数列综合应用放缩法)

数列综合应用 (1

)

------- 用放缩法证明与数列和有关的不等式

一、 备考要点 数列与不等式的综合问题常常岀现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力•解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.

二、 典例讲解

1.先求和后放缩 例1 •正数数列"£n '的前n 项的和S n ，满足 2 S ；=日.7,试求：

(1)数列』的通项公式;

2.先放缩再求和

① .放缩后成等差数列，再求和

例2•已知各项均为正数的数列 ｛a .｝的前n 项和为S n ,

2

且 a

n a n = 2S

n • (1)求证： 2 2

S n ::: an an1 ；

4

⑵求证： < V S1 + j S2 + …

② .放缩后成等比数列，再求和 例 3. (1)设 a, n € N *

，a> 2，证明: a 2n -(-a)n _(a 1) a n ;

1

(2)等比数列｛a n ｝中，Q = -一，前n 项的和为A n ， 2

2

, a n

且A 7，A 9, A 8成等差数列•设b n —，数列｛b n ｝

1 _a

n

前n 项的和为B n ，证明：B n V 一 .

3

③ •放缩后为差比数列，再求和

例4. 已知数列｛a n ｝满足：a 1 =1，

(2)设 b n --- ，数列、b n •啲前n 项的和

a n a

n 1

为B n ，求证:

B n

a n 1 =(1 伴)a n(n =1,2,3 ) •求证: 2n

1

a n 1 ■ a* _ 3 —n1

2

④•放缩后为裂项相消，再求和

例5 •在m （m》2）个不同数的排列P1P2…P n中，

若1 < i v j< m时R> P j （即前面某数大于后面某数）, 则称P i与P构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列（n 1）n（n -1）…321 的逆序数为a n,如排列21的逆序数a1 =1，排列321的逆序数a3=6 •

（1）求£4、爲，并写出a n的表达式；

（2）令b n丑.込！，证明：

a

n + a

n

2n 叮 6 b2 b n :: 2n 3，n=1,2,…

高考真题再现：

3 2

1. （06浙江卷）已知函数f（X）=X X ，数列｛X n｝（X n> 0）的第一项X1= 1,以后各项按如下方式取定: 曲线y = f（x）在（X n 1, f（X n 1））处的切线与经过

（0，0）和（x n，f （x n））两点的直线平行（如图）

求证：当n • N时,

(

I ) x n * Xn = 3x n + 2 x n + ；

n -2

亠

X n =(-)

2.( 06福建卷)已知数列：a n ，满足

*

a 1 =1,a n .勺=2a n 1(n 三 N ).

(I)

求数列 的通项公式； (II) 证明：n --:::色更...彳：：：-(n N *).

2 3 a 2 a 3 a n 1 2

3.(07浙江)已知数列ia n ?中的相邻两项a 2kJ ，a 2k

2 k k

是关于x 的方程x -(3k 2 )x 3k 2 = 0的

两个根，且 a ?〜＜ a 2k (k =1,2,3,|l().

(1

)求 a i , a 2 , a 3 , a

7 ； (ii )求数列\a n 』的前2n 项和S 2n ；

4.( 07湖北)已知m, n 为正整数，

(i )用数学归纳法证明：当 X • T 时,

(1 - X)m

> 1 mx ；

( 求证1 ■■.m m n +3」

(III )求出满足等式 3n * 4n Jll • (n 2)n =(n - 3)m

的所有正整数n .(山)记 f(n) =1

[sin n

iSin n T n (-1) f (2) (1)f ⑶ (-1严 :(]・・・・ (-1) f (n 1)

a i a 2 a 2n 丄 a

2n 求证： 1 5 *

6三T n 三汀N ). a 3a 4 (II )对于n > 6，已知1 丄山 n +3」

m =1,2」H , n ；

5. （08 辽宁）在数列、a n! , 'b n!中，3i = 2, b i = 4, 且a n,b n, a, 4成等差数列，b n,a n i,b n d成等比数列.

⑴求a2,a3,a4及b2,d,b4,由此猜测1 a n/,:b/?的通项

公式,并证明你的结论；

⑵证明：_! 1. 1 5.

a i bi a2 b2 a,

b n 12

数列综合应用(1)

-------- 用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点

数列与不等式的综合问题常常岀现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力•解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.

二、典例讲解

1.先求和后放缩例1 .正数数列'a n匚的前n项的和S n，满足 2 S n 二a. V，试求：

(1)数列Sn ＜的通项公式；

(2)设b n 1一，数列'b n匚的前n项的和

a n a

n 十

为B n，求证：B n -

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