第2讲行遍性问题

Fleury 算法步骤： （１）任选一个顶点 v0，令道路 w0=v0
（２）假定道路 wi=v0 e1 v1 e2… e ivi 已经选好，则从 E\{e1,e2, …,ei}中
选一条边 ei+1，使： a）ei+1 与 vi 相关联
b）除非不能选择，否则一定要使 ei+1 不是 Gi=G[E-{e1,e2, …,ei}]
68
68
Pa 21 57 36 inf 51 61
Pe 51 78 68 51 inf 13
T
60 70 68
61 13 inf
建模实例 灾情巡视路线
• 图5－53为某乡，（镇），村公路网示意图，公路边的数 字为该路段的公里数。
• 有一年夏天该县遭受水灾。为考察灾情，组织自救，县领 导决定，带领有关部门负责人到全县各乡，（镇），村巡 视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡，镇，村， 又回到县政府所在地的路线。
2．以 v4、v7、v8、v9 为顶点，它们之间的距离为边权构造完备图 G1．
3．求出 G1 的最小权完美匹配 M={(v4,,v7),(v8,v9)}
4．在 G 中沿 v4 到 v7 的最短路径添加重复边，沿 v8 到 v9 的最短路径 v8v9 添加重复边，得欧拉图 G2．G2 中一条欧拉巡回就是 G 的一条最佳 巡回．其权值为６４．
（２）以 G 的所有奇次顶点为顶点集（个数为偶数），作一完备图， 边上的权为两端点在原图 G 中的最短距离，将此完备加权图记为 G1．
（３）求出G1的最小权理想匹配M，得到奇次顶点的最佳配对．
（４）在 G 中沿配对顶点之间的最短路径添加重复边得欧拉图 G*．
（５）用 Fleury 算法求出 G*的欧拉巡回，这就是 G 的最佳巡回．
的割边．
（３）第（２）步不能进行时就停止．
v1
e1
v2 e10
e4
e5 e2
v4
e3
e6 v3
V5
e7
e8
V7 e9
V6
2、G 不是欧拉图
若G不是欧拉图，则G的任何一个巡回经过某 些边必定多于一次．
解决这类问题的一般方法是，在一些点对之间 引入重复边（重复边与它平行的边具有相同的权）， 使原图成为欧拉图，但希望所有添加的重复边的 权的总和为最小．
e2
v4
e3
v3
欧拉巡回：
v1e1v2e2v3e5v1e4v4e3v3e6v1
定理１ 对于非空连通图 G，下列命题等价： （１）G 是欧拉图． （２）G 无奇次顶点． （３）G 的边集能划分为圈．
v1
e1
v2
v1
e1
v2
e4 e6 e5
e2
v4
e3
v3
欧拉图
e4
e5 e2
v4
e3
v3
非欧拉图
推论１ 设 G 是非平凡连通图，则 G 有欧拉道路的充要条件是 G 最多只有两个奇次顶点．
（1）若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可 能均衡的巡视路线。
（2）假定各巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在 各村停留时间T=1小时，汽车行驶速度v=35千米/小时。要 在24小时内完成巡视，至少应分几组：给出这种分组下你 认为最佳的巡视路线。
（3）在上述关于T，t和v的假定下，如果巡视人员足够多， 完成巡视的最短时间是多少;给出在这种最短时间完成巡 视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
情形１ G 正好有两个奇次顶点 （１）用 Dijkstra 算法求出奇次顶点 u 与 v 之间的最短路径 P．
（２）令 G*=G P，则 G*为欧拉图．
（３）用 FleBiblioteka ry 算法求出 G*的欧拉巡回，这就是 G 的最佳巡回．
v1
e1
v2
e4
e5 e2
v4
e3
e6 v3
V5
e7
e8
V7 e9
V6
例 求右图所示投递区的一条最佳邮递路线．
1．图中有 v4、v7、v8、v9 四个奇次顶点
用 Floyd 算法求出它们之间的最短路径和距离：
Pv4v7 v4v3v2v7 , d (v4 , v7 ) 5 Pv4v8 v4v8 , d (v4 , v8 ) 3 Pv4v9 v4v8v9 , d (v4,v9 ) 6 Pv7v8 v7v8 , d (v7 , v8 ) 9 Pv7v9 v7v9 , d (v7 , v9 ) 6 Pv8v9 v8v9 , d (v8 , v9 ) 3
例: 从北京（Pe）乘飞机到东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、 伦敦(L)、巴黎(Pa)五城市做旅游，每城市恰去一次再回北京， 应如何安排旅游线，使旅程最短？各城市之间的航线距离如 下表：
L
M
N
Pa Pe
T
L
inf 56
35
21
51
60
M 56 inf 21 57 78 70
N
35
21 inf 36
则在 C0 中删去边(vi,vi+1)和(vj,vj+1)而加入边(vi, vj)和(vi+1,vj+1)，形成 新的 H 圈 C，即
C= v1,v2,…,vi,,vj , vj-1, …,vi+1,vj+1, …,vn,v1
３）对 C 重复步骤（２），直到条件不满足为止，最后得到的 C 即为所求．
若用顶点表示城镇，边表示连接两城镇的路，边 上的权表示距离（或时间、费用），于是推销员问 题就成为在加权图中寻找一条经过每个顶点至少一 次的最短闭通路问题．
定义 在加权图G=(V,E)中， （１）权最小的哈密尔顿圈称为最佳H圈． （２）经过每个顶点至少一次的权最小的闭通路称 为最佳推销员回路．
一般说来，最佳哈密尔顿圈不一定是最佳推销员回路， 同样最佳推销员回路也不一定是最佳哈密尔顿圈．
中国邮递员问题-定义
邮递员发送邮件时，要从邮局出发，经过他投递范围内的 每条街道至少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择一条行 程最短的路线．这就是中国邮递员问题.
若将投递区的街道用边表示，街道的长度用边权表示， 邮局街道交叉口用点表示，则一个投递区构成一个赋权连通 无向图．中国邮递员问题转化为：在一个非负加权连通图中， 寻求一个权最小的巡回．这样的巡回称为最佳巡回．
上述问题可分为三种情况．
中国邮递员问题-算法
1、G 是欧拉图 此时 G 的任何一个欧拉巡回便是最佳巡回．问题归结
为在欧拉图中确定一个欧拉巡回．
Fleury 算法：求欧拉图的欧拉巡回
Fleury算法-基本思想：从任一点出发，每当访问 一条边时，先要进行检查．如果可供访问的边不只 一条，则应选一条不是未访问的边集的导出子图的 割边作为访问边，直到没有边可选择为止.
情形２ G 有２n 个奇次顶点（n ２）
Edmonds 最小对集算法：
基本思想：
先将奇次顶点配对，要求最佳配对，即点对之间距离总和 最小．再沿点对之间的最短路径添加重复边得欧拉图 G*，G*的 欧拉巡回便是原图的最佳巡回．
算法步骤：
（１）用 Floyd 算法求出的所有奇次顶点之间的最短路径和距离．
哈密尔顿图
定义 设 G=(V,E)是连通无向图 （１）经过 G 的每个顶点正好一次的路径，称为 G 的一条
哈密尔顿路径． （２） 经过 G 的每个顶点正好一次的圈，称为 G 的哈密尔
顿圈或 H 圈． （３）含 H 圈的图称为哈密尔顿图或 H 图．
推销员问题-定义
流动推销员需要访问某地区的所有城镇，最后回 到出发点．问如何安排旅行路线使总行程最小．这 就是推销员问题．推销员问题是NP-完备问题，即没 有多项式时间算法。
行遍性问题
一、中 国 邮 递 员 问 题
（一） 欧 拉 图 （二） 中 国 邮 递 员 问 题
二、推 销 员 问 题
（一） 哈 密 尔 顿 图
（二） 推 销 员 问 题
三、建模案例：最佳灾情巡视路线
定义 设图 G =（V，E），M E，若 M 的边互不相邻，
则称 M 是 G 的一个匹配.
若顶点 v 与 M 的一条边关联，则称 v 是 M—饱和的 设 M 是 G 的一个匹配，若 G 的每个顶点都是 M—饱和的，则 称 M 是 G 的理想匹配.
删去边(v1, v2), (v4, v5),加C3C入=2v=边1v13(vvv512,vv646v)v2,5(vvv314,vv414v)得1 到一个新 H 圈 C1 如图 b.
W(C3)=192．
C1=v1v4 v3 v2 v5 v6 v1.
图图ca
图图b d
用改良圈算法得到的结果几乎可以肯定不是最优的。为了得 到更高的精确度，可以选择不同的初始圈，重复进行几次算法， 以求得较精确的结果。这个算法的优劣程度有时能用 Kruskal 算 法加以说明。假设 C 是 G 中的最优圈。则对于任何顶点 v ，C v 是在 G v 中的 Hamilton 轨，因而也是 G v 的生成树。由此推知： 若 T 是 G v 中的最优树，同时 e 和 f 是和 v 关联的两条边，并使 得 w(e) w( f ) 尽可能小，则 w(T ) w(e) w( f ) 将是 w(C) 的一个 下界。这里介绍的方法已被进一步发展。圈的修改过程一次替换 三条边比一次仅替换两条边更为有效；然而，有点奇怪的是，进 一步推广这一想法，就不利了。
x,y E’, w(x,y)=mindG(x,y)
定理２ 加权图 G 的最佳推销员回路的权与 G’的最佳 H 圈的权相同．
因此，在加权图中寻求最佳推销员回路的问题就可转化为在一个 完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为 TSP 问题．
TSP 近似算法包括构造型算法和改进型算法。构造型算法是按一 定规则一次性构造出一个解。而改进型算法则是以某一解作为出事解， 逐步迭代，改进解，是一种迭代法。一般是以构造型算法得到一个初 始解，然后再用改进型算法逐步改进。
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
解图图：bc任中中取初始 Hww圈((vv:11,C,vv053=))++v1wwv2((vvv243,,vvv645))v<<5wvw6((vvv111,,如vv65)图)++wwa.((vv23,,vv54)) 可删删知去去边边((vv11, ,vv65)),,(w(vv2(3,v,v1v,54)v),4加,)加+入入w边(边v2(,(vv115, ,)v<v53)w),(,((vvv214,,,vvv625)))得+得w到到(v一一4,个v个5)新新HH圈圈CC23如如图图cd..
（２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回．
（３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图．
（４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
v1
e1
v2
v1
e1
v2
e4
e5 e2
v4
e3
v3
欧拉道路：v1e1v2e2v3e5v1e4v4e3v3 巡回：v1e1v2e2v3e5v1e4v4e3v3e5v1
e4 e6 e5
割边的定义：设G连通，e E(G),若从G中删除边e后，
图G-{e}不连通，则称边e为图G的割边．
v1
e1
v2
V5
e4
e5 e2
割边 e7
e8
v4
e3
e6 v3
V7 e9
V6
G的边e是割边的充要条件是e不含在G的圈中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图
（１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回．
（4）若巡视组数已定（如三组），要求尽快完成巡视，讨 论T,t和v改变时最佳巡视路线的影响。以下我们参考当 年的优秀答卷对这一问题作一分析。
一、关于问题的数学模型 • 本题给出了某县的道路交通网络图，要求的是在不同
的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线。这是一 类图上的点的普遍性问题，也就是用若干条闭链覆盖 图上的所在顶点，关使某些指标达到最优。 • 点的遍历性问题在图论属于哈密顿问题和旅行推销员 问题。本题所求得分组巡视的最佳路线与多个旅行推 销员问题类似但也有不同，因为还有均衡性的要求。 由于旅行推销员问题属于NP-完全类，本题的规模比 较大（包括县城共有53个点），所以要想求出真正的 最优解是不现实的，为此只能针对具体问题，采取一 些启发式算法求得近似最优解。
H回路，长22
最佳推销员回路，长4
定理１ 在加权图 G=(V,E)中，若对任意 x,y,z V，z x,z y,都有
w(x,y) w(x,z)+w(z,y)，则图 G 的最佳 H 圈也是最佳推销员回路．
最佳推销员回路问题可转化为最佳 H 圈问题．方法是由给定的 图 G=(V,E)构造一个以 V 为顶点集的完备图 G’=(V,E’)，E’的每条边 (x,y)的权等于顶点 x 与 y 在图中最短路的权．即：
常见的构造型算法是最小权匹配算法和对角线完全算法。 改进型算法：二边逐次修正法 现代算法：模拟退火法、弹性网法、蚁群算法、遗传算法。
推销员问题近似算法：二边逐次修正法：
（１）任取初始 H 圈: C0=v1,v2,…,vi, ,…,vj,…,vn,v1
（２）对所有的 i ,j，1<i+1<j<n,若 w(vi, vj)+w(vi+1,vj+1)<w(vi,vi+1)+w(vj,vj+1)