欧拉回路， 设C为G中任意一条欧拉回路， vi , vj ∈V，
vi, vj都在C上，因而vi , vj 连通，所以G为 连通图.
又vi∈V，vi在C上每出现一次获得2度，
若出现k次就获得2k 度，即d(vi)=2k .
点的入度都等于出度.
Байду номын сангаас
由定理15.3和15.4立即可知，图15.1中所示3个
有向图中只有（4）是欧拉图，没有半欧拉图.
图15.1
由定理15.1立即可知，图15.3(1)图为欧拉图.
图15.3
本图既可以看成圈
v1v2v8v1 , v2v3v4v2 , v4v5v6v4 , v6v7v8v6 之并(为清晰起见，
vim -1e jm vim为G中一条欧拉
vi 0 vim . v V (G ), 若v不在Г的端点出现， 通路，
显然d(v)为偶数，若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
因为Г只有两个端点且不同，因而G中只有两个
奇数顶点. 另外，G的连通性是显然的.
充分性. 设G的两个奇度顶点分别为u0和v0，对G加 新边（u0, v0），得G ' =G∪(u0,v0)，则G '是 连通且无奇度顶点的图，由定理15.1可知，G ' 为欧拉图，因而存在欧拉回路C ' ，而
欧拉图与哈密顿图
求欧拉图中欧拉回路的算法
Fleury算法;能不走桥就不走桥
1 任取v0∈VG;令P0＝v0; 2 设Pi＝v0e1v1e2…eivi已经行遍;按下面方法来从
EGe1;e2;…;ei中选取ei+1： a ei+1与vi相关联； b 除非无别的边可供行遍;否则ei+1不应该为
Gi＝Ge1;e2;…;ei中的桥; 3当2不能再进行时;算法停止;
例15 1
例15 1 设G是非平凡的且非环的欧拉图;证明： 1λG≥2; 2对于G中任意两个不同顶点u;v;都存在简单回路C含u和v;
证明 1由定理15 5可知;e∈EG;存在圈C;e在C中; 因而pGe＝pG;故e不是桥; 由e的任意性λG≥2;即G是2边连通图;
例15 1
例15 1 设G是非平凡的且非环的欧拉图;证明： 1λG≥2; 2对于G中任意两个不同顶点u;v;都存在简单回路C含u和v;
可以验证彼得松图满足定理中的条件;但不是哈密顿图;
若一个图不满足定理中的条件;它一定不是哈密顿图;
推论
推论 设无向图G＝<V;E>是半哈密顿图;对于任意的V1V且 V1≠;均有 pGV1≤|V1|+1
证明 设P是G中起于u终于v的哈密顿通路; 令G ＝G∪u;v在G的顶点u;v之间加新边; 易知G 为哈密顿图; 由定理15 6可知;pG V1≤|V1|; 因此;pGV1 ＝ pG V1u;v ≤ pG V1+1 ≤ |V1|+1
若vi与vj有哈共密同语顿言图;就是在v能i;vj将之间图连中无向所边有vi;v顶j; 由此组成点边都集合能E;安则G排为8在阶无某向个简单初图级; 回路 vi∈V;上dvi为的与图vi有;共同语言的人数;
欧拉图和哈密尔顿图ppt课件
有欧拉通路
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
13
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
欧拉图与哈密顿图s
说明：该推论是充分条件但不是必要的。 例如：
该五边形是哈密顿图，但任意两个不相邻的顶点度 数之和为4，图形阶数为5。
座位问题
例 在某次国际会议的预备会中，共有8人参加，他 们来自不同的国家。如果他们中任两个无共同语言的人 与其余有共同语言的人数之和大于或等于8，问能否将这 8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
例15.2（P296）
利用欧拉图可以解决哥尼斯堡七桥问题： 从某地出发，对每座跨河桥只走一次，而在遍历 了七座桥之后，却又能回到原地。
由定理15.1（无向欧拉图的判定定理）可知该问题无解。
思考 如下图所示，从一房间出发，问能否不重复地
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
到目前为止，还没有找到判断哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面介绍哈密顿图和半哈密顿图的必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的任意 非空子集，则有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1的连 通分支数。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
该五边形是哈密顿图，但任意两个不相邻的顶点度 数之和为4，图形阶数为5。
座位问题
例 在某次国际会议的预备会中，共有8人参加，他 们来自不同的国家。如果他们中任两个无共同语言的人 与其余有共同语言的人数之和大于或等于8，问能否将这 8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
例15.2（P296）
利用欧拉图可以解决哥尼斯堡七桥问题： 从某地出发，对每座跨河桥只走一次，而在遍历 了七座桥之后，却又能回到原地。
由定理15.1（无向欧拉图的判定定理）可知该问题无解。
思考 如下图所示，从一房间出发，问能否不重复地
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
到目前为止，还没有找到判断哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面介绍哈密顿图和半哈密顿图的必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的任意 非空子集，则有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1的连 通分支数。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
欧拉图及哈密顿
哈密顿路径是指一条遍历图的所有顶 点的路径，这条路径的起点和终点是 同一点，但路径上的边可以重复。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
欧拉图和哈密而顿图
15.1 欧拉图 欧拉(1707-1783)：瑞士著名的数学家。13岁进入 欧拉 ：瑞士著名的数学家。 岁进入 巴塞尔大学， 岁取得哲学硕士学位 岁取得哲学硕士学位。 巴塞尔大学，16岁取得哲学硕士学位。1736年， 年 他证明了欧拉定理， 他证明了欧拉定理，并解决了哥尼斯堡桥的问 从而成为图论的创始人。 题，从而成为图论的创始人。 定义15.1 通过图（无向图或有向图）中每一条边 通过图（无向图或有向图） 定义 一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧 拉通路。通过图（无向图或有向图） 拉通路。通过图（无向图或有向图）中每一条 边一次且仅一次行遍图中所有顶点的回路称为 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图， 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
离散数学中的欧拉图与哈密顿图
欧拉图和哈密顿图是离散数学中的两个重要的图论概念。
它们分别研究了图中的路径问题，对于解决一些实际问题具有很大的应用价值。
欧拉图是指一个无向图中存在一条路径，经过图中的每条边一次且仅一次，这条路径称为欧拉路径。
如果这个路径的起点和终点重合，则称为欧拉回路。
而对于有向图，存在一条路径，使得经过每一个有向边恰好一次，称为欧拉有向路径，如果该路径起点和终点相同，则称为欧拉有向回路。
1722年，瑞士数学家欧拉首次提出了这个概念，并证明了一系列欧拉图的性质。
欧拉图的性质是其路径的存在性。
既然有了这个概念，那如何判断一个图是不是欧拉图就是一个非常重要的问题。
根据欧拉图的定义，我们可以发现，图中的每个节点的度数都应该是偶数，否则该节点无法成为路径中的中间节点。
因此，一个图是欧拉图的充分必要条件是该图中每个节点的度数都是偶数。
哈密顿图是指一个图中存在一条路径，经过图中的每个顶点一次且仅一次，这条路径称为哈密顿路径。
如果这个路径的起点和终点重合，则称为哈密顿回路。
哈密顿图的概念由19世纪初英国数学家哈密顿引入，其研究对象是关于骑士巡游问题。
与欧拉图不同的是，哈密顿路径并没有一个十分明显的判定条件。
唯一已知的是某些图是哈密顿图，比如完全图和圈图。
至于一般的图是否存在哈密顿路径，目前尚无通用的判定方法。
这也是全世界许多数学家所面临的一个著名且具有挑战性的开放问题，被命名为“哈密顿路径问题”。
欧拉图和哈密顿图在实际问题中具有广泛的应用。
欧拉图的应用包括电子电路和网络的设计，路线规划等。
而哈密顿图的应用更多地涉及路径的优化问题，比如旅行商问题。
在实际应用中，我们常常需要通过对欧拉图和哈密顿图的研究，来寻找最优解或者设计最佳路径。
总的来说，离散数学中的欧拉图和哈密顿图是两个重要的图论概念，它们研究的是图中的路径问题。
欧拉图的判定条件相对明确，而哈密顿图的判定则是一个尚未完全解答的开放问题。
这两个概念在实际中具有广泛的应用，对于解决一些路径优化问题具有重要的参考价值。
离散数学15 欧拉图与哈密顿图
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
15欧拉图与哈密顿图
中国地质大学本科生课程
离散数学
第15章 欧拉图与哈密顿图
数学家欧拉
欧拉，瑞士数学家， 欧拉，瑞士数学家，欧拉是科学 史上最多产的一位杰出的数学家， 史上最多产的一位杰出的数学家，他从 19岁开始发表论文，直到 岁，他一生 岁开始发表论文， 岁开始发表论文 直到76岁 共写下了886本书籍和论文，其中在世 本书籍和论文， 共写下了 本书籍和论文 多篇论文。 时发表了700多篇论文。彼得堡科学院 时发表了 多篇论文 为了整理他的著作，整整用了47年 为了整理他的著作，整整用了 年。在 他双目失明后的17年间 年间， 他双目失明后的 年间，也没有停止对 数学的研究，口述了好几本书和400余 数学的研究，口述了好几本书和 余 篇的论文。 篇的论文。 欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、 欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、 是以欧拉名字命名的。 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。 世纪伟大的数学家高斯曾说过 世纪伟大的数学家高斯曾说过“ 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法” 欧拉还是数学符号发明者， 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π， ， ， ， 等等， 的许多数学符号，例如 ，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， ， ， ， 等等 至今沿用。 至今沿用。
匈牙利数学家厄多斯
保罗‧厄多斯(1913-1996)是一位匈牙利的数学家。 保罗‧厄多斯(1913-1996)是一位匈牙利的数学家。 (1913 是一位匈牙利的数学家 其父母都是匈牙利的高中数学教师。 其父母都是匈牙利的高中数学教师。 1983年以色列政府颁给十万美元 沃尔夫奖金” 政府颁给十万美元“ 1983年以色列政府颁给十万美元“沃尔夫奖金”（WolfPrize 就是由他和华裔美籍的陈省身教授平分。 ）就是由他和华裔美籍的陈省身教授平分。 厄多斯是当代发表最多数学论文的数学家， 厄多斯是当代发表最多数学论文的数学家，也是全世界和各种 各样不同国籍的数学家合作发表论文最多的人。 各样不同国籍的数学家合作发表论文最多的人。他发表了 1000多篇的论文 平均一年要写和回答1500 多篇的论文， 1500多封有关于 近1000多篇的论文，平均一年要写和回答1500多封有关于 数学问题的信。他可以和任何大学的数学家合作研究， 数学问题的信。他可以和任何大学的数学家合作研究，他 每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文， 每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文，据 说多数的情形是人们把一些本身长期解决不了的问题和他 讨论，他可以很快就给出了问题的解决方法或答案， 讨论，他可以很快就给出了问题的解决方法或答案，于是 人们赶快把结果写下来，然后发表的时候放上他的名字， 人们赶快把结果写下来，然后发表的时候放上他的名字， 厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。 厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。
离散数学
第15章 欧拉图与哈密顿图
数学家欧拉
欧拉，瑞士数学家， 欧拉，瑞士数学家，欧拉是科学 史上最多产的一位杰出的数学家， 史上最多产的一位杰出的数学家，他从 19岁开始发表论文，直到 岁，他一生 岁开始发表论文， 岁开始发表论文 直到76岁 共写下了886本书籍和论文，其中在世 本书籍和论文， 共写下了 本书籍和论文 多篇论文。 时发表了700多篇论文。彼得堡科学院 时发表了 多篇论文 为了整理他的著作，整整用了47年 为了整理他的著作，整整用了 年。在 他双目失明后的17年间 年间， 他双目失明后的 年间，也没有停止对 数学的研究，口述了好几本书和400余 数学的研究，口述了好几本书和 余 篇的论文。 篇的论文。 欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、 欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、 是以欧拉名字命名的。 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。 世纪伟大的数学家高斯曾说过 世纪伟大的数学家高斯曾说过“ 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法” 欧拉还是数学符号发明者， 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π， ， ， ， 等等， 的许多数学符号，例如 ，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， ， ， ， 等等 至今沿用。 至今沿用。
匈牙利数学家厄多斯
保罗‧厄多斯(1913-1996)是一位匈牙利的数学家。 保罗‧厄多斯(1913-1996)是一位匈牙利的数学家。 (1913 是一位匈牙利的数学家 其父母都是匈牙利的高中数学教师。 其父母都是匈牙利的高中数学教师。 1983年以色列政府颁给十万美元 沃尔夫奖金” 政府颁给十万美元“ 1983年以色列政府颁给十万美元“沃尔夫奖金”（WolfPrize 就是由他和华裔美籍的陈省身教授平分。 ）就是由他和华裔美籍的陈省身教授平分。 厄多斯是当代发表最多数学论文的数学家， 厄多斯是当代发表最多数学论文的数学家，也是全世界和各种 各样不同国籍的数学家合作发表论文最多的人。 各样不同国籍的数学家合作发表论文最多的人。他发表了 1000多篇的论文 平均一年要写和回答1500 多篇的论文， 1500多封有关于 近1000多篇的论文，平均一年要写和回答1500多封有关于 数学问题的信。他可以和任何大学的数学家合作研究， 数学问题的信。他可以和任何大学的数学家合作研究，他 每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文， 每到一处演讲就能和该处的一两个数学家合作写论文，据 说多数的情形是人们把一些本身长期解决不了的问题和他 讨论，他可以很快就给出了问题的解决方法或答案， 讨论，他可以很快就给出了问题的解决方法或答案，于是 人们赶快把结果写下来，然后发表的时候放上他的名字， 人们赶快把结果写下来，然后发表的时候放上他的名字， 厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。 厄多斯的新的一篇论文就这样诞生了。
欧拉图与哈密顿
哈密顿图
通过一系列的节点，将所有节点 两两连接起来，且每条边只使用 一次。
性质的异同比较
欧拉图 哈密顿图
应用领域的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ较
欧拉图
在计算机科学、运筹学、交通运输等 领域有广泛应用。
哈密顿图
在计算机科学、电子工程、通信网络 等领域有广泛应用。
05
欧拉图与哈密顿图的未来研
究展望
欧拉图的研究展望
欧拉路径与欧拉回路
通过模拟生物进化过程的遗传 算法来寻找哈密顿路径，适用 于大规模的图。
元胞自动机法
通过模拟元胞自动机的演化过 程来寻找哈密顿路径，适用于
具有特定结构的图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
01
欧拉图在计算机科学中常被用于算法设计，如最短路径算法、
最小生成树算法等。
数据结构
欧拉图与哈密顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图和哈密顿图在经济 学中被用于描述市场供需 关系和生产网络。
社会学
欧拉图和哈密顿图在社会 学中被用于研究社会网络 和人际关系。
交通工程
欧拉图和哈密顿图在交通 工程中用于描述交通流和 路网结构。
04
欧拉图与哈密顿图的比较
构造方法的比较
欧拉图
通过一系列的边和节点，将起点 和终点连接起来，且每条边只使 用一次。
欧拉图的扩展研究
深入研究欧拉路径和欧拉回路的性质 和构造方法，探索其在图论、组合数 学和计算机科学等领域的应用。
将欧拉图的研究扩展到其他领域，如 社交网络分析、生物信息学和交通网 络规划等。
欧拉图的算法优化
针对欧拉图的算法进行优化，提高算 法的效率和稳定性，以解决大规模图 数据的计算问题。
通过一系列的节点，将所有节点 两两连接起来，且每条边只使用 一次。
性质的异同比较
欧拉图 哈密顿图
应用领域的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ较
欧拉图
在计算机科学、运筹学、交通运输等 领域有广泛应用。
哈密顿图
在计算机科学、电子工程、通信网络 等领域有广泛应用。
05
欧拉图与哈密顿图的未来研
究展望
欧拉图的研究展望
欧拉路径与欧拉回路
通过模拟生物进化过程的遗传 算法来寻找哈密顿路径，适用 于大规模的图。
元胞自动机法
通过模拟元胞自动机的演化过 程来寻找哈密顿路径，适用于
具有特定结构的图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
01
欧拉图在计算机科学中常被用于算法设计，如最短路径算法、
最小生成树算法等。
数据结构
欧拉图与哈密顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图和哈密顿图在经济 学中被用于描述市场供需 关系和生产网络。
社会学
欧拉图和哈密顿图在社会 学中被用于研究社会网络 和人际关系。
交通工程
欧拉图和哈密顿图在交通 工程中用于描述交通流和 路网结构。
04
欧拉图与哈密顿图的比较
构造方法的比较
欧拉图
通过一系列的边和节点，将起点 和终点连接起来，且每条边只使 用一次。
欧拉图的扩展研究
深入研究欧拉路径和欧拉回路的性质 和构造方法，探索其在图论、组合数 学和计算机科学等领域的应用。
将欧拉图的研究扩展到其他领域，如 社交网络分析、生物信息学和交通网 络规划等。
欧拉图的算法优化
针对欧拉图的算法进行优化，提高算 法的效率和稳定性，以解决大规模图 数据的计算问题。
大学离散数学欧拉图和哈密尔顿图
(a)
(b)
推论1:哈密尔顿图无割点.
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计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
例3：
▪ 证明下述各图不是哈密顿图。
2020/9/28
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计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
推论2：
▪ 对二部图G＝＜ V1,V2,E＞
若| V1 |≠| V2 |，则一定不是H图。 证明：
2020/9/28
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计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
例如：
2020/9/28
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计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
判断条件
▪ 定理：
▪ 设L是图G的包含所有边的回路，则L具有最小长 度的充分必要条件是： ▪ 每条边最多重复一次； ▪ G的每个回路上，所有重复边的长度之和，不 超过该回路长度的一半。
2020/9/28
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计算机科学学院 刘芳
15.2 Hamilton 图
15.2.1 问题引入 15.2.2 Hamilton图的定义 15.2.3 Hamilton图的判定方法 15.2.4 应用举例
2020/9/28
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计算机科学学院 刘芳
15.2.1 问题引入
周游世界问题(W.Hamilton, 1859年)
▪ 可以用结点表示城市，城市间的交通路线用边表示，而 城市间的交通线路距离可用附加于边的权表示。
▪ 这样，上述问题可以归结为寻找一条权的总和为最短的 哈密尔顿回路的问题。
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计算机科学学院 刘芳
分析
▪ 穷举法 ▪ 近似算法 ▪ …………
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15. 1 欧拉图 例 判断下列各图是否是 欧拉图。
(1)
(2)
(3)
(4)
集合与图论
(5)
(6)
1.18
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(5)
(5)是一个非连通图，所以肯定不是 欧拉图。
集合与图论
1.19
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(2)
(3)
设G是n(n>2)阶无向图，若对于G 中每一对不相邻的顶点u、v，均有：
d(u)+d(v) ≥n-1 则G中存在哈密尔顿通路。
集合与图论
1.44
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
定理15.7的推论 设G是n(n>2)阶无向简单图，若对于G
中每一对不相邻的顶点u、v，均有： d(u)+d(v) ≥n，
(1)
(2)
(3)
(4)
集合与图论
(6) (5)
1.11
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(1)
(6)
上两图中，度数为奇数的顶点个数都 是4。所以根据定理15.2，它们不可能存 在欧拉通路，更无欧拉回路，因此都不是
欧拉图。
集合与图论
1.12
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
有哈密尔顿通路，但无哈密尔顿 回路，所以不是哈密尔顿图。
有哈密尔顿回路，所以 是哈密尔顿图。
(2)
集合与图论
1.30
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
(3) (4)
(5)
(6)
以上4图都有哈密尔顿回路，所以都
是哈密尔顿图。
集合与图论
1.31
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 2 哈密尔顿图 例 判断下列各图是否是哈密尔顿图。
所以只具有哈密尔顿通路，而不具有哈密 尔顿回路的图不是哈密尔顿图，只是半哈密尔 顿图。
集合与图论
1.28
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 2 哈密尔顿图 例 判断下列各图是否是哈密尔顿图。
(1)
(2)
(3)
(4)
集合与图论
(6) (5)
1.29
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
(1)
集合与图论
1.36
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
此条件只是哈密尔顿图的必要条件， 不满足上述条件的图，一定不是哈密尔顿 图。但满足的，也不一定是哈密尔顿图。
集合与图论
1.37
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 2 哈密尔顿图
证明：因为G是哈密尔顿图,所以G
中存在哈密尔顿通路. 设C为一条哈密尔顿通路，则V1中的
证明：设v为图G的割点，令：V1={v}. 则p(G-V1) ≥2. 而|V1|=1.
所以由定理15.6可知：
有割点的图一定不是哈密尔顿图。
集合与图论
1.40
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
利用定理15.6及其推论判断如下 4图是否是哈密尔顿图。
a
u
v (1)
a (3)
b
c
集合与图论
b
d
c
(2) e
无向图G为欧拉图，当且 仅当G是连通图且无奇度顶点。
集合与图论
1.9
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
n 定理15.2
无向图G是半欧拉图当且 仅当G是连通的且G中恰有两 个奇度顶点。
集合与图论
1.10
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图 例 判断下列各图是否是 欧拉图。
集合与图论
1.26
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 2 哈密尔顿图
从定义可以看出，存在哈密尔顿通 路（回路）的图一定是连通图。
具有哈密尔顿通路但不具有哈密尔顿回路
的图叫做半哈密尔顿图.
平凡图是哈密尔顿图.
集合与图论
1.27
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
哈密尔顿回路一定是哈密尔顿通路， 但哈密尔顿通路不一定是哈密尔顿回路。
(4)
1.41
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
u
有割点u,v，所以不是 哈密尔顿图。
v
(1)
a
b
d
c
令V1={a,b,c,d,e},则p(G-V1) =6 >|V1|=5,所以不是哈密尔顿图。
(2) e
集合与图论
1.42
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
a
(3)
令V1={a,b,c},则p(G-V1) =4
集合与图论
1.23
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
00
01
10
图D为欧拉图，因
11
为D是连通图，且
所有顶点的入度等
于出度(都等于2)。
集合与图论
1.24
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15.2 哈密尔顿图
n 引子：“周游世界问题”
该问题是基于正十二面体的一个数学游戏：
是否存在经过所 有顶点一次且仅一次 的回路或通路？
则G中存在哈密尔顿回路，即G是哈密 尔顿图.
集合与图论
1.45
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 2 哈密尔顿图
n 定理15.7的推论
设G是n(n>2)阶无向图，若
δ (G ) ≥ n ， 2
则G是哈密尔顿图。
集合与图论
1.46
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
集合与图论
1.21
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(1)
此图为有向连通图，且所有顶点的 出度均等于入度。所以根据定理15.3的 推论，它们是 欧拉图。
集合与图论
1.22
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
例 设有向图D=<V,E>,其中V={vi|0≤i≤3}， E={ej|0≤j≤7}.若以i的二进制表示标记vi ， 则v0，v1，v2，v3分别记做00，01，10，11 。类似地，若以j的二进制表示标记ej ，则e0 ，e1，…，e7分别记做000，001，010， …,111。边abc从顶点ab到bc(a,b,c=0,1)， 例如，边001从00到01。试画出D的图形， 并证明它是 欧拉图。
(1)
(2)
(3)
(4)
集合与图论
(5)
(6)
1.32
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
(5)
此图明显不是哈密尔顿图。
集合与图论
1.33
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
(2)
(3)
此3图只有哈密尔顿通路， 但无哈密尔顿回路，所以不是 哈密尔顿图。
(6)
集合与图论
1.34
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
顶点在C上可能相邻，也可能不相邻. 即：p(C-V1) ≤|V1|. 由于C-V1是G-V1的子图，所以C-V1的连
通分支数不会超过G -V1的连通分支数.
所以：p(G-V1) ≤p(C-V1) ≤|V1|.
因此：p(G-V1)≤|V1|.
集合与图论
1.38
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 2 哈密尔顿图
具有欧拉通路但不具有欧拉 回路的图叫做半欧拉图.
集合与图论
1.4
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
特别地，规定平凡图是欧拉图。
集合与图论
1.5
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
n 例，判断下列各图是否是 欧拉图。
集合与图论
1.6
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
集合与图论
1.16
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
n 定理15.4
一个有向图D是半欧拉图，当且仅当 D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶 点外，其余顶点的入度等于出度。
这两个奇度顶点中，一个顶点的入 度比出度大1。
另一个顶点的入度比出度小1。
集合与图论
1.17
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
n 定理15.6 的推论
设无向图G = <V, E>为半哈密尔顿 图，非空集合V1是V的任意真子集， 则：
p(G-V1) ≤|V1|+1 其中p(G-V1) 是从G中删除V1后， 所得图的连通分支数。
集合与图论
1.39
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
例15.4
设G为n阶无向连通图，证明：若G有 割点，则图G一定不是哈密尔顿图。
b
>|V1|,所以不是哈密尔顿图。
c
此图称为彼得森图，在数学上
已经证明其不存在哈密尔顿回路。
(4)
此图虽然满足对于任意的V1，有 p(G-V1) ≤|V1|，但由于其不存在哈密尔 顿回路，所以不是哈密尔顿图。
集合与图论
1.43
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 2 哈密尔顿图
n 定理15.7
(4)
(5)
上两图中，度数为奇数的顶点个数 都是2。所以根据定理15.2，它们具有 欧拉通路，但无欧拉回路，因此都是半 欧拉图。
集合与图论
1.13
哈尔滨工业大学软件学院 李东 副教授
15. 1 欧拉图
(2)
(3)
上两图中，不存在度数为奇数的顶点 。所以根据定理15.2，它们均有欧拉通 路，且这些欧拉通路为欧拉回路，因此 它们都是欧拉图。