有限元 位移约束条件的引入
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
一维有限元法
ux =
xj − x le
u
O
x − xi ui + uj e l
ui ux uj xj x xi x
线性函数 注意：关键是 设位移函数， 在很短范围内 认为是直线。
3
返回
Ui
ui
E,A qe i le=l/3 j
Uj
uj
设单元位移函数ux为:
x u
ux= a + bx
(1-1)
式中 a，b为待定系数。 ux= ui ; x = xj ux= uj uj = a + bxj
KZ12 KZ22 KZ32 KZ42
KZ13 KZ23 KZ33 KZ43
1 2 3 4 ① ① KZ14 ⎤ ⎡k11 k12 0 0⎤1 ① ① ② ② KZ24 ⎥ ⎢k21 k22 + k22 k23 0⎥2 ⎥=⎢ ⎥ ② ② ③ ③ KZ34 ⎥ ⎢ 0 k32 k33 + k33 k34 ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ③ ③ KZ44 ⎦ ⎣ 0 0 k43 k44 ⎦ 4
e
单元① 单元② 单元③
K
①
EA = e l
⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k11 ⎢− 1 1 ⎥ = ⎢k ① ⎣ ⎦ ⎣ 21
①
1
K
②
EA ⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k 22 = e ⎢ ⎥ = ⎢ k② l ⎣ − 1 1 ⎦ ⎣ 32
②
2
① k12 ⎤ 1 k① ⎥ 2 22 ⎦
2
(1-21)
k② ⎤ 2 23 (1-22) ② ⎥ k 33 ⎦ 3
ux= a +bx
ux = ui x j − u j xi x j − xi + u j − ui x j − xi x =
结构静力分析边界条件施加方法与技巧—约束条件
在结构的静力分析中载荷与约束的施加方案对计算结果有较大的影响，甚至导致计算结果不可信，笔者在《结构设计CAE主业务流程》的博文中也提到这一点。
那么到底如何施加载荷与约束呢？归根到底要遵循一个原则——尽量还原结构在实际中的真实约束和受力情况。
本文着重介绍几种约束的施加方法与技巧，并通过具体例子来进一步说明。
1 销轴约束销轴连接在结构中是很常见的一种形式，其约束根据具体的结构形式有所不同，下面以一个走行装置为例具体介绍一下。
走行装置是连接平动轨道与上部结构的，其约束应是轨道通过车轮对走行装置的约束，但是通常对于车轮只要验证其轮压满足要求即可，因此在模型中往往将车轮简化掉，因此对于走行装置的约束就变为销轴约束。
图1 某走行装置图1 中1-10是与车轮相连接的轴孔，车轮行驶于轨道上，约束位置在10对轴孔处，如果把整个轴孔都约束则约束刚度太大，结果会导致圆孔周围应力过大，因此应简化为约束轴孔中心点，将中心点与轴孔边缘通过刚性单元连接，简化为点约束。
首先y方向（竖直向上）是应该约束的（此处假设车轮及轴为刚体），其次由于轨道与轮缘的相互作用，z方向（侧向）也应该是约束的，然后由于走行装置在向下的压力下会产生沿x方向（运行方向）的位移，因此x方向约束应放开，但是如果10对轴孔中心x方向的约束全放开则会导致约束不全无法计算，因此应在1轴孔或10轴孔中心处施加x方向的约束，这样实现全自由度约束。
2 转动轨道约束图2是一个翻车机模型，该结构通过电机驱动，托辊支撑，2个端环在轨道上转动来实现翻卸功能。
图2 翻车机由于翻车机托辊支撑端环，由电机驱动不断地翻转卸车，造成其约束位置方向不断变化，针对一个具体翻转角度，翻车机端环在与托辊接触处（线接触）应约束沿翻车机端环径向，另外，由于翻车机在荷载作用下会产生沿翻车机轴向的位移，所以两端环中要约束一个端环的轴向自由度。
3 对称面约束图3是某钢水罐模型，该模型关于y-z面对称，下面介绍一下该结构的约束处理。
有限元分析第六章
第六章 非第二章至第五章的讨论以最小势能原理为基础，要求在单元内假设的位移场（试探函数）满足协调条件（在不同的单元内可以假设不同的的位移场）。
满足协调条件的单元，它们的收敛性等问题已在第四章中做了研究。
等参数单元就是目前处理二阶问题时应用最广的一种协调单元。
此外，还有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解，这类单元称为非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进，目的在于：在计算量增加不多的情况下，使单元的实际精度有所改善。
对于四阶问题（例如板、壳），协调条件要求单元之间位移和位移的一阶导数（转角）连续。
在第七章中将会看到，实现上述协调条件不是件容易的事，而且为此要增加相当大的计算量，因而人们在自编程序中常常对非协调单元感兴趣。
本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法，非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别方法。
这些结论对四阶问题同样适用。
从关于非协调元的讨论中，读者可以看到，有限元方法有了坚实的数学基础以后，在构造方法时思路可以开阔很多。
§6-1Wilson 非协调元Wilson 非协调元可以看成是由等参数单元演变来的单元，现以二维情况为例。
１、母体单元 形函数 母体单元ê：边长为２的正方形 自然坐标：ξ、η取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4。
形函数２、实际单元 e可看成母体单元ê经变换F 得到利用上面定义的形函数，坐标的变换可写成其中（x i , y i ）为实际单元中节点的坐标。
至此，还看不出Wilson 非协调单元与上一章介绍的等参数单元之间的差别。
３、单元内假设位移场图６－１图６－２） （4~1)1)(1(41),(=++=i N i i i ηηξξηξe eF →ˆ： ∑∑====4141i i i i iiy N y x Nx )1()1(),()1()1(),(242341222141ηαξαηξηαξαηξ-+-+=-+-+=∑∑==i i ii i iv Nv u Nu (6-1-1)同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：它们有如下特性：（１） 不影响节点处的位移值，故称αl 为非节点自由度或单元的“内自由度”。
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
一维有限元法
x − xi ui + e u j l
(1-5)
Ni =
xj − x l
e
Nj =
(
)
x − xi le
(1-7) (1-6)
将(1-5)、(1-6)和(1-7)式代入杆件轴向拉压的 几何方程可得：
dux u j − ui ⎛ dNi = e =⎜ εx = ⎜ dx dx l ⎝ dN j ⎞⎛ ui ⎞ ⎛ 1 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ − e dx ⎟⎜ u j ⎟ ⎝ l ⎠⎝ ⎠ 1⎞ e e e ⎟δ = Bi Bj δ = B δ (1-8) le ⎠
uj = a + bxj u j = ui − bxi + bx j
xj − x
(1-3)
x − xi ux = ui + uj e e l l u j − ui ui x j − ui xi u j xi − ui xi ui x j − u j xi a = ui − xi = − = x j − xi x j − xi x j − xi x j − xi
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
x u
F
e
⎛U i =⎜ ⎜U j ⎝
δ
e
⎛ ui ⎞ =⎜ ⎟ ⎜u j ⎟ ⎝ ⎠
2
返回
(1)设位移函数(突出特点，在局部设，就没 那么难) E,A
Ui q e ui i le=l/3 j uj Uj x u q ⎛ x2 ⎞ ⎜ lx − ⎟ u ( x) = EA ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝
e
返回
3、整体分析 (1)节点荷载 a.等效节点荷载 指把作用在单元上的集中荷载和分布荷载按 照虚功等效原则移置到节点上的荷载。
①
E,A,l q ② 2 ql/3
有限元考试复习资料(华东交通大学)
有限元考试复习资料（含习题答案）1试说明用有限元法解题的主要步骤。
（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。
（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。
（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。
（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。
2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。
P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。
3.什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。
则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。
这种问题就称为轴对称问题。
可以用轴对称单元求解。
4.什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。
比例阻尼的特点为具有正交性。
其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。
5.何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
①优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。
由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
第2章ANSYS有限元分析典型步骤
第2章ANSYS有限元分析典型步骤ANSYS有限元分析通常包括以下典型步骤：1. 建立几何模型：首先，需要根据实际情况建立一个准确的物体几何模型。
可以使用ANSYS的建模工具，如DesignModeler或SpaceClaim 等，或者根据实际测量数据导入几何模型。
2.定义材料属性：对于每个组件或部件，需要定义其材料属性。
这包括材料的弹性模量、泊松比、密度等。
可以根据实际材料性能值，或通过实验测量获得的数据进行定义。
3. 网格划分：在进行有限元分析之前，需要将几何模型划分为离散的小单元，也就是网格。
网格的划分可以使用ANSYS的网格划分工具，如Meshing或Tetrahedron等。
网格的质量对分析结果影响很大，因此需要注意网格的尺寸和形状。
4.边界条件的定义：在有限元分析中，需要定义加载条件和边界条件。
加载条件包括模型所受到的力或压力，边界条件包括模型的约束条件。
根据实际情况，可以在加载面上应用力或压力，并在其他面上施加约束条件，如固定、自由、对称等。
5.约束和加载条件的应用：在ANSYS中，可以通过指定加载和约束条件来模拟实际问题的工作条件。
可以使用ANSYS的加载和约束工具来定义这些条件，并将其应用于相应的面或区域。
6.求解计算：在有限元分析中，需要对模型进行数值求解以获得结果。
ANSYS提供了强大的求解器，可以对各种非线性和线性问题进行求解。
可以选择适当的求解方法和参数，并启动求解计算。
7.结果分析：一旦求解过程完成，可以对分析结果进行分析和解释。
ANSYS提供了丰富的后处理工具，可以显示网格变形、应力和应变分布、位移和振动模式等相关结果。
根据需要，可以导出结果并使用其他软件进一步分析。
8.结果验证和优化：根据结果分析，可以对模型和分析设置进行验证和优化。
结果验证通常是与实验数据进行比较，以确定模型的准确性。
优化可以是调整材料属性、几何形状或边界条件等，以提高模型性能。
9.报告和展示：最后，需要编写分析报告，并通过图形和表格等方式展示分析结果。
机械设计中有限元分析的几个关键问题
机械设计中有限元分析的几个关键问题【摘要】有限元分析在机械设计中扮演着至关重要的角色，能够帮助工程师们评估和改进其设计方案。
本文将讨论有限元分析的基本原理，常见的有限元分析软件，材料特性在分析中的重要性，边界条件的设置以及模型的网格划分。
这些内容都是机械工程师在进行有限元分析时需要掌握的关键问题。
我们还将探讨有限元分析在机械设计中的应用以及未来发展，以及在面对挑战时可能带来的机遇。
通过深入理解并掌握这些关键问题，工程师们可以更好地利用有限元分析技术来提高产品的性能和质量，从而为机械设计领域的发展做出更大的贡献。
【关键词】机械设计、有限元分析、重要性、应用、软件、基本原理、材料特性、边界条件、模型、网格划分、未来发展、挑战、机遇1. 引言1.1 机械设计中有限元分析的重要性在机械设计中，有限元分析是一种非常重要的工具。
通过有限元分析，工程师们可以模拟和分析机械结构在不同工况下的应力、变形和疲劳等情况，从而优化设计方案，提高产品的性能和可靠性。
有限元分析可以帮助工程师们更好地理解机械结构的工作原理，预测和解决潜在的设计问题，提高设计效率和减少成本。
在现代机械设计中，由于产品设计复杂度和工作环境的多样性不断增加，有限元分析的重要性也日益凸显。
通过有限元分析，工程师们可以在设计阶段就对产品进行多方面的性能评估，避免在实际制造和使用过程中出现意外问题。
在激烈的市场竞争中，产品的性能和质量往往决定了企业的竞争力，而有限元分析可以帮助企业更好地把握市场需求，提升产品品质，实现可持续发展。
有限元分析在机械设计中扮演着至关重要的角色，是现代工程设计不可或缺的一部分。
通过深入研究和应用有限元分析技术，我们可以提高产品的性能和可靠性，降低设计风险，为企业创造更大的经济效益和社会价值。
1.2 有限元分析在机械设计中的应用有限元分析在机械设计中的应用非常广泛，可以帮助工程师解决各种复杂的结构力学问题。
其中包括但不限于以下几个方面：1. 结构强度分析：有限元分析可以用来评估结构的强度和刚度，帮助工程师设计出更加安全可靠的机械结构。
有限元法PPT课件
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
有限元分析过程
有限元分析过程：一，结构离散化1.选择单元类型2.单元划分；二，单元分析1.选择位移函数2.分析单元力学特性；三，整体分析1.集成整体结点载荷向量2.集成整体刚度方程3.引进边界约束条件，解总体刚度方程求出结点位移分量。
位移模式应满足下列收敛性条件：完备性 1.位移模式必须包含单元的常应变状态；2.位移模式必须包含单元的刚体位移；协调性 3.位移模式应尽可能反映位移的连续性。
单元刚度矩阵的性质：1.对称性；2.单元刚度矩阵与单元位置无关；3.奇异性。
总体刚度矩阵的性质：1.稀疏性；2.带状性；3.奇异性与对称性。
由单元刚度方程组集总纲时应满足的原则：1各单元在公共节点上协调地彼此连接，即在公共结点处具有相同的位移2结构的各节点离散出来后应满足平衡条件提高单元精度的方法:1增加结点数即提高位移模式的阶次2建立等参单元进行等参数变换等参数变换、等参数单元、等参单元具有哪些优越性？：1将局部坐标中几何形状的单元转换成总体坐标中几何形状复杂的单元且这种坐标变换和函数插值采用了相同数目的结点数参数和相同的插值函数2采用等参数变换的单元称为等参数单元3优点：可以很方便地用来离散具有复杂性体的结构。
由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，边界条件：位移边界条件和应力边界条件引进位移边界条件的方法：对角元素改一和乘大数弹性力学中求解力学位移的方法：解析法或半解析法、数值法弹性力学的基本方程：平衡方程（静力平衡关系）、几何方程（应变分量与位移间的关系）、物理方程（应力分量与应变分量之间的关系）什么叫结点力和结点载荷？两者有什么不同？为什么应保留结点力的概念？：①结点力：结点对单元的作用力。
结点载荷：包括集中力和将体力、面力按静力等效原则移植到节点形成的等效载荷，原荷载和移植后的荷载在虚位移上的虚功相等②相对于整体结构来说，节点力是内力，结点载荷是外力③节点力的概念在建立单元刚度方程的时候需要用到在薄板弯曲理论中做了哪些假设？解：①板厚方向的挤压变形可忽略不计。
有限元法基础-一维单元
最终解。
直接求解法的基本步骤
01
建立方程组
根据问题的物理模型和边界条件， 建立线性方程组。
解方程
对方程组的上三角或下三角矩阵进 行求解，得到所有节点的解。
03
02
消元法
通过消元法将方程组化为上三角或 下三角矩阵形式。
后处理
根据需要计算其他物理量或进行误 差分析等后处理工作。
对于复杂的边界条件和约束条件，可 以采用消元法逐步消除未知量，最终 得到唯一解。
06
一维单元的求解方法
求解方法的分类和选择
直接求解法
直接求解线性方程组，得到所有 节点的解。适用于节点数较少、
方程组规模较小的简单问题。
迭代求解法
通过迭代逐步逼近方程组的解，适 用于大规模复杂问题。常用的迭代 方法有Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法等。
02
一维单元的离散化
离散化的概念和步骤
离散化的概念：将连续的物理系统分割 成有限个小的、相互连接但不重叠的单 元，每个单元称为有限元。
3. 在每个单元上选择一个节点作为代表 ，并建立节点之间的相互关系。
2. 将几何形状划分为有限个单元，每个 单元具有确定的形状和尺寸。
离散化的步骤 1. 确定研究对象的几何形状和尺寸。
一维单元的划分方法
均匀划分
将一维物体均匀地划分为 若干个等长的单元，每个 单元长度相等。
非均匀划分
根据需要将一维物体划分 为长度不等或形状不同的 单元。
分段线性划分
将一维物体划分为若干个 线性变化的单元，每个单 元的长度和形状都是线性 的。
单元节点的选取与编号
节点选取
有限元基础知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
(完整word版)北京科技大学《工程中的有限元方法》-上课笔记
肯定有bug。
仅供参考。
1401052200隐式方法与显式方法：==静态隐式方法：不适用于短时高速下的大变形。
基于虚功原理，一般需要迭代（除迭代法外还有直接法）。
可能遇到迭代过程不收敛，以及方程组病态无确定解的问题。
ANSYS默认使用的方法。
动态显式方法：可用于短时、高速下的大变形。
基于动力学方程，每步计算形成新的刚度矩阵，无需迭代，不存在收敛性问题。
LS-DYDA模块（ANSYS中也包含）默认使用。
如何判断有限元的分析结果是正确的？1.有限元分析的结果能否与模型简化后存在的解析解对应；2.有限点处的计算结果与实验结果吻合；3.结果收敛；4.与实际经验吻合；……【结合书上P168】力学应力、温度热学分析提倡使用对称性，但不是所有的情况都能使用对称性，比如结构件的振动。
有限元方法：求解偏微分方程，基础为加权残值法。
求解有限元方程本质为解线性方程组。
ADD：要求所ADD的为同一种材料。
低阶单元：只有角节点，没有边中点或面内点的单元。
（目前已不使用面内点）高阶单元：不但有角节点，还有边中点或面内点的单元。
静态小变形使用高阶单元。
动态大变形使用低阶单元。
连续介质单元：求解得到位移。
结构单元：求解得到位移和转角。
求解结果的位移精度大于应力精度。
网格类型：三角形，四边形；四面体（三棱锥），五面体（三棱柱），六面体。
根据自由度关系，单元节点间存在铰接（自由度不同）和刚接（自由度相同）的关系。
连续介质单元也有一维单元（如接触关系）。
工字钢既可以使用梁单元，也可以使用连续介质单元。
对于直接法的求解效率：带宽解法：ANSYS的默认求解法；尽量减小单元内节点号差值从而减小带宽。
波阵解法：ABAQUS的默认求解法；尽量减小绕一节点所连接的单元号的差值从而减小波阵宽。
节点编号，从角节点开始，逆时针。
==使用子结构，可减少对内存的占用，但会增加时间消耗。
连续介质单元剖分后，只在节点上存在关系，公共边上位移相同，不出现重叠或分离。
虚功原理 有限元
虚功原理有限元虚功原理是力学中的一个基本原理，它是运用能量守恒原理和虚位移原理进行问题求解的一种方法。
虚功原理的应用十分广泛，特别是在有限元方法中，它是解答复杂结构力学问题的一种常用手段。
虚功原理的基本原理是：在刚体或弹性体的力学问题中，力系对于结构的作用机理可以使用能量方法来描述，即外力对物体所做的功等于内力弹性势能的变化。
在有限元方法中，虚功原理的应用可以被概括为以下几个步骤：1. 确定系统的弹性势能表达式：根据材料力学性质和结构几何形状，建立并表达出结构的弹性势能。
2. 设定虚位移场：在结构的静力平衡方程中，引入一组满足边界条件的虚位移场，并将结构的位移表示为真实位移与虚位移的叠加。
虚位移场是一个理想化的假设，它用于引导计算的进行。
3. 计算虚功：将虚位移场代入弹性势能表达式中，得到每个单元的虚功。
4. 构造系统的刚度方程：根据虚功原理，对每一个虚位移方向进行变分，得到相应的虚功。
将这些虚功累加起来，并考虑结构边界条件和约束条件，得到整个系统的刚度方程。
5. 解刚度方程：使用适当的数值方法（如矩阵求解方法）求解刚度方程组，得到结构的位移响应。
6. 计算应力和应变分布：利用位移响应，通过一定的插值方法，计算出结构各点的应力和应变分布。
有限元方法利用虚功原理的优点在于，它可以解决复杂结构的力学问题，并且可以处理非线性材料、大变形和大变位等情况。
虚功原理的运用使得有限元方法成为求解工程结构问题的一种强大工具。
需要注意的是，在使用虚功原理时，应注意选择合适的虚位移场，并保证其满足结构的边界条件和约束条件；同时，还需要进行适当的数值技巧处理，如选择合适的数值积分方法和数值求解方法，以提高计算的精确性和效率。
总结来说，虚功原理是有限元方法求解问题的基础，它通过能量守恒原理和虚位移原理，将原问题转化为求解刚度方程的问题，从而得到结构的位移响应和应力应变分布。
虚功原理在结构力学中的应用是十分重要和广泛的，它为工程问题的解答提供了有效的途径。
有限元计算的流程
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有限单元法基础
性体在各节点处的位移解。
3、单元分析---三角形单元
y
3.1 单元的结点位移和结点力向量
从离散化的网格中任取一个单元。三个结点 按反时针方向的顺序编号为：i, j, m。
结点坐标: (xi,yi) , (xj,yj) , (xm,ym) 结点位移: (ui,vi) , (uj,yj) , (um,vm) 共有6个自由度
单元位移插值函数： u(x, y) a1 a2 x a3 y
(3.1)
v(x, y) a4 a5x a6 y
插值函数的系数： a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A,
a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A,
um a1 a2 xm a3 ym , vm a4 a5 xm a6 ym ,
求解以上方程组得到以节点位移和节点坐标表示的6个参数：
a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A, a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A, a3 ciui c ju j cmum / 2 A, a6 civi c jv j cmvm / 2 A,
研究方法
从数学上讲它是微分方程边值问题(椭圆型微分方程、抛物型微分方程和双曲型微 分方程)的一种的数值解法，是一种将数学物理问题化为等价的变分问题的解法，并作 为一种通用的数值解法成为应用数学的一个重要分支。从物理上讲是将连续介质物理 场进行离散化，将无限自由度问题化为有限自由度问题的一种解方法。从固体力学上 认识，是瑞利-里兹法的推广。
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LLLLL LLLLL LLLLL LLLLL MMMMM
k1, 2 n 1 k2, 2 n 1 k3, 2 n 1 k4, 2 n 1
M
MMMMM M
MMMMM M
MMMMM M
L L L L L k2n1,2n1 L L L L L k2n,2n1
k1, 2 n k2,2n
u1
v1
k3, 2 n
还有一点值得注意的是，单 元各边的长度不要相差太大，以 免出现过大的计算误差或出现病 态矩阵。例如，图4-12所示的(a) 、(b)两种单元划分，虽然都是同 样的四个节点，但(a)的划分方式 显然要比(b)的方式好。
(a)
(b)
图4-12
三. 节点的编号
节点编号时，应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号 码差尽可能地小，以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节 省存储、提高计算效率。
平面问题的半带宽为
B =2 (d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最多为 N =2nB = 4n (d+1)
其中 d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。
例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点总数都等 于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a)是按长边进行编 号，d =7，N =488；而(b)是按短边进行编号，d =2，N =168。 显然(b)的编号方式可比(a)的编号方式节省280个存储单元。
模型。
返回
例如，图4-11(a)所示受纯弯曲的梁，其结构对于x、y轴都是几何对 称的，而所受的载荷则是对于x轴对称，对于x轴反对称。可知，梁 的应力和变形也将具有同样的对称特性，所以只需取1/4梁进行计算 即可。取分离体如图4-11(b)所示，对于其它部分结构对此分离体的 影响，可以作相应的处理，即对处于y轴对称面内各节点的x方向位 移都设置为零，而对于在x轴反对称面上的各节点的x方向位移也都 设置为零。这些条件就等价于在图4-11(b)中相应节点位置处施加约 束，图中o点y方向施加的约束是为了消除刚体位移。
下面我们来实际考察一个只有四个方程的简单例子。
由表面力引起的等效节点力 由体积力引起的等效节点力
Qe N T qtds
Pe NT ptdxdy
集中力的等效节点力计算
由于
g
g g
x y
Ni
0
Ge
N T
g
Nj 0
N
m
0
Ni Li
0
Ni gx Li gx
Ni
Ni
gy
Li
gy
0 Nj
g g
x y
节点的多少及其分布的疏密程度（即单元的大小），一般 要根据所要求的计算精度等方面来综合考虑。从计算结果的精 度上讲，当然是单元越小越好，但计算所需要的时间也要大大 增加。另外，在微机上进行有限元分析时，还要考虑计算机的 容量。因此，在保证计算精度的前提下，应力求采用较少的单 元。为了减少单元，在划分单元时，对于应力变化梯度较大的 部位单元可小一些，而在应力变化比较平缓的区域可以划分得 粗一些。
t
Lj Lj
qx qy
ds
Nm
qx
Nmqy
Lm
qx
Lmqy
体积力的等效节点力
由于
p
px py
Ni Li
Ni px
Ni
py
Li px
Li
py
Pe
N T
ptdxdy
t
N N
j j
px py
dxdy
t
Lj Lj
px py
dxdy
N
m
px
Nm py
⒈ 保持方程组为2n×2n系统，仅对[K]和{R}进行修正。 例如，若指定节点i在方向y的位移为vi ，则令[K]中的元素k2i, 2i 为1，而第2i行和第2i列的其余元素都为零。{R}中的第2i个元 素则用位移vi 的已知值代入，{R}中的其它各行元素均减去已 知节点位移的指定值和原来[K]中该行的相应列元素的乘积。
但是在编制程序时，为了避免计算机存储作大的变动，应保持方程原 有的数目不变。这时，须引入已知的节点位移。一般有两种方法：划行划 列方法及乘大数方法。
采用划行划列的方法 若结构物划分为n个节点，它的刚度矩阵为2n行2n列
Fx1
Fy1
k11
k21`
Fx 2 Fy 2
k31 k41
M M M M 0 k2n1,2 0 k2n,2
0L L L L L 0
0L L L L L 1L L L L L
k2,2n1 0
0 L L L L L k4,2n1 MM M M M M M
MM M M M M M
MM M M M M M
MM M M M M M
0 L L L L L k2n1,2n1 0 L L L L L k2n,2n1
k31u1 k32v1 k331015u2 k34v2 L L k3,2nvn 3k331015
u2 3
其他方程不变 为此我们就建立了新的方程
K F
§4-6 有限元分析的实施步骤 根据前面的讨论，现以三角形常应变单元为例来说明应
用有限元法求解弹性力学平面问题的具体步骤。
①力学模型的确定根据工程实际情况确定问题的力学模型， 并按一定比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。
y
y
R
R
R
o
o
x
R
R
(b) 返回
(a)
图4-11
二. 节点的选择及单元的划分
节点的布置是与单元的划分互相联系的。通常，集中载荷 的作用点、分布载荷强度的突变点，分布载荷与自由边界的 分界点、支承点等都应该取为节点。并且，当物体是由不同 的材料组成时，厚度不同或材料不同的部分，也应该划分为 不同的单元。
q
g
Q f Ne f * N * e
p
f * T * eT N T
j i
代入上式，得
* eT Re * eT N T g N T qtds N T ptdxdy
Re NT g N T qtds N T ptdxdy
由此可知
由集中力引起的等效节点力 Ge NT g
⑦ 求解线性方程组，得到节点位移。 ⑧ 计算应力矩阵，求得单元应力，并根据需要计算主应力和 主方向。 ⑨ 整理计算结果（后处理部分）。
为了提高有限元分析计算的效率、达到一定的精度，应该 注意以下几个方面。
一. 对称性的利用
在划分单元之前，有必要先研究一下计算对象的对称或反
对称的情况，以便确定是取整个物体，还是部分物体作为计算
移值与原来刚度矩阵该行的相应列元素的乘积。
1
Fy1 1k21 3k23
1 0 0 k22
3 Fy2 1k41 3k43
0 0 0 k42
Fx3 1k51 3k53
Fy3 1k61 3k63
M
M
M M
M
M
Fxn
k1 2n1,1
k3 2n1,3
Fyn 1k2n,1 3k2n,3 2n1
时，对取绝对值，即可得到正确的计算结果。
五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 整体刚度矩阵的奇异性可以通过考虑边界约束条件来排
除弹性体的刚体位移，以达到求解的目的。
返回
一般情况下，求解的问题的边界往往已有一点的位移约束 条件，本身已排除了刚体运动的可能性。否则的话，就必须适 当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体位移。这里介绍两 种比较简单的引入已知节点位移的方法，这两种方法都可保持 原[K]矩阵的稀疏、带状和对称等特性。
Fx3
Fy3
M
M
M M
M M
Fxn
k2n
1,1
Fyn 2n1 k2n,1
k12 k22 k32 k42 M M M M k2n1,2 k2n,2
k13 k23 k33 k43 M M M M k2n1,3 k2n,3
LLLLL LLLLL LLLLL LLLLL MMMMM
§4-5 边界条件的处理和整体刚度矩阵的修正， 计算实例
整体刚度矩阵[K]是奇异阵，必须考虑边界约束条件，排除弹性体的刚
体位移。消除了整体刚度矩阵的奇异性之后，才能从方程组 K F
中求解节点位移。 一般情况下，所考虑问题的边界往往已有一定的位移约束条件，排除
了刚体运动的可能性。否则，应当适当指定某些节点的位移值，以避免出 现刚体运动。在引用这些边界条件以后，待求节点未知量的数目和方程的 数目便可相应地减少。
第四章 平面问题的有限元分析
§4-4 等效节点力的计算
计算等效节点力
用虚功原理确定等效节点力
若三角形单元上作用有集中力g、分布力q(力/面积)和 体积力p(力/体积)，则根据静力等效原理，节点力所做的虚 功等于三种力所做的虚功。
m
* eT Re f * T g f * T qtds f * T ptdxdy
N N
j j
gx gy
Lj Lj
gx gy
0
N
m
g
x
Lm
g
x
Nm
Nm g y Lm g y
表面分布力的等效节点力
由于
q
qx qy
Ni Li
Niqx
Niqy
Liqx
Li q y
Qe
N T qtds t
N N
j qx jqy
ds
1234567
1 3 5 7 9 11 13
8 9 10 11 12 13 14 (a) 图4-13
2 4 6 8 10 12 14 (b)
四. 单元节点i、j、m的次序