欧拉图和哈密尔顿图-精

续例 多米诺骨牌问题
d(v i ) 8
viVG
∴能构成回路，能够连成首尾圈。//
[定理] 连通图G，若G中仅有0或2个奇 度数点G有欧拉通路。
<证>
0个奇度数，显然欧拉回路 2个奇度数，u，v，分情况： 1）u,v相邻，删(u,v)余图G’为欧拉图， 从u开始在G’中走欧拉回路，回到u，再 走(u,v)——得到欧拉通路 2） u,v不相邻，向着v方向，取(u,u1)删 (u,u1)，以u1为始，重复过程，直至删
c
英
意
e
解二
a：说英语； b：说英语或西班牙语； c；说英语，意大利 语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
a
英
b
德
g
西
d
法
日
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与 他身边的人交谈？ 解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造 出哈密顿图如右上图所示。
货郎担/旅行推销员(TSP)问题：
在一个赋权的完全图中，找出一个具有最小权 的H_回路，也即回路边的权之和最小 对该赋权图上的边，满足三角不等式（距离不 等式） W(a,b) W(a,c) + W(c,b)
数学模型
构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每 个元素对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图，总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题 是如何从这n!/2条中找出最短的一条 eg：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万 亿条-(1.216451017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条，需 2万年
判断H-图
•
•
任何一个H_图都可以看成是一个基本回路，再 加上其他若干条边
H_图的充分条件和必要条件均有，但尚无充要 条件
H_图的必要条件
G是H_图，则对VG的任意非空真子集S (S， SV，均有 W(G-S)|S| 其中W(G)是G的分支数
必要条件的应用
[证]
设C是G的H_回路
中国邮递员问题-模型
数学模型：
构造无向权图G，以道路为边，路长为权 问题的解——G中包含所有边的回路权最小，称为 最优回路(未必是简单回路)。 当G是欧拉图，则最优回路即欧拉回路。 若G不是欧拉图，则通过加边来消除G中的奇度顶点， 要求使加边得到的欧拉图G'中重复边的权和最小。
周游世界的游戏
3) 1)：
Z1是划分中的一个基回，若{Z1}=E，则Z1就 欧拉回路，G是欧拉图 否则，存在另一回路Z2与Z1有公共点v 构造简单回路，从v经Z1回到v，再经Z2回到v
将Z1UZ2看作Z1，再重复 上述过程，得到穷尽EG 的简单回路。 ∴G—欧拉图。//
提示
全部是偶度点的连通图中的回路 若干小回路串成欧拉回路
则W(G-S)=5 |S|=3
必要条件的局限性 ——只能判定一个图不是哈密尔顿图
下图(Petersen图)满足上述必要条件。 Petersen图不是H_图。
H-通路/半哈密尔顿图
充分条件
[定理]简单G有n(n 2)个节点，若G中任二点度数 和大于等于n-1，则G有H-通路 例.有H_通路，无H_回路
货郎担问题的近似算法
1)由任一点v0开始，找一条与之相关联的权最小的边 (V0 ,V1 )，形成初始回路v0 v1
2)设v0 v1 vi 已选定，从V— {v0 v1 vi}中找一点 vi+1 与 vi 距离最近
3)重复2)直到所有节点都在通路中 4)连接始点与终点
不一定是最佳解
∴ Kn是H-图
只要图中边足够多，G易为H_图 只要图中成对节点度数足够大，G易为H_图
间接充要条件
[引理] 设 G中u,v不相邻，且 d(u)+d(v) n，则 G+{(u,v)}是H_图的充要条件是G 是H_图
<定义>闭合图C(G)：
在G中反复增添结点度数和|VG|的不相邻的 节点对上的边，直至不能再添，得到的图为闭 合图C(G)
欧拉图和哈密尔顿图
信号处理中的数学方法 第2-4讲
一.欧拉回路：一般不限于简单图，一般指无向
图 Eg. 哥尼斯堡七桥问题
原问题：“右边的图中是否存在包含每条边一次且恰好 一次的回路？” 原问题等价于：欧拉图
A D C B A D
C
B
<定义>欧拉回路，欧拉通路
图G的一个回路/通路,它经过G中每条边恰 好一次，则回路/通路称为欧拉回路/通路。 定义：如果图G中含欧拉回路，则图G称为 欧拉图。
图G的闭合图是唯一的
例
加成了完全图， 故是H_图
“如果只在满足 d(u)+d(v) n 的 u,v 之间加边——构造 闭合图，图的哈密尔顿性质不会改变”
棋盘上的哈密尔顿回路问题
在44或55的缩小了的国际象棋棋盘上，马 (Knight)不可能从某一格开始，跳过每个格 子一次，并返回起点。
G连通，不妨设G是非平凡图
由2）每个结点度数至少为2，所以G中含一基回 Z1，Z1的度数为偶度数，删去Z1的边得到G’， 原G为偶度数，删去G’的每个点仍为偶度数 除孤立点外其余点至少为2度，即余连通点所图 至少2连通
如法炮制，直至余图不含边
{Z1}，{Z2 }，…..,{Zk }为E的一个划分。 //
提示：
在画欧拉回路时，已经经过的边不能再用；
在走回路中的任何时刻，将已经经过的边删 除，剩下的边必须仍在同一连通分支当中
×
随机欧拉图
<定义>G是欧拉图，vVG，从v开始，每一步从当前 点所关联边中随机选边，均可构造欧拉回路，则G称为 以v为始点的随机欧拉图。
注，若G是以v为始点的随机欧拉 图，则任何一个以v为始点的不包含G 中所有边的回路都应该能扩充成欧拉 回路。反之，若G不是以v为始点的随 机欧拉图，则一定存在已经包含了v 所关联的所有边，却未包含G中所有 边的简单回路。
这样,该问题转化为G有无欧拉回路的问题
[定理]对连通图，下列命题等价
1）G是欧拉图
2）G的每个结点为偶度数 3）G的边集能划分成为基本回路，即
eg.
边集C1 ,C 2 ,,C k 不重叠之基本回路，且 UC i E G
i=1
k
[证]
1)2)3) 1)
1) 2):
定义：如果图G中仅有欧拉通路，但没有欧 拉回路，则图G称为半欧拉图。
例 “一笔划”问题——G中有欧拉 通路
？
实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图
例 多米诺骨牌，28块
能否排成一圈使两两相邻的半边的点数相同，问 是否可能？
牌数
C
2 7
7 28 种
将0-6看作7个结点，任2点的边看作一块骨牌
D
I L O G M J
D
K
K H N H
F
参观区域实景 设E为起始点
图G
E,N,M,O,L,K,I,L,M,J,N,D,C,J,B,I,A,K,H,G,O,F,E
<欧拉回路-Fleury算法 >
1) 任取一点v0，置w0=v0
2) 设简单回路wi= v0e1v1e2……eivi 已选定， 则从EG−{e1e2……ei}中选ei+1
则分别用边 vivi+1 和 vjvj+1 替代 vivj 和 vi+1vj+1。
a
14
从a出发的“较好的”回路长度：40
10 12
9 a 7 d 6 c 8 e 5 b 14 10 a
b
7 13 5
9
c
6
经改进的回路，长 度：37 e
e
9
d
11
a
7
d 6
c
e
5
b
a
10
随机欧拉图的判定
[定理] 欧拉图G是以v为始点的随机欧拉图当且仅 当G中任一回路均包含v。 [推论] 欧拉图G是以任一顶点为始点的随机欧拉图 当且仅当G本身是一个基本回路)
中国邮递员问题：
问题：邮递员从邮局出发，走过辖区内每条 街道至少一次，如何选择最短路线？ 1）每街一次/至少一次 2）环游最短
(ui,v)后得到欧拉回路，连上所删除的边，得 到——得到欧拉通路。//
续例
.―一笔划”问题
G连通，从一个奇度点开始画，图只有0或2 个奇度点，则G可一笔画。//
[定理] 对有向图，G有欧拉回路每一结
点入度等于出度。
安排国展中心参观路线
A A B C I B J L O E F E G M N C
例
a
从a出发的“较好的”回路 ，
10 12
14
b
7 13 11
a
7
d
6
c
8
e
5
b
14
a
9
c
5
6
8
长度：40
d e
e
算法精度下限
设算法所得的回路长度为d， d0 是最小H_
回路的长度，G有n点，则

d / d0 ½ [ln(n)+1]+ ½
改进：
如果在已有回路中，W(vi,vj)+ W(vi+1,vj+1)< W(vi,vi+1)+ W(vj,vj+1),
1859 哈密尔顿 “周游世界”游戏： 20个城市，每个城市恰游一次，回到出发地