考研讲义数三经济部分

考研讲义数三经济部分

第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数

三）

《考试要求》

1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。

2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。

一、.极限及级数在经济学中的应用

(一)复利：

设某银行年利率为r ，初始存款为0

A 元，

（1）一年支付一次利息（称为年复利），则

t 年后在银行的存款余额为()t

1t

A A r =+;

（2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存

款余额为0

(1)

r nt A A t n =+;

（3）由于

lim [(1)]n r

rt rt

r e n n +=→∞

，所以当每年支付次

按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？

、

二. 经济学中的常用函数

需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数； 供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；

成本函数：

1()()

C Q C C Q =+, 其中0

(0)

C

C =为固定成

本, 1

()C Q 为可变成本；

收益函数：R PQ =; 利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.

例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1

p 和2

p , 销售量分别为1

q 和2

q ,

需求函数分别为1

1

2402q

p =-, 2

2

100.05q

p =-, 总成本函

数为1

2

3540()C q q =++, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？

例 2（99）设生产某种产品必须投入两种要素, 1x和2x分别为两种要素的投入量, Q为产出量；若生产函数为12

Q x xαβ

=, 其中,αβ为正常数,

2

且1

αβ

+=, 假设两种要素的价格分别为1p和2p试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

解 需要在产出量1

2212

x

x α

β=的条件下, 求总费

用11

22

p x p x +的最小值, 为此作拉格朗日函数

12112212(,,)(122)

F x x p x p x x x αβ

λλ=++-.

111211

21221220,(1)20,(2)1220.(3)

F p x x x F p x x x F x x αβαβαβ

λαλβλ

--??=-=?????=-=?????=-=??? 由(1)和(2), 得

1221216(

),()p p x x p p αββααβ

==；因驻点唯一, 且实际问题

存在最小值, 故当211212(

),6()p p x x p p βααβ

βα

==时, 投入总费

用最小.

三. 利用导数求解经济应用问

题

（一）、边际量：

当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、

边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯

上将()y x '视为()y y x =的边际量. 1、 定义 ： 设

()

y f x =或

()

,y f x t =，则称dy

dx

或

y x

??为y 关于x 的边际函数。

2、经济学含义：dy dx

表示自变量x 增加一

个单位时经济量()y x 的改变量。

(二）、弹性函数：

1、定义：设某经济量()y y x =，称η=dy

Ey x dy y dx Ex y dx

x

==为 ()y y x =的弹性函数。

2、经济学含义：当自变量x 增加1%时, 经济量()y y x =增加（η>0时）或减小（0η<时）%η。

3、需求弹性：由于一般情况下需求函数

()Q Q P =是P 的减函数, 因此定义需求对价格的 弹性

=p EQ P dQ

E EP Q dP

=-

-（恒正，表示价格

增加1%时需求减小%p

E ）

例 1 设某产品的成本函数为2

1()40032

C x x x =++, 而需求函数为P

=, 其中x 为产量(假定等于需

求量), P 为价格, 试求

(1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ；

例2设某商品的需求函数为p P f Q 2112)(-== （1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。

（2）当P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多

例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。设Q 为需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（正数），

（1）证明定价模型=

11MC

P η-

(2)若成本

函

2()1600,40,1

C Q Q Q P =+=-需求函数试由（）中的定价模型确定此商品的价格。

例4(04)某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)； (II) 推导

)1(d E Q dP

dR

-=(其中R 为收益)，并用弹

性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.

例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)

和y (件)，且固定两种产品的边际成本分别为

202

x +

(万元/件)与6y +(万元/件).

(I)求生产甲乙两种产品的总成本函数..(万元).

(II)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.

(III)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意 义。

例6（09） 设某产品的需求量函数为()Q Q P =,

其对价格P的弹性0.2

ε=, 则当需求量为 10000

P

件时, 价格增加1元, 会使产品收益增加元.

例 7 已知某商品的需求量x对价格p的弹性3

η=, 而市场对该产品的最大需求量为 1 (万3p

件), 求需求量函数.

例8 设生产某产品的固定成本为10, 当产量为x时的边际成本为232040

=--, 边际收益为

MC x x

=+. 试求

1032

MR x

(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.

例9 设产品的需求函数为()Q Q p =，收益函数R pQ

=，其中p 为产品价格，Q 为需求量（产品的产量），()Q p 是单调减少函数。如果当价格为0p 对应

产量为0Q 时，边际收益0

dR a Q Q

dQ

=>=，收益对价格的

边际效应 0

dR

c p p dp

=<=。需求对价格的弹性为

1E b p

=>，求,00p Q 。

四、差分方程及其在经济学中的应用

（一）、差分与差分方程的概念及性质

定义：若记()y y t =为t

y ，则称差1

t t

y

y +-为函数t

y 的

一阶差分，记为1

t

t t

y y y +?=-；

含有1,t t y y + 或t

y ?的 等式叫一阶差分方

程。

定理：线性差分方程的性质： 1、若()Y Y t =为线性齐次差分方程()1

t t y

p t y ++=的解，则通解()y cY t =；

2、若y *

为线性非齐次差分方程()()

1

t t y

p t y f t ++=的一个特解，()y cY t =为对应的 线性齐次差分方程

()10

t t y p t y ++=的通解，则

y cY y *

=+为()()

1

t t y

p t y f t ++=的通解。

3、若

1y *

为

()()

11t t y p t y f t ++=的特解，2y *

为

()()

12t t y p t y f t ++=的特解， 则

12y y **

+为()()()

1

12t t y

p t y f t f t ++=+的特解。

4、若1

2

,y y 均为()()

1

t t y

p t y f t ++=的解，则

12

y y -为

()10

t t y p t y ++=的解；121

()2

y y +仍为

()()

1t t y p t y f t ++=的解。

（二）一阶线性常系数差分方程的解法

1、一阶线性常系数齐次差分方程 1

t t y ay +-=的

解法：

特征方程：

r a -=, 特征值:

r a

=, 通

解:t

t

y Ca =.

2、 一阶线性常系数非齐次差分方程

1()

t t y ay f t +-=的解法:

方程的通解为*

t

t

t

y Ca y =+，其中*t

y 为原非齐次方程的特解。当()()t

m

f t P t d =时，

设特解形式为*

()k t

t m y

t Q t d =, 其中0,1,d a

k d a

≠?=?

=?

.，*t

y 可用待定系数法求之：

（三）、典型例题

例1 (01,I) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以t

W 表

示第t 年的工资总额(单位：百万元), 则t

W 满足

的差分方程是 .

例 2 (98)差分方程121050

t t y y t ++-=的通解

为 。

例3 差分方程1

23t

t t y y +-=的通解为 .

例 4 （97）差分方程 1

22t

t t y

y t +-= 的通解

为 。

例5 求1

232t t

t t y y t +-=+的通解。

例 6 已知12()2,()23t t Y t Y t t ==-为1()()

t t y p t y f t ++=.

(),()

p t f t 的解，求 。

例7 设某养鱼池一开始有某种鱼

A条，鱼的

平均年净繁殖率为R，每年捕捞x条，要使n年后鱼池仍有鱼可捞，应满足什么条件？