高中数学 1.1.1命题 新人教A版选修2-1

式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p， 则q”的形式．解决这类题目的关键是找准命题的条件
目 链 接
和结论，对于个别问题还要注意大前提的写法．若条
件和结论比较隐含，要补充完整．
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►变式训练
3．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其 真假．
(1)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
1．1.1 命 题
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栏 目 链 接
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1．理解命题的概念，掌握命题的构成． 2．能判断命题的真假． 3．能够把命题化为“若p，则q”的形式．
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栏
研
题
型
学
习பைடு நூலகம்
法目 链
接
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题型一 命题的概念
例1 下列语句：
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
②一个数的算术平方根一定是非负数；
栏
目
③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；
(1)若a⊥b，则a·b＝0；
(2)是无限循环小数；
(3)三角形的三条中线交于一点；
栏
目
(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)；
链
接
(5)非典型肺炎是怎样传播的？
答案：(1)是 (2)是 (3)是 (4)是 (5)不是
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题型二 真假命题的判断
例2 已知a、b是两个实数，试判断下列命题的真假：
栏
(1)如果a、b是正实数且a2＞b2，那么a＞b；
(3)取a＝－3，b＝2，有a2＞b2，但a＜b.于是，命题(3)是 假命题．
栏 目 链
规律方法：判断命题真假的策略：
接
(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有 事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或 根据已知的正确结论推证；
(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．
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题．
栏
(2)不是命题，它是祈使句．
目
链
(3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．
接
(4)是命题，能判断真假，它是一个真命题．
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题型三 命题的结构
例3 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断命 题的真假．
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
栏
目
(2)菱形的对角线相等且互相平分．
链
解析：(1)此命题可改写为：“若一个多边形是正n边 接
(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除；
栏
(3)当m＞时，mx2－x＋1＝0无实根．
目
链
接
解析：(1)此命题可改写为：“已知x、y为正整数，若y＝
x＋1时，则y＝3，x＝2”．是假命题．
(2)此命题可改写为：“若一个整数的末位数字是0或5， 那么这个整数能被5整除”．是真命题．
(3)此命题可改写为：“若m＞，则mx2－x＋1＝0无实 根”．是真命题．
答案：②③⑤
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规律方法：判断一个语句是否是命题的步骤：
第一步：语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有
可能是命题，而疑问句、祈使句、感叹句等都不是 栏
命题．
目
第二步：该语句能否判断真假，语句叙述的内容是
链 接
否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，
内容应是明确的，不能模棱两可．
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►变式训练
1．判断下列语句是否为命题．
►变式训练
2．判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假 命题．
(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递 栏
增数列；
目
链
(2)求证：若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；
接
(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)当x＝4时，2x＋1＞0.
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解析：(1)是命题，因为当等比数列的首项a1<0，公 比q>1时，该数列为递减数列，所以是一个假命
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析疑难
提
能
力栏 目 链
接
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链
接
④x＋y＞0；
⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．其 中是命题的是________(填序号)．
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解析：①不是命题，因为它不是陈述句；
②是命题，是假命题，因为负数没有平方根；
栏
③是命题，是假命题，如－ 3＋ 3＝0，0 不是无理数；
目
链
④不是命题，因为不能判断真假；
接
⑤是命题，是假命题，直线 l 与平面 α 可以相交．
形，则这个正n边形的n个内角全相等”．此命题是真
命题．
(2)命题“菱形的对角线相等且互相平分”，改写为： “若一个四边形是菱形，则它的对角线相等且互相平 分”．此为假命题．
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规律方法：数学中，“若p，则q”这种形式是命题的
结构形式，这里p叫做命题的条件，q叫做命题的结
论．但有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形 栏
目
链
(2)如果a、b是负实数且a2＞b2，那么a＞b；
接
(3)如果a、b是任意实数且a2＞b2，那么a＞b.
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解析：(1)∵a2＞b2，∴a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0.
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0.
因此，a－b＞0，即a＞b.于是，命题(1)是真命题．
(2)取a＝－5，b＝－2，有a2＞b2，但a＜b.于是，命题(2) 是假命题．