第九章_有限元法-边界积分方法_270802905

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3
是位于其镜像位置的 − J z 在自由空间中产生的场。 因为镜像场等效于源场被无限 导电面反射而形成的场，因此将它记为 E zref 。剩下的第三项表示由于开口扰动而 产生的场。因此，式(9-11)可简写为 ∂ (2 ) j ˆ )dx' (9-12) (k0 ρ − x' x E z (ρ ) = E zinc (ρ ) + E zref (ρ ) + ∫ E z ( x') H 0 2 Γa ∂y 为了导出口径场 E z 和它的法向导数之间的关系，取上式对 y 的偏微分，得 到 ∂E z (ρ ) ∂E zinc (ρ ) ∂E zref (ρ ) j ∂2 (2 ) ˆ )dx' (9-13) + ∫ E z ( x ') 2 H 0 (k0 ρ − x' x + = Γ ∂y 2 a ∂y ∂y ∂y (2 ) ˆ 处满足齐次亥姆霍兹方程，当 y f 0 时，式(9-13)可写为 因为 H 0 在 ρ ≠ x' x
Ωs
(
)[
]
(
)
其中 Ω s 表示具有电流 J z 的源区域。引用第二格林定理，上式可写为
⎡ ∂Ge ρ , ρ ' ⎤ ' ∂E z (ρ ) − E z (ρ ) Ge ρ , ρ ⎥ ∫∫Ω∞ E z (ρ ) ∇ Ge ρ , ρ + k Ge ρ , ρ dΩ + ∫Γ∞ ⎢ ∂n ∂n ⎣ ⎦
第九章 有限元-边界积分方法
在电磁学中，尤其是在电磁散射和辐射领域中，许多问题都涉及到开放的无 限区域。它们的数值分析通常使用积分方程和有限元方法进行。在前面的章节中 已经看到，有限元法有一个相对简单的共识，对模拟复杂的结构具有吸引力。更 为重要的是，它产生稀疏的带状矩阵，而该矩阵可以高效率地存储和求解。 假设所有源和物体均在自由空间中，并位于距坐标系原点有限的距离内，那 么电场和磁场应该满足
Ωs
辐射条件，以及在 y = 0 上的边界条件 Ge = 0 。
依据镜像原理，该解就是半空间电型格林函数，即 1 (2 ) 1 (2 ) Ge ρ , ρ ' = H 0 k0 ρ − ρ ' − H 0 k 0 ρ − ρ i' (9-10) 4j 4j ' ' 其中 ρ i 表示 ρ 的镜像位置。将式(9-10)代入到式(9-9)中可得 k Z (2 ) (k0 ρ − ρ ' )dΩ' E z (ρ ) = − 0 0 ∫∫ J z (ρ ')H 0 Ω s 4 k Z (2 ) k 0 ρ − ρ i' dΩ' (9-11) + 0 0 ∫∫ J z (ρ ')H 0 Ω s 4 j ∂ (2 ) ˆ )dx' + ∫ Ez x ' H 0 (k 0 ρ − x' x Γ 2 a ∂y 上式中右边第一项可认为是源 J z 在自由空间中产生的场，记为 E zinc 。第二项
⎛ 2 ∂2 ⎞ ∂E z (ρ ) inc (2 ) ˆ )dx' (9-15) (x ) − j ⎜ (k0 ρ − x' x | y =0+ = −2 jk 0 Z 0 H x k0 + 2 ⎟ ⋅ ∫ E z ( x')H 0 ⎜ ⎟ Γ a ∂y ∂x ⎠ 2⎝ ②有限元分析 现在考虑腔体内的场，它也满足亥姆霍兹方程 ∂ ⎛ 1 ∂E z ⎞ ∂ ⎛ 1 ∂E z ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ + k 02ε r E z = 0 ρ ∈ Ω (9-16) + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∂x ⎝ μ r ∂x ⎠ ∂y ⎝ μ r ∂y ⎠
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(
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为
E z (ρ ' ) = − jk 0 Z 0 ∫∫ J z (ρ )Ge (ρ , ρ ' )dΩ ⎡ ∂Ge (ρ , ρ ' )⎤ − ∫ ⎢ E z (ρ ) ⎥ dx Γa ∂n ⎣ ⎦ y =0
Ωs
(9-8)
其中 Γa 表示腔体开口的线段。当将加撇和未加撇的左边互换后，该公式可写为
[
2
(
'
)
2 0
(
'
)]
(
)
(
)
= jk 0 Z 0 ∫∫ J z (ρ )Ge ρ , ρ ' dΩ
Ωs
(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(9-5)
其中 Γ∞ 表示包含 Ω ∞ 的路径。将(9-3)式带入上式，得到
E z ρ ' = − jk 0 Z 0 ∫∫ J z (ρ )Ge ρ , ρ ' dΩ
Ωs
( )
(
)
(9-6) ⎡ ∂Ge ρ , ρ ⎤ ' ∂E z (ρ ) + ∫ ⎢Ge ρ , ρ − E z (ρ ) ⎥ dΓ Γ∞ ∂n ∂n ⎣ ⎦ 现在考虑 Γ∞ 上的回路积分，它由沿 x 轴从 − ∞ 到 + ∞ 的线积分和沿半径趋于 无限大的半圆上的线积分组成。假设所有源都限制在离原点的有限距离内，那么 E z 和 Ge 都满足索末菲辐射条件。结果，沿半圆的线积分为零。因此，
(9-18)
可将上式整理成如下形式 1 ∂E z | +γ (E z ) = q 在Γa 上 (9-19) μ r ∂y y =0− 其中 j ⎛ 2 ∂2 ⎞ (2 ) (k0 x − x' )dx' γ (E z ) = ⎜ k0 + 2 ⎟ E z ( x')H 0 ∫ ⎜ ⎟ Γ a ∂x ⎠ 2⎝
(
)
(
)
2
E z ρ ' = − jk 0 Z 0 ∫∫ J z (ρ )Ge ρ , ρ ' dΩ
Ωs
( )
(
)
(9-7) +∞ ⎡ ∂G ρ , ρ ⎤ ∂E z (ρ ) − ∫ ⎢Ge ρ , ρ ' − E z (ρ ) e dx ⎥ −∞ ∂n ∂n ⎣ ⎦ y =0 ˆ = −y ˆ ，所以上式第二项的积分符号已经改变了。由于 E z 在除开口以 因为 n 外的导电面上为零，且如果选择 Ge 使其在 y = 0 的平面上为零，则式(9-7)可简化
其中 Ω 表示腔体的横截面。在腔体壁上， E z 满足第一类边界条件，它的值 为零；在腔体开口处，根据场的连续性条件 ∂E ∂E E z | y =0+ = E z | y =0− ， z | y =0+ = z | y =0− (9-17) ∂y ∂y 从式(9-15)可导出边界条件 ⎛ 2 ∂2 ⎞ 1 ∂E z (ρ ) inc (2 ) ˆ )dx' (x ) − j ⎜ (k0 ρ − x' x | y =0− = −2 jk 0 Z 0 H x k0 + 2 ⎟ ⋅ ∫ E z ( x')H 0 ⎜ ⎟ Γ ∂x ⎠ a 2⎝ μ r ∂y
的场可展开为
E ze ( x, y ) = ∑ N ie (x, y )Φ ie = Φ e
i =1
3
{ } {N }
T e T s
(9-22)
腔体开口处第 s 段上的场展开为
E zs ( x, y ) = ∑ N is (x )Φ is = Φ s
i =1
2
{ } {N }
(9-23)
将上述两式代入式(9-21)可得 Ms T T T 1 M 1 Ms Ms F = ∑ {Φ e } K e {Φ e }+ ∑∑ {Φ s } P st {Φ t }− ∑ {Φ s } {b s } (9-24) 2 e=1 2 s =1 t =1 s =1 其中 T T ⎧ ⎫ ⎧ ∂N e ⎫⎧ ∂N e ⎫ ⎤ ⎪ 1 ⎡⎧ ∂N e ⎫⎧ ∂N e ⎫ e e e T⎪ 2 e ⎥ K = ∫∫ e ⎨ e ⎢⎨ k ε N N − + ⎬ ⎬dxdy ⎬⎨ ⎨ ⎬ ⎬⎨ Ω μ r ⎢⎩ ∂x ⎭⎩ ∂x ⎭ ⎩ ∂y ⎭⎩ ∂y ⎭ ⎥ 0 r ⎪ ⎪ ⎦ ⎩ ⎣ ⎭
' (9-9) ⎡ ' ∂Ge (ρ , ρ )⎤ dx ' − ∫ ⎢ E z (ρ ) ⎥ Γa ∂n ⎣ ⎦ y =0 可见，剩下的问题是寻找 Ge 的表达式，使得 Ge 满足微分方程(9-3)式、索末菲
E z (ρ ) = − jk 0 Z 0 ∫∫ J z (ρ ' )Ge (ρ , ρ ' )dΩ
inc (x ) q = −2 jk 0 Z 0 H x
根据变分原理，可推导出该问题的泛函表达式 ⎧δF (E z ) = 0 (9-20) ⎨ ⎩ E z = 0 在腔体壁上 其中
4
⎡ 1 ⎛ ∂E ⎞ 2 1 ⎛ ∂E ⎞ 2 ⎤ 1 2 2 z ⎟ ⎜ − F (E z ) = ∫∫ ⎢ ⎜ z ⎟ + k ε E 0 r z ⎥ dΩ ⎜ ∂y ⎟ 2 Ω ⎢ μ r ⎝ ∂x ⎠ μ ⎥ ⎠ ⎝ r ⎣ ⎦ (9-21) ⎡1 ⎤ + ∫ ⎢ E z γ (E z ) − qE z ⎥ dΓ Γa 2 ⎣ ⎦ E 上式仅含 z 场， 这为有限元离散作好了准备。 为了离散泛函， 截面区域 Ω 被 细分成 M 个小三角形单元。相应地，线段 Γa 被分成 M s 个小段。则第 e 个单元内
∂E z (ρ ) ∂E zinc (ρ ) ∂E zref (ρ ) j ⎛ 2 ∂ 2 ⎞ (2 ) ˆ )dx' (9-14) (k0 ρ − x' x = + − ⎜ k0 + 2 ⎟ ⋅ ∫ E z ( x')H 0 ⎜ ⎟ Γ ∂y ∂y ∂y ∂x ⎠ a 2⎝ 令 y → 0 ，得到
1
1） E z 极化情形 ①边界积分公式 对于 E z 极化情形，入射波具有平行于 z 轴的电场， z 轴也就是开口的无限长 轴。因为入射场和散射体都沿 z 轴均匀，所以散射电场及总电场也平行于 z 轴。 因此，该问题可以用电场来表达，因为它只有一个分量。 因为导电面上部空间场是均匀的， 可用具有适当格林函数的边界积分来表示 场的公式。在这种情形下，电场只有 z 方向分量，它满足亥姆霍兹方程 ∇ 2 E z (ρ ) + k 02 E z (ρ ) = jk 0 Z 0 J z (ρ ) ρ ∈ Ω ∞ (9-2) 其中 Ω ∞ 表示导电面上方的区域。为了导出 E z 的积分表达式，引入格林函数 Ge ，它由索末菲辐射条件和下列控制微分方程给出：
ˆ×⎜ lim r ⎢∇ × ⎜ ⎜H ⎟ ⎟ + jk r ⎜H ⎟ ⎟⎥ = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r →∞
⎡ ⎣
⎛E⎞
⎛ E ⎞⎤ ⎦
0
(9-1)
式中， r = x2 + y2 + z2 。 通常将上式成为一般三维场的索末菲 （Sommerfeld） 辐射条件。当单独使用有限元法时，它不能直接加上索末菲辐射条件，而要求将 离散区域扩展到远离源区处才可强加辐射条件。 这是有限元法在求解开域问题时 的主要缺点，而今年也出现各种近似条件或吸收边界条件，以减小离散区域。但 是， 这些近似边界条件的精度依赖于特定的问题， 从而导致结果的精度不可预测。 从另一个方面来看， 积分方程法通过使用适当的格林函数考虑进了索末菲辐 射边界条件，这样便可以将离散区域保持到最小。然后，积分方程法对于复杂结 构难以实现，它们形成满秩矩阵，而满秩矩阵的处理需要过多的存储空间和计算 时间，对三维问题尤为如此。 为了克服积分方程法和有限元法的缺点，同时保留它们的优点，人们发展了 一种新的混合方法。 这种方法的一般原理是引入一个包围结构或非均匀目标的虚 构边界。在这个边界的内部，有限元法被用来给出场的公示，反之在外部区域， 场用边界积分表达。这两个区域中的场在虚构边界上通过场的连续性耦合起来， 以到内部和边界场场的耦合方程组。
∇ 2Ge ρ , ρ ' + k 02Ge ρ , ρ ' = −δ ρ − ρ '
用 Ge 乘以(9-2)式，并在 Ω ∞ 区域上积分，得到
(
)
(
)
(
)
ρ ' ∈ Ω ∞ (9-3)
∫∫
Ω∞
Ge ρ , ρ ' ∇ 2 E z (ρ ) + k 02 E z (ρ ) dΩ = jk 0 Z 0 ∫∫ J z (ρ )Ge ρ , ρ ' dΩ (9-4)
这种混合方法被称为有限元-边界元方法，其基本思想最早在机械工程中提出，后来由 Silvester等学者引入到电磁学中，用来解外部场或无界场问题，并进一步发展和应用于各种 二维和三维天线与散射问题中。
§9.1. 二维开口腔体的散射
在本小节中，通过将有限元-边界积分方法应用于无限大导电面上二维开口 腔体的散射问题，说明该方法的基本原理。 如下图所示，该特定结构由位于无限大导电面上的一个无限长开口组成，该 开口面下面是一个任意截面的墙体。 该墙体可用相对介电常数为 ε r 和相对磁导率 为 μ r 的非均匀介质填充。导电面上部空间是均匀的，不失一般性，假设它是自 由空间。下面我们应用有限元法给出腔体内场的公示，应用边界积分表示导电面 上的场。然后，在腔体开口处应用场连续性条件，把两个区域的场联系起来。