09虚功原理和结构的位移计算--习题

9.8~9.9 求图示桁架结点C的竖向位移（弹性模量E＝
2.1×108kPa）。 C
9.8 各杆截面相等，
A＝30cm2。
A
B
2m 2m
5m
【解】
A 20
10
A
1
0.5
10kN
3m
3m
C
20
10 NP (kN)
C
1
1
N
10kN 5m
20 10
1
CV
NNPl EA
B
10
(0.5 5)(10 2.11011
3 8 22
1
qa2 1
a 1 )
2
43
11qa3
()
48EI
9.28 求图示刚架因温度改变引起的D点的水平位移。已知各 杆由18号工字钢制成，截面高度h=18cm，＝0.00001(1/ºC)。
0
0
B
C
NP (kN)
(0.5 5)(10 5 103) 2.5 5
2.11011 50104
1.33104 m 0.133mm()
9.10 求图示桁架结点C的水平位移，各杆EA相等。
PC
D
1 C -1
D
0
-P
a
0
-1
A
B
a
【解】
P C -P
D
A
B
NP
A
B
N
CH
NNPl EA
(1)(P) a 2 2 2P 2a EA
B
DA
C
M (m)
0.75
9.24 求图示刚架C点的水平位移。
Fra Baidu bibliotek
C
D
I2
1
C
I1
I1
A
B
A
4a / 3
a a
D
B
M
q a
【解】
1/2 1/2 C
1
1 D
A
B
MP
(qa2 )
CH
M MP dx EI
1 () EI A yC
1 1 a qa2 a 2
EI1 2
3
qa4 () 3EI1
(2 2 2)Pa () EA
9.21 求D点的挠度，EI＝常数。
P
A
D
B
C
l/3
l/2
l/2
【解】
P
A
DC
B
Pl/6 Pl/4 MP
1
A DC
B
2l/9 l/6 M
DV
M MP dx EI
1 () EI A yC
1 1 l Pl 2l 2 [
EI 2 3 6 9 3
1 l Pl ( 2l 2 l 1) 26 6 9 3 6 3
本章小结
本章主要讨论应用虚功原理计算静定结构的位移。位移计算
一方面是计算结构位移的需要，另一方面又为超静定结构的内
力计算做准备。
（1）虚功原理是力学中的基本原理。虚功和虚功方程的特点是
力系与位移无关。所以，在有一组给定的力系时，可以虚设一位
移状态，求未知的约束力；在有一组给定的变形时，可以虚设一
力系状态，求未知的位移。
5 103) 30 104
8
5
1 20103 16 2.11011 30104
B 1.22103m 1.22mm()
0.5
9.9 各杆截面面积分别注于杆边，单位为cm2。
20kN
(20) (20)
5m
1 0
A
(35)
(35)
B
C
5m
5m
A
1
1
B
C1
N
【解】
20
CV
NNPl EA
0 10
A
1
l
Pl
2l (
1
l
2 )
26 4 9 3 6 3
1 l Pl l 2] 22 4 63
23Pl 3
()
1296EI
9.22 求C点的挠度。已知P＝9kN，q＝15kN/m，梁为18号工字
钢，I＝1660cm4，h＝18cm，E＝2.1×108kPa。
P
q
A
D
C
0.9m 1.5m 1.5m
一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆件同一边 时，乘积为正，反之为负。
（8）互等定理是另一基本原理。应理解位移互等定理及反力互 等定理在各种不同变形条件下的意义及应用。位移互等定理可 应用于静定结构和超静定结构；而反力互等定理在超静定结构 中才有用。
课外作业 P160 － P163 第一次 9.9 、9.10 第二次 9.21 、9.24 第三次 9.22 、 9.25 第四次 9.28 、 9.30 、9.31
（2）位移计算的方法是单位荷载法。单位荷载法计算位移的基
本公式是
K (Nd Qd Md ) Rkck
(N Q 0 M )ds Rkck
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为
NP EA
0
k
QP GA
MP
EI
KP
(N Q 0 M )ds Rkck
温度作用引起的位移计算公式
t0
0 0
t h
M
t h
ds
Nt0ds
t h
Mds
t0
Nds
t h
A M
t0
A N
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算公式
为
Rkck；关键是正确计算作功的支座反力。
（7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功的正
负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位移方向
9.25 求图示三铰刚架E点的水平位移和截面B的转角，设各
杆EI＝常数。
【解】
D
C
E
1/2 C
1/2 1/2
1
1/2
q a
A
B
a
a
M1
A
(a)
B
D 1/4 C
1/4
(1/
8)
A
1/4
MP
(qa2 )
1/4 1/4
B
DH
M MP dx EI
(
)
1 EI
A
y
C
1 1 qa2 a 2 ( a 4
EI 2 4 2 3
2 qa2 a 1 a )
3 8 22
3qa 4
()
16EI
q a
D
C
A a
D 1/4 C
1/4
(1/
8)
A
1/4
MP
(qa2 )
E
B a
1/4 1/4
B
D 1/2 C 1/2
1/2 1/2
E
A
M2
B
1
1
B
1 EI
1 1 qa2 ( a 2 24
2 4
3
2 qa2 1 1 a
位移计算公式
( NNP k QQP M M P )ds EA GA EI
（这里有两套内力状态 ：一套是产生实际应变的荷载作用的内
力，另一套是虚设力系的内力。）
各种不同结构有位移计算的简化公式。
（4）计算荷载作用下梁和刚架的位移时，可应用图乘法代替积
分计算。注意图乘的分段和叠加的技巧。
（5）温度作用引起的位移计算、应变表达式为
9 虚功原理和结构的位移计算（7 课时）
9.1 位移计算概述 9.2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
【解】 B
CV
M MP dx EI
1 () EI A yC
8.1
(16.875)
B
DA
C
1 ( 2 1.516.875 0.75 5 2
EI 3
8
1 3 0.75 8.1 1 )
2
2
M(PkN·m)
12.825
11.26
11.26
EI 2.1108 1660 108
1
3.2310-3 m 3.23mm()