有限元数值求解微分方程原理及其约束条件的处理方法xx
有限元计算原理与方法
1.有限元计算原理与方法有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体,这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上,计算在外荷载作用下各节点的位移,进而计算各单元的应力和应变。
用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。
1.1. 有限元分析的基本理论有限元单元法的基本过程如下：1.1.1.连续体的离散化首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体.单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面体单元、五西体单元和六面体单元等。
在Plaxis 3D Foundation程序中，土体和桩体主要采用包含6个高斯点的15节点二次楔形体单元，该单元由水平面为6节点的三角形单元和竖直面为四边形8节点组成的，其局部坐标下的节点和应力点分布见图3。
1，图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的8个成对节点四边形单元。
在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方,应适当将单元划分得密集些；若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束,则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。
最后,还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。
由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。
因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高.与位移不同，应力和应变是在Gauss 积分点（或应力点）而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。
1.1.2. 单元位移插值函数的选取在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移作为未知量，即{}[u ,v ,w ,...]e T i i i δ=，单元体内任一点的位移为{}[,,]Tf u v w =。
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
有限元求解方法
有限元求解方法有限元求解方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程、科学和数学领域的求解问题。
本文将介绍有限元求解方法的基本原理、步骤和应用范围。
有限元求解方法是一种数值计算方法，通过将一个连续的问题离散化成有限个子问题，然后对这些子问题进行求解，最终得到整个问题的近似解。
在有限元求解方法中，将要求解的问题分割成许多小的单元，每个单元都有一个简单的数学模型。
通过对每个单元的求解，再通过组合这些单元的解，就可以得到整个问题的解。
有限元求解方法的步骤大致可以分为以下几个部分：建立数学模型、离散化、确定边界条件、求解、后处理。
首先，需要根据实际问题建立一个数学模型，这个模型可以是一个方程、一个微分方程或者一个变分问题。
然后，将问题离散化，将连续的问题分割成有限个单元，并在每个单元上建立一个简单的数学模型。
接下来，确定边界条件，即在模型的边界上给定一些已知条件。
然后，通过求解每个单元的数学模型，得到每个单元的解。
最后，将每个单元的解组合起来，得到整个问题的解。
在得到解之后，可以进行后处理，对解进行分析和验证。
有限元求解方法广泛应用于各个领域的问题求解中。
在工程领域，有限元方法可以用于结构力学、热传导、流体力学等问题的求解。
例如，在结构力学中，可以通过有限元求解方法来计算结构的应力和位移分布，进而评估结构的强度和稳定性。
在科学领域，有限元方法可以用于物理、化学、生物等问题的求解。
例如，在地震学中，可以通过有限元求解方法来模拟地震波的传播和地壳变形。
在数学领域，有限元方法可以用于偏微分方程的数值求解。
例如，在偏微分方程的数值解法中，有限元方法是一种常用的求解方法。
有限元求解方法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地调整离散化的精度。
同时，有限元求解方法还具有较高的计算效率和数值稳定性。
然而，有限元求解方法也存在一些限制和局限性。
首先，有限元方法的求解精度受到离散化的影响，离散化越精细，求解结果越接近真实解。
第二章有限元方程的求解方法
第二章有限元方程的求解方法有限元方法是一种用于求解微分方程的数值近似方法，它将求解域（问题的区域）分割成许多小的子域，通过在每个子域上建立适当的数学模型，将微分方程转化为代数问题进行求解。
在有限元方法中，关键的一步是建立数学模型，即选择合适的试验函数空间和相应的权函数。
常用的有限元方法有有限元法和有限差分法，这两种方法都是在数学模型的基础上进行离散化处理，然后用有限元方程求解方法求解代数问题。
有限元法是一种建立在小区域上近似表示的方法，它将整个求解域分割成许多小的子域，每个子域内选取适当的试验函数来近似表示原问题的解。
这样，原问题就可以表示为求解子域上的代数问题。
有限元法的关键是选择适当的试验函数和权函数。
试验函数是用来近似表示原问题的解，而权函数则是用来衡量试验函数与原问题解之间的误差。
通常，试验函数和权函数都是在每个子域上选取的多项式函数。
有限差分法是一种将原问题的微分方程转化为代数方程的方法。
在有限差分法中，求解域被分割成格点，并在这些格点上定义函数的值。
通过使用各个格点上的函数值及其邻域的函数值，可以近似表示微分方程中的导数项。
然后，将微分方程转化为代数方程进行求解。
有限差分法的关键是选择合适的差分格式，这决定了在每个格点上求解代数方程时所使用的邻域函数值。
无论是有限元法还是有限差分法，最后都需要用数值算法求解得到的代数方程。
常用的数值算法有直接法和迭代法。
直接法是一种直接求解代数方程的方法，例如高斯消元法和LU分解法等。
迭代法是一种通过迭代求解逼近原问题解的方法，常用的迭代法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等。
在使用有限元方法求解微分方程时，步骤通常包括：建立数学模型，选择合适的试验函数和权函数；将微分方程离散化处理，得到代数方程；选择适当的数值算法求解代数方程；对得到的数值解进行后处理，例如计算导数或积分等。
在实际应用中，有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域的求解。
有限元法
于是有
u ui 1 , ui B u ,
i T i
从而（1.17）右端第一个和式为
1 n i u 2 i 1
一、有限元方法解题分析 为了说明应用有限元方法的解题步 骤，以及每一步骤中的要点，下面我们
以两点边值问题为例进行具体分析。
考虑两点边值问题
d du Lu p qu f , a x b dx dx u a 0, u ' b 0
V 从以上可以看出， h 是满足下列条件的所有 函数 uh 的集合：
(1)、uh在 a, b 上连续，且uh，uh L2 a, b ; (3)、uh a 0. (2)、uh在ei 上是次数不超过1的多项式;
1 Vh 是 H E 的一个n维子空间，称为试探函数空间 故 uh Vh 称为试探函数。
T
K u
i i
1 n T i i i u [( B )T K B ]u 2 i 1 1 u T Ku 2
其中，
K (B ) K B
i
T i 1 n
i i
K
i i 1
n
i n ai1,i 1 i i 1 ai,i1
4、有限元方程的形成
1 Vh 代替 H E ，在 Vh 上解泛函数 与Ritz法一样，以
（1.3）的极小问题。 将（1.5）代入（1.3），得
1 J uh a uh , uh f , uh 2 n 1 n = a i , j ui u j u j f , j . 2 i, j j 1
有限元法与偏微分方程的数值解法
有限元法与偏微分方程的数值解法在现代科学技术中，物理和工程问题通常涉及到方程的解析解。
然而，有很多复杂的问题，没有精确的解析解。
在这些情况下，我们可以使用数值方法来解决问题。
其中，有限元法（Finite Element Method，FEM）被广泛应用于求解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）的数值解法。
有限元法是一种数值解法，用于解决连续介质（如固体、液体和气体）的差分方程。
它通常涉及将整个计算域分成许多小区域，称为有限元。
这些有限元被视为形状简单的几何单元（如三角形、四边形、六边形等），并且为每个元素分配了未知值。
在有限元方法中，偏微分方程被转换为一个离散方程，其中未知数在局部有限元中定义。
该方法通常涉及将初始有限元网格粗略地分配到整个计算区域，以构建数值解的近似值。
我们可以使用数学方法，如高斯消元法或迭代方法，来求解这个离散的线性系统。
有限元方法在许多领域中发挥着重要作用，包括结构力学、流体力学、电磁学、信息学和生物工程等。
它可以用于求解几乎所有类型的PDE，例如：椭圆、双曲和抛物型等。
在有限元方法中，解取决于网格的精度。
对于较小的网格，精度较高，但计算时间较长；反之亦然。
因此，在选择网格时需要进行权衡。
此外，一个好的网格应该是稳定的，能够保证数值解的收敛性和精度。
一些常见的有限元方法包括：显式和隐式欧拉方法、二阶Runge-Kutta 方法和高阶方法等。
这些方法主要涉及将初始条件和边界条件应用到整个计算区域。
作为一种广泛使用的数值解法，有限元法已经成为许多计算机辅助工程计算软件的主要工具，例如有限元分析软件 ANSYS 等。
此外，计算机的性能提高了许多，使得我们能够处理更多的网格和更大的计算域。
结论有限元法是一种强大的数值解法，可用于求解广泛的物理和工程问题。
然而，对于不同的应用，有不同的适用条件和精度要求。
因此，在设计计算方案之前，需要进行仔细的分析和权衡，以确保最终的数值解具有良好的收敛性和精度。
有限元方法 求解微分方程
有限元方法求解微分方程有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解微分方程。
在本文中，我们将介绍有限元方法的基本原理和求解微分方程的步骤。
有限元方法是一种将连续问题离散化的数值方法，它将连续的物理域划分为许多小的子域，称为有限元。
这些有限元可以是简单的几何形状，如线段、三角形或四边形。
通过在这些有限元上建立适当的数学模型，我们可以得到一个离散化的方程系统。
要求解微分方程，首先需要将微分方程转化为一个变分问题。
变分问题是通过将微分方程左右两边乘以一个测试函数，然后对整个方程进行积分得到的。
通过这样的转化，我们可以将微分方程问题转化为一个变分问题，这样就可以应用有限元方法进行求解。
在有限元方法中，我们选取一个适当的有限元空间，并在每个有限元上构建一个适当的试验函数空间。
试验函数空间是由一组基函数生成的，这些基函数是在每个有限元上定义的。
通过将基函数与试验函数空间上的权函数相乘，并在整个物理域上进行积分，我们可以得到一个离散化的方程系统。
接下来，我们需要对离散化的方程系统进行求解。
通常，我们使用线性代数方法，如高斯消元法或迭代法，来解决这个离散化的方程系统。
通过求解这个方程系统，我们可以得到有限元问题的近似解。
我们需要对有限元解进行后处理。
这包括计算物理量的值和误差的估计。
通过计算物理量的值，我们可以得到微分方程问题的数值解。
通过计算误差的估计，我们可以评估数值解的精度。
有限元方法是一种常用的求解微分方程的数值方法。
通过将微分方程转化为一个变分问题，然后应用有限元方法进行离散化和求解，我们可以得到微分方程的数值解。
通过对数值解进行后处理，我们可以评估数值解的精度。
有限元方法在工程和科学计算中有广泛的应用，可以解决各种不同类型的微分方程问题。
有限元计算原理与方法
有限元计算原理与方法有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种通过将复杂的物理系统离散成有限的简单子域，并在每个子域上建立适当的解析函数，最终通过数值解法计算系统性质的方法。
它是目前工程界最常用的一种数值分析方法，适用于各种不同领域的问题求解。
有限元法的核心思想是将连续问题转化为离散问题，将复杂的物理系统划分成有限数量的简单几何单元，称为有限元。
每个有限元内只需要考虑有限自由度的变量，然后通过建立方程组，求解出系统的响应。
有限元法的优点是适用于各种复杂的几何形状和边界条件，并且可以处理非线性、动力学和多物理场等问题。
有限元法的基本步骤包括以下几个方面：1.几何建模：根据实际问题，将物体的几何形状抽象为有限的简单几何单元，如线段、三角形、四边形单元等。
2.离散化：将物体划分成有限元，并建立有限元网格。
有限元网格的划分应该足够细致，以保证对模型进行准确的描述。
3.单元及节点自由度的确定：确定每个有限元的节点，以及每个节点对应的自由度，自由度包括位移、应力、温度等。
4.建立元素刚度矩阵和载荷向量：根据单元的几何关系和物理性质，建立单元刚度矩阵和载荷向量。
单元刚度矩阵描述了单元内各个节点之间的相互作用关系，载荷向量描述了单元受到的外部力和边界条件。
5.组装：将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量。
6.施加边界条件：根据实际问题，将边界条件施加到系统方程中，通常为位移或载荷。
7.解方程：根据边界条件和施加的载荷，求解系统方程，得到节点的位移和应力等解。
8.后处理：根据求解的结果，计算出物体的各种性质，并对结果进行分析和可视化显示。
有限元法具有广泛的应用，例如结构力学、流体力学、电磁场等领域。
它的研究包括有限元离散化方法、有限元解法和计算误差分析等。
随着计算机技术的发展和计算能力的提高，有限元法在科学研究和工程实践中的应用将会更加广泛和深入。
有限元数值计算范文
有限元数值计算范文有限元数值计算是一种通过数值方法来解决实际工程问题的数学模拟技术。
它主要应用于结构力学、流体力学和热传导等领域，可以用来分析结构的强度、刚度、振动特性、热流传递以及流体流动等问题。
本文将介绍有限元数值计算的基本原理和应用。
一、有限元数值计算的基本原理：有限元数值计算的基本原理是将复杂的连续体问题分割成许多简单的几何单元，也称为有限元。
每个有限元内部的物理场量（如位移、应力、温度等）可以通过一个数学函数进行近似表示。
在有限元分析中，基本的假设是物理场的变化在每个有限元内是线性的，并且通过有限元之间的插值函数进行连接。
1.几何建模：根据实际问题的几何形状，将其建模成有限元的几何形状。
2.网格划分：将几何模型划分成许多小的有限元，构成有限元网格。
3.材料特性定义：为每个有限元指定相应的材料特性，如弹性模量、泊松比等。
4.加载和边界条件定义：确定边界条件和加载情况，如力、位移等。
5.求解方程组：根据有限元离散化的模型，建立求解方程组，例如强度方程或热传导方程等。
6.求解方程组：通过数值方法求解建立的方程组，得到物理场量的近似解。
7.结果分析和后处理：对求解结果进行分析和后处理，获得感兴趣的结果，如位移、应力、温度分布等。
二、有限元数值计算的应用：1.结构力学：有限元数值计算在结构工程中的应用非常广泛，可以用于分析结构的强度、刚度、振动特性、疲劳寿命等。
例如，有限元分析可以用来确定承受外部载荷时结构的应力和变形情况，从而评估结构的安全性。
2.流体力学：有限元数值计算在流体力学领域的应用主要包括流场分析和传热问题。
通过有限元数值计算，可以研究液体或气体在管道、河道或空气中的流动行为，从而得到流速、压力、温度等物理量的分布。
3.热传导：热传导问题是指物体内部或跨界面的热量传递过程。
有限元数值计算可以用来分析热传导问题，例如通过实验测量温度分布，确定材料的热传导系数，并进一步预测温度变化。
总之，有限元数值计算是一种重要的数学模拟技术，可以帮助工程师解决复杂的实际问题。
有限元约束处理
有限元约束处理有限元约束处理是一种常用的工程分析方法，可以用于解决各种结构、材料、流体力学等领域的问题。
本文将介绍有限元约束处理的基本原理和应用。
有限元约束处理是一种数值计算方法，通过将实际问题离散化为有限个单元，再对每个单元进行数值计算，最终得到整个系统的近似解。
在这个过程中，约束条件起着重要的作用，它们可以限制系统的自由度，使得计算结果更加准确。
在有限元约束处理中，约束条件可以分为两种：等式约束和不等式约束。
等式约束是指系统在某些位置或方向上必须保持固定，例如某些节点需要固定不动，或者某些边界需要限制位移。
不等式约束是指系统在某些条件下需要满足一定的限制，例如应力、应变或位移的上下限。
处理等式约束的方法主要有两种：直接法和间接法。
直接法是通过在单元上引入等式约束，将约束所带来的位移扣除出去，从而得到满足约束条件的位移场。
间接法则是通过在求解过程中引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为正则方程的一部分，从而得到满足约束条件的解。
处理不等式约束的方法主要有两种：投影法和罚函数法。
投影法是通过将不满足约束条件的位移投影到满足条件的空间中，从而得到满足约束条件的位移场。
罚函数法则是通过在目标函数中引入一个罚函数，使得不满足约束条件的解的目标函数值增大，从而迫使系统满足约束条件。
有限元约束处理在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在结构分析中，可以通过约束某些节点的位移来模拟固定边界条件，从而得到结构的应力和变形情况。
在材料力学中，可以通过约束材料的应变来模拟材料的强度和刚度。
在流体力学中，可以通过约束流体的速度场来模拟流体的运动和压力分布。
有限元约束处理是一种强大的工程分析方法，可以用于解决各种实际问题。
通过合理选择和处理约束条件，可以得到准确可靠的计算结果，为工程设计和优化提供科学依据。
随着计算机技术的不断进步，有限元约束处理方法将在更多领域得到应用和发展。
数值微分方程求解方法与应用
数值微分方程求解方法与应用引言：数值微分方程求解方法是现代科学和工程领域中非常重要的一部分。
它们被广泛应用于各种领域，如物理学、化学、生物学、经济学等。
本文将介绍数值微分方程求解方法的基本原理和常见应用，并对其中的一些方法进行比较和分析。
一、数值微分方程的基本原理数值微分方程是描述自然现象和工程问题的数学模型，通常由一系列的微分方程组成。
求解这些微分方程的解析解往往是困难的，因此需要借助数值方法来近似求解。
1.1 欧拉法欧拉法是最简单的数值微分方程求解方法之一。
它基于微分方程的定义，通过离散化自变量的取值来近似求解微分方程。
欧拉法的原理是根据微分方程的导数来计算下一个点的函数值，并以此递推求解整个方程。
虽然欧拉法简单易懂，但由于其线性逼近的特性，误差较大，不适用于复杂的问题。
1.2 二阶龙格-库塔法二阶龙格-库塔法是一种改进的数值微分方程求解方法。
它通过对欧拉法的改进，引入了更多的导数信息来减小误差。
二阶龙格-库塔法的基本原理是通过计算两个不同的斜率来估计下一个点的函数值，并以此递推求解整个方程。
相比欧拉法，二阶龙格-库塔法的精度更高，适用于一些中等复杂度的问题。
1.3 龙格-库塔法的改进方法除了二阶龙格-库塔法，还有更高阶的龙格-库塔法可供选择。
这些方法通过计算更多的斜率信息来进一步减小误差。
其中最著名的是四阶龙格-库塔法，它通过计算四个不同的斜率来估计下一个点的函数值。
四阶龙格-库塔法的精度非常高，适用于大多数实际问题的求解。
二、数值微分方程的应用数值微分方程求解方法在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例。
2.1 物理学中的应用物理学是数值微分方程求解方法的重要应用领域之一。
例如，在天体力学中，数值微分方程可以用来模拟行星的运动轨迹和天体碰撞的过程。
在电磁学中，数值微分方程可以用来求解电场和磁场的分布情况。
这些模拟和求解过程都离不开数值微分方程求解方法的支持。
2.2 化学中的应用化学是另一个重要的应用领域。
1偏微分方程求解--有限元法的原理(加权余量法和变分法
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余数的定义：
加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法： 即：迦数值求解方法－加权余量法
第三讲 1.偏微分方程求解－－有限元法的原
理（加权余量法和变分法）
1. 解析法 2. 应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈
的物理含义（常系数微分方程） 3. 某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解 4. 2. 数值法 5. 工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物
理含义不很清楚。任何问题总可以找到数值 解（数学方法）
3. 加权余数表达式：
3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
近似 （ ） ＝ 解 i 2 1C ix： i＝ C 1x1C 2x2 ＝ 1 dx 0
加权余量法求解流程： 1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
2/4 2.数值求解方法
1. 基本思想：
以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够接近， 就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。
2. 基本方法：
尝试函数，基 函数，形函数
1. 假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数 的线性组合来
2.
表示，线性组合的系数就是一组待定系数 C i
n
其中： Cii i1
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
n
w j[ ( C i i) q ]d w * j[( C i i) s ]d 0
椭圆型偏微分方程的有限元数值解法
椭圆型偏微分方程(Elliptic Partial Differential Equation, PDE)是用于描述在许多实际科学和工程问题中的物理特性的概念。
它是一个复杂的概念，无法直接的解决，然而有一些有限元数值(Finite Element Numerical, FEN)方法可以用来解决。
本文将简要介绍椭圆型偏微分方程的有限元数值方法。
椭圆型偏微分方程是一种二次型的偏微分方程通常用来模拟在某一空
间中时间不变的运动问题。
它经常用于研究和热传导，物理学，电磁学，有限元力学，水文学等一系列的应用领域。
椭圆型偏微分方程的有限元数值方法可以用来计算椭圆型偏微分方程
的解。
它的基本思想是将空间块状分解，然后在每个空间块内建立一
个有限元素实体来表示偏微分方程的形式，这就是所谓的有限元元素
数值方法。
在这个方法当中，每个有限元元素实体具有固定的函数，
通过它可以表达椭圆型偏微分方程中各个部分的变化特性。
有限元数值方法也可以用来计算椭圆型偏微分方程边界条件的决策。
它可以正确表达椭圆型偏微分方程的特性，从而提供更加准确的解决
方案。
有限元数值方法的优点在于，它可以根据椭圆型偏微分方程的特性进行微调，从而获得更加准确的解决方案。
总之，椭圆型偏微分方程的有限元数值方法是一种有效的解决椭圆型
偏微分方程问题的方法，它不仅能够计算出椭圆型偏微分方程的解，
而且还可以考虑到边界的任意条件，从而提供更加准确的解决方案。
它的缺点在于建立有限元元素数值方法需要花费大量的时间和精力，
而且有时也不能得到最优的解决方案。
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，用于求解边界值问题和偏微分方程。
它将连续的物理问题离散化为有限数量的小区域，通过对每个小区域进行数学建模和计算，最终得到整个问题的近似解。
有限元法在工程、物理学、地质学、生物学等领域都有着广泛的应用。
有限元法的基本原理可以分为以下几个步骤，建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程、后处理。
下面将逐一介绍这些步骤。
首先，建立数学模型。
将实际问题抽象为数学模型是使用有限元法的第一步。
这需要对问题进行合理的假设和简化，以便将其表达为数学形式。
例如，对于结构力学问题，可以假设材料是均匀、各向同性的，结构是线性弹性的。
然后，将问题的几何形状、材料性质、边界条件等信息输入模型中。
其次，离散化。
将连续的问题划分为有限数量的小区域，即有限元。
这需要选择合适的离散化方法和网格划分技术，以确保模型的准确性和计算效率。
通常情况下，问题的复杂性会决定有限元的数量和类型。
然后，建立方程。
利用变分原理或最小势能原理，可以得到问题的弱形式，再通过有限元离散化，得到线性方程组。
这些方程通常是大型、稀疏的，需要采用合适的数值方法进行求解，如直接法、迭代法等。
接着，求解方程。
通过数值计算方法，求解得到方程组的近似解。
在这一步中，需要考虑数值稳定性、收敛性和计算精度等问题，以确保结果的可靠性。
最后，进行后处理。
对求解得到的数值结果进行分析和解释，得出对实际问题有意义的结论。
这包括计算应力、应变、位移等物理量，评估结构的安全性和稳定性，优化设计等。
总之，有限元法是一种强大的数值分析工具，可以有效地解决各种工程和科学问题。
通过建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程和后处理，可以得到问题的近似解，并为实际工程和科学研究提供有力的支持。
有限元 求微分方程 的数值解
有限元求微分方程的数值解有限元法是一种常用的数值方法，用于求解微分方程的数值解。
它是一种离散化方法，将连续的微分方程转化为离散的代数方程，通过求解代数方程得到微分方程的数值解。
有限元法的核心思想是将求解区域（包括空间和时间）划分为一些小的子区域，称为有限元。
在每个有限元内，微分方程的解可以用一些简单的函数来近似表示，称为形函数。
这些形函数通常选取为多项式形式，在每个有限元内部是连续的，在有限元之间是不连续的。
通过将微分方程应用到每个有限元上，可以得到关于形函数和它们的系数的代数方程。
在求解过程中，首先需要选择合适的有限元网格。
通常，划分越细，解的精度越高，但计算量也越大。
然后，需要选择适当的形函数，并确定它们的系数。
形函数的选择对于解的精度和稳定性有很大的影响。
常用的形函数包括线性形函数、二次形函数等。
在确定形函数后，可以将微分方程转化为代数方程，即离散化方程。
这通常涉及到对微分算子的近似。
求解代数方程可以使用各种方法。
常用的方法包括直接法（如高斯消元法）和迭代法（如Jacobi法和Gauss-Seidel法）。
选择合适的求解方法对于得到稳定和高精度的数值解非常重要。
有限元法在求解微分方程中具有广泛的应用。
它可以用于求解各种类型的微分方程，包括常微分方程和偏微分方程。
它在结构力学、流体力学、电磁学等领域都有应用。
在工程中，有限元分析在设计和优化中发挥着重要的作用。
然而，有限元法也有它的局限性。
首先，选择合适的有限元网格和形函数是一项具有挑战性的任务。
不合适的选择会导致数值解的不准确或不稳定。
其次，有限元法通常需要较大的计算资源和时间。
随着问题规模的增加，计算量呈指数增长。
此外，有限元法只能得到离散的数值解，无法得到连续的解析解。
综上所述，有限元法是一种强大的数值方法，用于求解微分方程的数值解。
它通过将微分方程离散化，将连续的问题转化为离散的代数问题，并使用适当的求解方法得到数值解。
然而，有限元法也有其局限性，需要正确选择有限元网格和形函数，并付出较大的计算成本。
有限元方法基本原理
有限元方法基本原理有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。
它最早由Courant、Bubnov和Galerkin等人在20世纪50年代提出，并在以后的几十年中得到了广泛的发展和应用。
有限元方法的基本原理是将要求解的区域分割成若干个小的子区域，通常称为有限元，每个有限元内部的物理量可以用一个简单的数学表达式来表示。
然后，通过在有限元之间建立连续性条件，将整个问题转化为一组代数方程，进而得到数值解。
有限元方法的基本步骤包括：建立有限元模型、离散化、建立代数方程、求解代数方程和后处理。
下面将详细介绍每个步骤的具体内容。
第一步，建立有限元模型。
该步骤主要是对要求解的问题进行数学建模，包括选择适当的坐标系、定义物理量和约束条件等。
通常，物理问题可以通过连续介质假设，将其离散化为一组小的有限元。
第二步，离散化。
将要求解的区域划分为有限个小的子区域，通常称为有限元。
常见的有限元形状包括三角形、四边形和六面体等。
有限元的选择通常是根据问题的几何形状和物理条件来确定的。
第三步，建立代数方程。
有限元方法的核心是建立代数方程，用于描述物理问题在离散点上的数值解。
代数方程通常是通过施加适当的数学形式和边界条件来建立的。
建立代数方程的基本思想是使用一组试验函数来近似描述有限元内部的解。
通常采用Galerkin方法，即在离散点上进行加权残差积分，使得残差的加权平均为零。
第四步，求解代数方程。
一旦代数方程建立完成，就可以使用数值方法求解这组代数方程。
常见的求解方法包括直接法和迭代法等。
直接法适用于方程较小的情况，而迭代法适用于方程较大的情况。
常见的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共轭梯度法等。
第五步，后处理。
求解代数方程后，需要对结果进行后处理和分析。
后处理包括计算和显示物理量、绘制图形以及进行误差估计等。
通过后处理，可以对模型进行验证，并对结果进行解释和解释。
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
微分方程的有限元法
微分方程的有限元法 有限元法：),({)()(0)()(22b a x x f x u dx ud b u a u ∈=+==。
空间介绍：1、索波列夫空间（sobolve ）})(|)({)(22⎰∞<=Ωbadx x f x f L2、内积：⎰=badx x g x f g f )()(),(00范数：2/10),(||||f f f =3、)}()(),()(|)({)(2'21Ω∈Ω∈=ΩL x f L x f x f H)(H g(x)(x),1Ω∈∀f Let 2/1101),(||||)','(),(),(f f f g f g f g f =+=4、}0)()(),()(|)({)(110==Ω∈=Ωb f a f H x f x f H有限元法：)()()(''x f x u x u =+)()()()()()(''x v x f x v x u x v x u =+⎰⎰⎰=+b ab abadx x v x f dx x v x u dx x v x u )()()()()()(''dx x v x f dx x v x u dx x v x u x v x u b abab ab a⎰⎰⎰=+-)()()()()(')('|)()('若有)(~10Ω∈H u ，)()(10Ω∈∀H x v ⎰⎰⎰=+-b ab abab a dx x v x f dx x v u dx x v u x v x u )()()(~)(''~|)()('~又因为，)()(==b v a v ，所以上式为，⎰⎰⎰=+-bab abadx x v x f dx x v x u dx x v x u )()()()('~)(')('~ 000),(),~()'~,'~(v f v u v u =+-差分法求解：M a b h -=,M M x x x x x x x x ),(,),(),(,1210-b x a x M ==,0∑-==11)()(~M i i i x x u x u有ij j i i x h t s x h δ=)(.)( 1,,2,1,-=M j i⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=++--0,,)(1111i i i ii i i x x x hx x x x x h x x x h∑∑---===1111)()(~)(~)(~~M i M i ii i i x h x u x h u x u 有⎰∑⎰∑⎰-=-==+b aM i b aM i baj jii jiidx x h x f dx x h x h u dx h x h u 1111)()()()(')(')()(x h x v j = ⎰∑⎰∑⎰-=-==⋅+⋅b aM i b aM i baj ijii jidx x h x f u dx x h x h u dx h x h 1111)()()()(')('上式就可写成：AU+BU=F所以有：TM TM f f f F u u u U ),,,(),(1211,2,1--==dx x h x h b B dxx h x h a A j bai ij j bai ij )(')(')(')('⎰⎰====},,{1,1,,+-=i i i i i i ij a a a ahdx dx dxx h x h a ii i ix x x x ba j i i i 2)1(1)(')('1122,=-+==⎰⎰⎰-+⎰--=⋅-=-ii x x i i h dx a 1111,h a i i -=+1,dxx h x h b baj i ij ⎰=)()( j=i-1,i,i+1h h h h x x x x h dx hx x dx h x x dx x h x h b i i i i i i ii x x i x x i x x ii x x i i ba i i i 32)3131(1]|)(31|)(31[1)()()()(33231312221221,1111=+=---=-+-==+---+-+-⎰⎰⎰h x x x x x x x h dx x x x x x x h dx hx x x x dxh xx h x x b ii ii i i ii x x i i i i x x i i i i x x i i i x x i i i 61|])(2131[1))((1))((11111213211222111,=++--=-++-=--=-⋅-=-----------⎰⎰⎰h b i i 611,=+由上可得：A ，B 都是对三角矩正 下用数学归纳法证A 是正定的： （1）A 的第一个顺序主子式是大于0的 （2）假设A 的第k 个顺序主子式是大于0的 （3）现证第k+1个顺序主子式也是大于0的 现用1,+k k A A 分别表示A 的第k ，k+1个顺序主子式 所以有;1+k A =0212>+-k k A h hA ,所以A 是正定的由上我们可得二阶微分方程的数值解为∑-==11)()(M i i i N x h u x u ，现令精确解为)(x u *，则h x u x u dxu u u u M i i i N ba N N 21120))()(()(∑⎰-=*-≈*-=*-|)(*)(|max 11x u x u u u i N M i N -=*--≤≤∞。
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课程： 计算机在材料 科学中的应用
单位：湖北工业大学 2013年2月
微课内容摘要
在讲述有限元数值求解微分方程过程原理 基础上，针对各种初值与边界约束条件，重点 提出了一种可行的处理方法。该方法简洁清晰， 易学易用，对学习理解有限元法具有启发性。 同时，这种方法具有可靠的依据，加以引申可 拓展有限元对约束条件的适定范围，其理论推 导值得深思。
方 法
b
a
p(x)
dy dx
dv dx
)
q(x)
yv
dx
a
y(a)
b
y(b)
b
a v f (x)dx ga gb ,
y,v S连续的函数空间
2、泛函方程近似求解
2.1 近似求解思想
• 近似解思路：就是将无限维函数解空间降维处理。
•
具体说，就是构造有限N维函数空间，在每一
维函数坐标确定一个基函数i (x)，同时每个基函
b
a vN f (x)dx
, yN ,vN N维离散函数空间
b
a
p(x) dyN dx
dvN dx
) q(x) yNvN
dx
b
a vN f (x)dx
, yN ,vN N维离散函数空间
N 1
y yN 2 cii (x) i0
b a
p(x)
d0 dx
d0 dx
q(x)00
dx
将0 (x)
x3 3
, 1 ( x)
x5 5
4 3
x3
4x, 代入
2 x2 1
d0
dx
d0
dx
x00
dx
2 x2 1
d1
dx
d0
dx
x1
0
dx
2 x2
1
d0
dx
d1
dx
x01 dx
c0
2 1
x0
dx
2 x2
1
d1
dx
d1
dx
x11
dx
c1
2
1 x1dx
计算得：
微 分 方 程 有 限 元 法 数 值 求 解 过 程 原 理
3 有限元法求解微分方程及约束条件处理
3.1 限元法思想 将解空间的区间分段，解函数在每段上用拉格
朗格插值基函数进行拟合，最后进行约束处理。
Y
· y(1.75)
·y(2)
x
1.0 1.25
1、预备知识
1.1 一般二阶线性微分方程形式
d p(x) dy q(x) y f (x) x (a,b) dx dx
p(a) p(b)
y'(a) y' (b)
a b
y(a) y件
p(x) C1[a,b],q(x), f (x) C[a,b]
例1: 具体的二阶线性微分方程及约束条件改写
d (x2 dy ) xy x dx dx
y'(1) 1, y'(2) 4
• 暂不必考虑边界两点约束条件，上述定解问 题对应的等价泛函形式：
2 1
x2 yv xyv
2
dx 1 v xdx
取N
2, S2
span0 (x)
x3 3
, 1 ( x)
x5 5
4 3
x3
4x
近似解y2 (x) c00 (x) c11(x)
b a
p(x) d1 dx
d0 dx
q(
x)10
dx
b p(x) d0
a
dx
d1 dx
q(x)01 dx
c0
b
a 0
f
( x)dx
b p(x) d1
a dx
d1 dx
q(
x)11
dx
c1
b
a 1 f (x)dx
2.2泛函方程近似求解实例
• 例4：两点边值问题：
1、预备知识
1.2 最简积分型泛函
x1
J[ y(x)] F(x, y, y')dx x0
例2：S[ y(x)] x1 y(x)dx x0 约束条件：L x1 1 y(x)dx C（常数） x0 边界条件：y(x0 ) 0, y(x1) 0
1、预备知识
1.2 最简积分型泛函
例3： S[y(x)] 2π y x1 1 y2(x)dx x0
回顾： d (x2 dy ) xy x, y'(1) 1,y'( 2 ) 4 dx dx
上式约束条件改写后的形式为（其中p(x) x2 )
y'(1) 1
y'( 2 ) 4
p(1)y'(1) α1y(1) g1 11 α1 y(1) g1
p(2 )y'( 2 ) α2 y( 2 ) g2 4 4 α2 y( 2 ) g2
数满足初始或边界条件。N个基函数要求线性无关，
由这N个基函数进行唯一的线性结合，作为连续泛
函方程的近似解。
•
随着N维数增加，解的子空间扩大，近似解的
精度提高。
• 如左图所示，用 4维函数空间的4个 基函数的线性组合 去近似更高维（或 无限维）的函数
N 1
y yN 4 cii (x) i0
图1 4维函数空间选取的4 个基函数
有 限 元 法 数 值 求 解 微 分 方 程 过 程 原 理
d p(x) dy q(x) y f (x) x (a,b) dx dx
p(a) p(b)
y'(a) y' (b)
a b
y(a) y(b)
ga gb
第三类约束条件
伽 辽 金 变 分
p(x) C1[a,b],q(x), f (x) C[a,b]
b
a
p(x)
dy dx
dv dx
)
q(x)
yv
dx
a
y(a)
b
y(b)
b
a v f (x)dx ga gb ,
y,v S连续的函数空间
因为每个基函数满足约束条 件，所以连续的Galerkin变分形 式可不必考虑约束条件。
b p(x) dyN
a dx
dvN dx
)
q(
x)
y
N
vN
dx
c1
-
2. 4.
60965627解得：cc10
0.1437 - 0.3309
y2 c00 (x) c11(x) 0.0662x5 0.4891x3 1.3237x
x 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000
y2 -0.9007 - 0.9013 - 0.8373 - 0.7814 - 0.8523 y 7.6515 8.0707 8.7289 9.5469 10.4904(理论值）
2 x2 1
d0
dx
d0
dx
x00
dx
2 x2 1
d1
dx
d0
dx
x10
dx
计算得：
2 x2
1
d0
dx
d1
dx
x01
dx
c0
2 1
x0
dx
2 x2
1
d1
dx
d1
dx
x11
dx
c1
2
1 x1dx
21.6845 15.6597
15.6597c0
20.9873