有限元数值求解微分方程原理及其约束条件的处理方法xx

b
a vN f (x)dx
, yN ,vN N维离散函数空间
b
a
p(x) dyN dx
dvN dx
) q(x) yNvN
dx
b
a vN f (x)dx
, yN ,vN N维离散函数空间
N 1
y yN 2 cii (x) i0
b a
p(x)
d0 dx
d0 dx
q(x)00
dx
回顾： d (x2 dy ) xy x, y'(1) 1,y'( 2 ) 4 dx dx
上式约束条件改写后的形式为（其中p(x) x2 )
y'(1) 1
y'( 2 ) 4
p(1)y'(1) α1y(1) g1 11 α1 y(1) g1
p(2 )y'( 2 ) α2 y( 2 ) g2 4 4 α2 y( 2 ) g2
微 分 方 程 有 限 元 法 数 值 求 解 过 程 原 理
3 有限元法求解微分方程及约束条件处理
3.1 限元法思想 将解空间的区间分段，解函数在每段上用拉格
朗格插值基函数进行拟合，最后进行约束处理。
Y
· y(1.75)
·y(2)
x
1.0 1.25
1、预备知识
1.1 一般二阶线性微分方程形式
d p(x) dy q(x) y f (x) x (a,b) dx dx
p(a) p(b)
y'(a) y' (b)
a b
y(a) y(b)
ga gb
第三类约束条件
p(x) C1[a,b],q(x), f (x) C[a,b]
例1: 具体的二阶线性微分方程及约束条件改写
d (x2 dy ) xy x dx dx
y'(1) 1, y'(2) 4
• 暂不必考虑边界两点约束条件，上述定解问 题对应的等价泛函形式：
2 1
x2 yv xyv
2
dx 1 v xdx
取N
2, S2
span0 (x)
x3 3
, 1 ( x)
x5 5
4 3
x3
4x
近似解y2 (x) c00 (x) c11(x)
1、预备知识
1.2 最简积分型泛函
x1
J[ y(x)] F(x, y, y')dx x0
例2：S[ y(x)] x1 y(x)dx x0 约束条件：L x1 1 y(x)dx C（常数） x0 边界条件：y(x0 ) 0, y(x1) 0
1、预备知识
1.2 最简积分型泛函
例3： S[y(x)] 2π y x1 1 y2(x)dx x0
b a
p(x) d1 dx
d0 dx
q(
x)10
dx
b p(x) d0
a
dx
d1 dx
q(x)01 dx
c0
b
a 0
f
( x)dx
b p(x) d1
a dx
d1 dx
q(
x)11
dx
c1
b
a 1 f (x)dx
2.2泛函方程近似求解实例
• 例4：两点边值问题：
将0 (x)
x3 3
, 1 ( x)
x5 5
4 3
x3
4x, 代入
2 x2 1
d0
dx
d0
dx
x00
dx
2 x2 1
d1
dx
d0
dx
x1
0
dx
2 x2
1
d0
dx
d1
dx
x01 dx
c0
2 1
x0
dx
2 x2
1
d1
dx
d1
dx
x11
dx
c1
2
1 x1dx
计算得：
方 法
b
a
p(x)
dy dx
dv dx
)
q(x)
yv
dx
a
y(a)
b
y(b)
b
a v f (x)dx ga gb ,
y,v S连续的函数空间
2、泛函方程近似求解
2.1 近似求解思想
• 近似解思路：就是将无限维函数解空间降维处理。
•
具体说，就是构造有限N维函数空间，在每一
维函数坐标确定一个基函数i (x)，同时每个基函
b
a
p(x)
dy dx
dv dx
)
q(x)
yv
dx
a
y(a)
b
y(b)
b
a v f (x)dx ga gb ,
y,v S连续的函数空间
因为每个基函数满足约束条 件，所以连续的Galerkin变分形 式可不必考虑约束条件。
b p(x) dyN
a dx
dvN dx
)
q(
x)
y
N
vN
dx
数满足初始或边界条件。N个基函数要求线性无关，
由这N个基函数进行唯一的线性结合，作为连续泛
函方程的近似解。
•
随着N维数增加，解的子空间扩大，近似解的
精度提高。
• 如左图所示，用 4维函数空间的4个 基函数的线性组合 去近似更高维（或 无限维）的函数
N 1
y yN 4 cii (x) i0
图1 4维函数空间选取的4 个基函数
2 x2 1
d0
dx
d0
dx
x00
dx
2 x2 1
d1
dx
d0
dx
x10
dx
计算得：
2 x2
1
d0
dx
d1
dx
x01
dx
c0
2 1
x0
dx
2 x2
1
d1
dx
d1
dx
x11
dx
c1
2
1 x1dx
21.6845 15.6597
15.6597c0
20.9873
c1
-
2. 4.
60965627解得：cc10
百度文库
0.1437 - 0.3309
y2 c00 (x) c11(x) 0.0662x5 0.4891x3 1.3237x
x 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000
y2 -0.9007 - 0.9013 - 0.8373 - 0.7814 - 0.8523 y 7.6515 8.0707 8.7289 9.5469 10.4904(理论值）
有 限 元 法 数 值 求 解 微 分 方 程 过 程 原 理
d p(x) dy q(x) y f (x) x (a,b) dx dx
p(a) p(b)
y'(a) y' (b)
a b
y(a) y(b)
ga gb
第三类约束条件
伽 辽 金 变 分
p(x) C1[a,b],q(x), f (x) C[a,b]
有限元数值求解微分方程原理 及其约束条件的处理方法
课程： 计算机在材料 科学中的应用
单位：湖北工业大学 2013年2月
微课内容摘要
在讲述有限元数值求解微分方程过程原理 基础上，针对各种初值与边界约束条件，重点 提出了一种可行的处理方法。该方法简洁清晰， 易学易用，对学习理解有限元法具有启发性。 同时，这种方法具有可靠的依据，加以引申可 拓展有限元对约束条件的适定范围，其理论推 导值得深思。