中考复习：方案设计问题的解题和训练

方案设计问题的解题与训练

方案设计问题是近年中考中一个比较稳定的题型．这类题型的主要特点是：知识综合性强，思想方法灵活，密切联系生活，注重人文背景．通过解题既培养同学们信息提炼能力，知识应用能力，更重要的是锻炼同学们解决问题的能力，真正将书本知识回归生活，培养了同学们用数学的能力．下面就向同学们展播一下方案设计问题，请同学们欣赏！

展播一：改善宜居环境，选方案绿化，美化特定区域 例1 在“五个重庆”建设中,为了提高市民的宜居环境,某区规划修建一个文化广场(平面图形如图１所示),其中四边形ABCD 是矩形,分别以AB 、BC 、CD 、DA 边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米,高矩形的边长AB=y 米,BC=x 米.(注:取π=3.14)

(1)试用含x 的代数式表示；

(2)现计划在矩形ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；

①设该工程的总造价为W 元，求W 关于x 的函数关系式；

②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？

③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC 的长不超过AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能还完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．

分析：解答时，要正确理解周长的意义，才能给出正确的表示；其次，就是将问题转化成不等式模型，一元二次方程的模型这是解题的一个核心环节．体现了数学中的不等式的思想，方程的思想和配方的思想．

解：（１）广场的周长是四段弧组成，而这四段弧恰好是直径为ＡＢ的圆的周长和直径为ＢＣ的圆的周长，因为AB=y,BC=x ，所以πｘ+πｙ＝６２８.因为π＝３.１４，所以３.１４ｘ+３.１４ｙ＝６２８，所以ｘ+ｙ＝２００，所以ｙ＝２００－ｘ；

（２）

①矩形的面积为ｘｙ，圆ＡＢ的面积为π×2)2(y ，圆ＢＣ的面积为π×2)2(x ，

所以W ＝４２８ｘｙ+４００×π×2)2(y

+４００×π×2

)2(x

＝４２８ｘｙ+４００×π×2)2200(

x -+４００×π×2)2

(x ＝４２８ｘ×（２００－ｘ）+４００×３.１４×2)2200(x -+４００×３.１４×2)2(x ＝２００2x －４００００ｘ+１２５６００００； 即ｗ＝２００2

x －４００００ｘ+１２５６００００；

②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务，其理由如下：

由①知 W=2002)

100

(-

x+1.056×7

10＞7

10, 所以不能；

③由题意得 x≤

3

2

y, 即x≤

3

2

(200-x)，解得：x≤80，所以0≤x≤80.

又根据题意得： W=2002)

100

(-

x+1.056×7

10=7

10+6.842×5

10，整理得2)

100

(-

x=441，解之得121

,

79

2

1

=

=x

x（舍去，请你写出理由），所以只能取x=79，则y=200-79=121，所以设计的方案是： AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆．

展播二土特产走进农产品博览会，选方案节约运费

例２我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会．现有A型、B型、C型三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满．根据下表信息，解答问题．

（１）设A型汽车安排ｘ辆，B 型汽车安排ｙ辆，求ｙ与ｘ之间的函数关系式．

（２）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案．（３）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费．

分析：看懂图表所展示的信息，从中综合处理所得到的信息，建立起正确的等式，或者是不等式组，是解题的关键所在，注意当问题用来揭示生活实际意义时，一定要保证生活意义的成立，在这里暗含的一个条件就是车辆数必须是整数．

这里的两个重要等式是：Ａ型车辆数+Ｂ型车辆数+Ｃ型车辆数＝２１，Ａ型车辆载重量+Ｂ型车辆载重量+Ｃ型车辆载重量＝１２０.

含的数学思想是方程的思想，不等式思想和函数的思想，特别是利用一次函数的性质确定最值，是方案设计问题中经常用到的知识点，一定要重视，并灵活运用．

解：⑴因为A型汽车安排ｘ辆，一辆车装载苦荞茶２吨，青花椒２吨，所以ｘ辆车装苦荞茶２ｘ吨，青花椒２ｘ吨，B 型汽车安排ｙ辆，一辆车装载苦荞茶４吨，野生蘑菇２吨，所以ｙ辆车装载苦荞茶４ｙ吨，野生蘑菇２ｙ吨，Ｃ种车的数量为（２１－ｘ－ｙ），一辆车装载青花椒１吨，野生蘑菇６吨，所以（２１－ｘ－ｙ）辆车装载青花椒（２１－ｘ－ｙ）吨，野生蘑菇６（２１－ｘ－ｙ）吨，所以４ｘ+６ｙ+７（２１－ｘ－ｙ）＝１２０.整理得：

ｙ＝－３ｘ+２７；

（２）根据题意，得：

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

-

-

≥

≥

4

21

4

4

y

x

y

x

，得

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

+

-

-

-

≥

+

-

≥

4

)

27

3

(

21

4

27

3

4

x

x

x

x

，