通信原理-第2章

不失真条件 y(t)=kx(tτ) 不失真的时域充分条件 h(t)=kδ(tτ) 不失真的频域必要条件
H f Y ( f ) k e j2 f , f X f 不为零的频率范围
X( f )
3.系统的带宽
系统带宽的一种常见定义为：幅频特|H(f)|2 相对于频带中心处取值为1/2的频率范围， 常称为3dB带宽。
s1(t)
d
s2 t
dt
卷积定理
(1) 时域卷积定理
s1(t) s2 (t) S1( f )S2 ( f )
(2) 频域卷积定理
s1(t)s2 (t) S1( f ) S2 ( f )
函数与单位冲激函数的卷积
时域
频域
s(t) (t) s( ) (t )d s(t) S ( f ) ( f f0 ) S ( f f0 )
dt
性质2：抽样性
s(t)
(t
t0
)
d
t
s
t0
性质3：傅里叶变换
ej2 ft d f (t)
性质4
e j2 f0t ( f f0 )
e j2 f0t ( f f0 )
2.6 功率信号的傅利叶变换
1.常数A的傅里叶变换
A A ( f )
2.正弦、余弦信号的傅里叶变换
cos 2
2.3 周期信号的傅里叶级数分析
1.三角形式的傅里叶级数
令s(t)为周期信号，周期为T，且满足狄里赫 利条件，则s(t) 可展开为以下级数
s t a0 an cos 2 fnt bn sin 2 fnt n1
fn
n T
经变换后也可表示为
s t cn cos 2 fnt n n0
s(t t1) (t t2 ) s(t t1 t2 ) s( f f1) ( f f2) S( f f1 f2)
(t t1) (t t2) (t t1 t2) ( f f1) ( f f2) ( f f1 f2)
2.10 确定信号通过线性系统
将x(t)变换为y(t)，在数学上称为算子。
牛顿：1643-1727，84
爱因斯坦：1879-1955，76
霍金：1942-，>73
傅里叶：1678-1830，62
高斯：1777-1855，78
拉格朗日：1736-1813，77
陈省身：1911-2004，93
华罗庚：1910-1985，75
杨振宁：1922-，>93
《时间简史：从大爆炸到黑洞》
Es (0) 2
或Ps (B)
Ps (0) 2
3、等效矩形带宽B
B Es ( f ) d f 2Es (0)
B Ps ( f ) d f 2Ps (0)
2.8 确定信号的相关函数
1、定义
对于复信号s1(t)和s2(t)，互相关函数定义为
R12 ( )
s *
1
(t
)s2
(t
)
d
t
能量信号
信号的频谱集中在某一 频率附近。
若fc>>2W,则称此频带信号为窄带信号。
S(f)关于0共轭对称 fc不一定必须要处在频谱的正中
无线通信系统中的信号通常满足窄带条件。 2G：GSM(900M，1800M)；CDMA(800M)； 3G: 移动(1880～1900MHz); 电信(1920～1935MHz );联通(1940～1955MHz) 徐州交通广播：103.3; 江苏交通广播：101.1
e j2 ft d t
s(t)的傅
里Fra Baidu bibliotek变换
s t
S
f
e j2 ft d f
S(f)的傅
里叶反变换
2.5 单位冲激函数的傅利叶变换
1.定义
对任意连续有界的信号s(t)，单位冲激
函数(t)满足：
s
t
t
d
t
s
0
直观理解：
t
0
t 0 t0
2.性质
性质1：单位冲激函数是单位阶 跃函数的微分
d u(t) (t)
以L表示算子，则y(t)=L[x(t)]
1、线性算子与线性系统
恒参线性系统（线性时不变系统）有
y(t) x( )h(t ) d 或
y(t) x(t) h(t)
频域关系式
Y( f ) X ( f )H( f )
系统的 传递函数
H ( f ) | H ( f ) | ej( f )
2、信号不失真的条件
理想带通滤波器传递函数
2.12 希尔伯特变换
戴维·希尔伯特，David Hilbert，1862～1943,德国著名 数学家。 于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上， 提出了20世纪需要解决的23个数学问题，被认为是20世纪 数学的至高点，对这些问题的研究有力推动了20世纪数学 的发展。希尔伯特领导的哥廷根数学学派是19世纪末20世 纪初数学界的一面旗帜，是量子力学和广义相对论数学基 础的重要贡献者，被称为“数学界的无冕之王”，是天才 中的天才。
B
对于能量信号 2 0 Es ( f ) d f 90%(或95%，99%） E
对于功率信号
B
2 0 Ps ( f ) d f 90%(或95%，99%） P
▪2、若Es(f)或Ps (f)在f=0处最大，则可按Es(f)或 Ps (f)下降到3dB(半功率点）的频率位置定义信 号带宽。
Es (B)
(1) 求出s(t)的希尔伯特变换 sˆ(t) ，再构成其 解析信号：z(t) s(t) jsˆ(t)
(2) 由s(t)求其傅里叶变换S(f)，于是：
z(t)
2S
f
e j2 ft d f
0
例：已知 f (t) cos 2f0t ,求其解析信号。
2.13 频带信号与带通系统
定义： 频带信号又称带通信号，
5.单位阶跃函数的傅利叶变换
u(t) 1 ( f ) 1
2
j2 f
2.7 能量谱密度和功率谱密度
1.能量谱密度Es(f)
Es f S f 2
E
s2 (t) d t
Es ( f ) d f
通信中常用单边能量谱
E ( f ) 单边
2E双边 ( f ) f 0
0
f 0
2.功率谱密度Ps(f)
《果壳中的宇宙》
2.12 希尔伯特变换
定义
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
希尔伯特反变换 H 1[g(t)] 1 g( ) d
t
卷积形式
sˆ(t) s(t) 1
t
频域变换
可将希尔伯特变换看作一线性系统： 冲激响应为 1/(t) 传递函数为 j sgn(f)
带通信号的解析信号
z(t) s(t) jsˆ(t) Z( f ) 2S( f )u( f )
解析信号的频谱：实际带通信号一定是实信号， 它所对应的解析信号一定是复信号
带通信号的复包络
令 sL (t) z(t) e j2 fct 则有
sL (t) SL ( f ) Z ( f fc ) 2S( f fc )u( f fc )
设有实信号s(t),称复信号
z(t) s(t) jsˆ(t) 为s(t)的解析信号。
解析信号的性质
（1） s(t) Re[z(t)]
z(t) s(t) jsˆ(t)
（2） s(t) 1 [z(t) z(t)] 其中 z(t) 是 z(t) 的共轭。
2
（3）令 s(t) S( f ), z(t) Z( f ), 则有 Z( f ) 2S( f )u( f )
(4)
z(t) 2S( f ) ej2 ft d f
0
(5) z(t) 2S( f )u( f )
(6) 令z1(t)和z2(t)为解析信号，则有
z1(t) z2* (t) 0
z1*(t) z2 (t) 0
(7) 解析信号的能量等于实信号能量的两倍。
3. 已知实函数s(t)，求解析信号的方法：
2.1 引言
➢ 确定信号是指可以用确定的时间函数 表示的信号。
➢ 实际载荷信息的信号往往不能用一个 确定性的时间函数来描述，但具有一 定的统计规律性，这种信号称作随机 信号。
2.2 确定信号的分类
➢ 周期信号与非周期信号 注意 同周期信号的和、差、积 也 是周期信号，且具有同一周期。
➢ 能量信号与功率信号 ➢ 模拟信号和数字信号 ➢ 基带信号和频带信号(带通信号)
R12( ) E12(f )=S1* f S2 f
R12 (
)
P12 (f
)=
lim
T
S* 1,T
f S2,T T
f
2.9 卷积
定义
s1(t) s2 (t) s1(a)s2 (t a) d a
卷积的性质
(1)交换律
s1(t) s2 (t) s2 (t) s1(t)
1.周期信号可以展开为不同幅度、频率和相位的正弦信号（ s(t)的谐波）之和。 2.Cn与f的关系为幅频特性；φn与f的关系为相频特性。
2.指数形式的傅立叶级数
s t
S e j2 fnt n
n
Sn
1 T
T 2
s
T 2
t
e j2 fnt d t
2.4 傅里叶变换
S f
s
t
《通信原理》
江苏师范大学 李全彬
感谢北京邮电大学杨鸿文老师提供部分课件资料
第二章 确定信号分析
2.1 引言 2.2 确定信号的分类 2.3 周期信号的傅里叶级数分析 2.4 傅里叶变换 2.5 单位冲激函数的傅里叶变换 2.6 功率信号的傅里叶变换 2.7 能量谱密度和功率谱密度
2.8 确定信号的相关函数 2.9 卷积 2.10 确定信号通过线性系统 2.11 希尔伯特变换 2.12 解析信号 2.13 频带信号与带通系统
由于系统特性H(f)不理想引起的信号失真称 为线性失真。线性失真包括幅度失真和相 位失真。
由于系统的幅-频特性不理想引起的信号失 真称为幅度失真。
由于系统的相-频特性不理想引起的信号失 真称为相位失真。
4.低通滤波器和带通滤波器
理想低通滤波器的传递函数
H ( f ) | H ( f ) | ej( f ) e j2 f
z(t) sL (t) e j2 fct
等效一个理想移相器： 正频率后移90o，负频率前移90o。
希尔伯特变换等效一个理想移相器：
正频率后移90o，负频率前移90o
例： f (t) cos(wt) , w 0
f
(t)
cos(wt
)
s in(wt )
2
f
(t)
sin(wt
)
cos(wt
)
2
H
1[
f
(t)] sin(wt
) 2
coswt
R( ) R* R( ) R0
能量信号的能量=R(0) 功率信号的功率=R(0) 周期信号的自相关函数是周期函数
3、相关函数与能量（功率）谱密度
R( ) Es ( f ) S(f ) 2 能量信号
R( )
Ps (
f
)
lim T
ST (f T
)
2
功率信号
4、互能量谱密度和互功率密度
Ps
f
lim T
ST
f
T
2
P lim 1 T 2 s2 t d t T T T 2
1
2
lim T T
ST
f
df
Ps ( f ) d f
单边功率谱与双边功率谱
P ( f ) 单边
2P双边 ( f ) f 0
0
f 0
3.信号带宽B的确定
1、根据占总能量（功率）的比例确定
f0t
1 2
f
f0
f
f0
sin 2
f0t
j 2
f
f0
f
f0
3.周期信号的傅里叶变换
若st)是周期为T的周期信号，则
s t
j2 n t
Sn e T ,
n
Sn
1 T
T2
st
T 2
j2 nt
e T dt
S
f
Sn
n
f
n T
4.符号函数的傅利叶变换 sgn(t) 1
j f
R12
(
)
lim
T
1 T
T T
s2 *
21
(t
)
s2
(t
)
d
t
功率信号
R12
(
)
1 T
T T
s2 *
21
(t
)s2
(t
)
d
t
周期信号
s1(t)=s2(t)时的互相关函数称为自相关函数，
记为R()
归一化相关函数定义为
r12 ( )
R12 ( )
R1(0)R2 (0)
2、相关函数的性质 R12( ) R2*1 r12 ( ) 1
f
(t)
希尔伯特变换的性质
(1) H 1[sˆ(t)] s(t)
(2) H[sˆ(t)] sˆˆ(t) s(t)
(3) s2 (t) d t sˆ2 (t) d t
(4)偶函数的希尔伯特变换是奇函数； 奇函数的希尔伯特变换是偶函数。
(5)
s(t)sˆ(t) d t 0
2.12 解析信号
(2)分配律 s1(t) [s2 (t) s3(t)] s1(t) s2 (t) s1(t) s3(t)
(3)结合律 s1(t) [s2 (t) s3(t)] [s1(t) s 2 (t)] s3(t)
(4)卷积的微分
d[s1(t) s2 (t)] dt
d
s1 t
dt
s2 (t)