第十六讲义章二次函数单元复习课件
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《二次函数》课件
一二
元次
二函
次数
方与
程
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐
标即一元二次方程ax2+bx+c =0的根
抛物线
与x轴
的公共
点情况
有两个公共点⇔∆> 0
有一个公共点⇔∆= 0
没有公共点⇔∆< 0
利用图象法求一元二次方程的根
抛物线
拓 与直线
展 的公共
点个数
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标
羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x
=-2(x-10)2+200(0＜x＜20).
∴当x=10时，S有最大值，此时S=200.
∵200＞187.5，∴张大伯的设计不合理.
应当设计羊圈与墙垂直的两边长为10 m，
与墙平行的一边长为20m.
3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个
2
2
1 2 1
3 2
2
x - (2x-30) = − x +60x-450.
2
2
2
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作
DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F
处，DF交BC于点G.
(3) 当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
(1) 请你求出矩形羊圈的面积；
解：(1)由题意，得羊圈的长为25 m，
宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
二次函数复习ppt课件
点坐标是（1/2，1） ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n 开口向下，顶点在第四象限，则 a ＜刀
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
二次函数知识点总结ppt
二次函数知识点总结ppt一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的平移二次函数的图像可以通过平移来变换位置，如上下平移、左右平移等。
6. 二次函数的零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，其坐标为(x1, 0)和(x2, 0)，其中x1和x2分别是二次方程ax^2+bx+c=0的根。
二、性质及相关概念1. 二次函数的坐标二次函数的坐标为(x, y)，其中x为自变量，y为因变量。
2. 二次函数的定义域二次函数的定义域为实数集R。
3. 二次函数的值域二次函数的值域取决于抛物线开口方向和顶点坐标。
4. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
5. 二次函数的判别式二次函数的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ<0时，二次函数无实根。
6. 二次函数的性质（1）a的正负决定抛物线开口方向和抛物线的最值；（2）a的绝对值大小决定抛物线的开口程度；（3）b决定了抛物线的位置；（4）c决定了抛物线与y轴的交点。
三、二次函数的图像及相关变换1. 抛物线开口向上的二次函数二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，抛物线开口向上。
2. 抛物线开口向下的二次函数二次函数y=ax^2+bx+c，当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的平移二次函数y=ax^2+bx+c的平移变换为y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为抛物线顶点坐标。
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
二次函数
1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？ 它的对称轴、顶点坐标各是什么？
答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的二次 函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直
线x=
b 2a
,顶点坐标是（
b 2a
，
4ac b 2 4a
）。
2、二次函数的解析式有哪几种？
有三种：⑴一般式：y = ax2+bx+c(a≠0) ⑵顶点式：y = a(x-h)2+k 顶点 为(h,k) ⑶交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交 点:(x1,0),(x2,0)
b 4ac b 2 ⑷顶点坐标是（ 2 a ， 4a
）。
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。 ⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例 2 、已知函数 y = ax2 +bx +c 的图象如下图所示， x= 1 3 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c的一些什么结论？ 【分析与参考答案】 y 首先观察到二次函数的图象为抛物 1 线，其对称轴为直线x= 3 ，抛物线 1 与x轴有两个交点，交点的横坐标其 3 -1 0 1 x 一大于1，另一个介于-1与0之间，抛 物线开口向上，顶点的纵坐标及抛 -1 物线与 y 轴的交点的纵坐标均介于 -1 与0之间，由此可得如下结论： b 1 ⑴a＞0; ⑵-1＜c＜0; ⑶b2-4ac＞0; ⑷∵ 2a 3 ,∴2a=-3b; ⑸由⑴，(4)得b＜0; ⑹由⑴,⑵,⑸得abc＞0; ⑺考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0; ⑻又x = -1时y＞0，所以有a-b+c＞0; ⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜cb2 ＜-1。 4a
1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？ 它的对称轴、顶点坐标各是什么？
答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的二次 函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直
线x=
b 2a
,顶点坐标是（
b 2a
，
4ac b 2 4a
）。
2、二次函数的解析式有哪几种？
有三种：⑴一般式：y = ax2+bx+c(a≠0) ⑵顶点式：y = a(x-h)2+k 顶点 为(h,k) ⑶交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交 点:(x1,0),(x2,0)
b 4ac b 2 ⑷顶点坐标是（ 2 a ， 4a
）。
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。 ⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例 2 、已知函数 y = ax2 +bx +c 的图象如下图所示， x= 1 3 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c的一些什么结论？ 【分析与参考答案】 y 首先观察到二次函数的图象为抛物 1 线，其对称轴为直线x= 3 ，抛物线 1 与x轴有两个交点，交点的横坐标其 3 -1 0 1 x 一大于1，另一个介于-1与0之间，抛 物线开口向上，顶点的纵坐标及抛 -1 物线与 y 轴的交点的纵坐标均介于 -1 与0之间，由此可得如下结论： b 1 ⑴a＞0; ⑵-1＜c＜0; ⑶b2-4ac＞0; ⑷∵ 2a 3 ,∴2a=-3b; ⑸由⑴，(4)得b＜0; ⑹由⑴,⑵,⑸得abc＞0; ⑺考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0; ⑻又x = -1时y＞0，所以有a-b+c＞0; ⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜cb2 ＜-1。 4a
二次函数总复习总结课件PPT
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
CHENLI
14
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
云 影 飘 飘 漾漾 ，滑落 几瓣， 摇曳乞 巧坊。 绿 意 掩 映 的门， 玲珑雕 花的窗 ， 朱 红 的 屏 风穿透 古筝悠 扬，高 山流水 韵，又 一曲， 渔舟晚 唱。 芊 芊 玉 指， 脂 粉 的 面 庞 ，颔首 凝神， 眉如黛 ，双眸 似水， 轻捻指 ，飞针 走线， 满目心 事，落 于 绸 缎 间 徜 徉。 十 指 春 风， 七彩的 丝线盘 绕出戏 水的鸳 鸯，牡 丹嫣红 次第开 放 ， 红 梅 凌 雪，睡 莲静卧 ，兰花 一枝独 自芬芳 。 蜂 蝶 绕 ， 燕呢 喃，凤 飞翱翔 ， 四 海 求 凰 。 丽 华 秀 玉 色， 汉女娇 朱颜。 清歌遏 流云， 艳舞有 馀闲。 墨香点 点 ， 熏 染 墙 面歌悠 扬，笔 意汩汩 ，飞舞 白宣诗 流淌。 荷 包 绣 不 尽，丝 丝缕缕 遥 远 的 牵 挂 ；锦囊 裹幽香 ，缠缠 绵绵前 世的爱 恋。红 丝带系 牢，思 念挂在 心间。 缀 满 心 事 的 流苏， 飞溅经 年的约 定，一 颗颗无 声的珠 玉滴落 ，都脆 响在七 月带露 的 心 上 。 垂 挂 在 空中 ，风干 的往事 ，独倚 雕栏， 寂静张 望。 蓝 花 布 包裹 的 花 枕 ， 香 酥手将 美梦一 一盛放 ，蓝天 白云荞 麦香， 装着故 乡的模 样，花 枕圆、 花 枕 方 ， 情 针意线 绣不尽 。鸳鸯 枕边， 绣花的 棱角稳 稳当当 ，层层 叠叠垒 ，砌成 安 静 的 墙 。 雨过后 ，天微 凉，送 你，去 远方， 心随你 走，他 乡是故 乡，牵 着故乡 月 ， 让 心 去 流浪， 枕边耳 语在， 无论走 多远， 不被遗 忘。 古 色 古 香韵 悠长，
二次函数复习(共36张PPT)
y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数 值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 a ＜ 0 向下 （或y轴）
二次函数总复习 [初中数学 讲课教案 ]ppt课件
![二次函数总复习 [初中数学 讲课教案 ]ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/d29d1813941ea76e59fa044a.png)
（1）观察图象，写出A 、B、C三点的坐标，并求出抛物 线解析式，
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴 （3）观察图象，当x取何值时，y<0？y=0？y>0?
y
5
C
AO
-1
4
B
完整编辑ppt
x
25
课后练习：
8、已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象关于直线 x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上. （1）求此二次函数的解析式； （2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上 移动到点M时，图象与x轴交于A 、B两点，且S△ABM=8， 求此时的二次函数的解析式 。
x
Ox
B
y O
x
C
D
完整编辑ppt
19
3、 已知抛物线 y=2x2+2x－4，
x1
则它的对称轴为_________2_，顶点为
( 1 , 9 )
___2___2_，与x轴的两交点坐标为
_(_1,_0_)_,(__2_,_0_)，
与y轴的交点坐标为_（__0_,－_4_）__。
完整编辑ppt
20
练习
完整编辑ppt
30
练一练
5、已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴
有交点，则k的取值范围是
( B)
A、k≥ 7 4
B、k≥ 7 且k 0 4
C、k＞ 7 4
D、k＞ 7 且k 0 4
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31
例题
1、已知抛物线y=x2+ax+a-2.
(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;
A .y=x2+2x－2 B. y=x2+2x+1
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴 （3）观察图象，当x取何值时，y<0？y=0？y>0?
y
5
C
AO
-1
4
B
完整编辑ppt
x
25
课后练习：
8、已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象关于直线 x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上. （1）求此二次函数的解析式； （2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上 移动到点M时，图象与x轴交于A 、B两点，且S△ABM=8， 求此时的二次函数的解析式 。
x
Ox
B
y O
x
C
D
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19
3、 已知抛物线 y=2x2+2x－4，
x1
则它的对称轴为_________2_，顶点为
( 1 , 9 )
___2___2_，与x轴的两交点坐标为
_(_1,_0_)_,(__2_,_0_)，
与y轴的交点坐标为_（__0_,－_4_）__。
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20
练习
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30
练一练
5、已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴
有交点，则k的取值范围是
( B)
A、k≥ 7 4
B、k≥ 7 且k 0 4
C、k＞ 7 4
D、k＞ 7 且k 0 4
完整编辑ppt
31
例题
1、已知抛物线y=x2+ax+a-2.
(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;
A .y=x2+2x－2 B. y=x2+2x+1
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
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contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
二次函数复习课件
y ox
顶点式： y=a(x-h)2+k
解方程得： a=2, b=-3, c=5
因此：所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例2.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交 点为（0，－5）求抛物线的解析式？
一般式： y=ax2+bx+c
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： y=ax2+bx+c
解： 设所求的二次函数为
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是___C____ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3
(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是__A_____
A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
当x ＝－１ 时, y有最 小 为
1 6
.
顶点式为y 1 (x 1)2 1
2
6
巩固练习:
1、填空：
（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标 是_（__—12_，_-_—24_5）____对称轴是___x=_—12_____。
《二次函数》复习课件
The End
感谢观看本次《二次函数》复习ppt课件，希望对你复习和应用二次函数有所帮助。祝你学业有成！
通过平移抛物线，可以直接求解最值和零点。
3 利用变形公式解题
4 利用图像性质解题
通过变形公式，将复杂的二次函数转化为简单的 标准形式。
通过观察图像，可以判断二次函数不等式的解集 等问题。
典型例题
1
函数 $y=-3(x-2)^2 +4 $ 的对称轴、顶点、最小值
通过平移和对称性，求解函数的对称轴、顶点坐标，以及最小值。
2
函数 $y=-x^2+2 x+3 $ 的图像方程，及其最值、零点
通过变形公式，求解函数的图像方程，以及最值和零点。
3
判断不等式 $2x^2 -3x+1 <0$ 的解集
通过观察图像和根的关系，判断不等式的解集。
注意事项
二次函数解题的基本思 路和方法
通过掌握基本思路和方法，可 以更快解决二次函数相关问题。
《二次函数》复习ppt课 件
本PPT复习大纲将详细介绍二次函数的概念、性质、解题思路，以及一些典型 例题。通过图像和公式，帮助学生加深对二次函数的理解和应用。
概念及性质
定义及基本形式
二次函数是指$y=ax^2+bx+c$的函数形式，其中 $a\neq0$。
对称轴和顶点的求法
对称轴是抛物线的对称中心，顶点是抛物线的最低 点或最高点。
二次函数图像的基本形 状和性质
熟悉二次函数图像的形状和性 质，有助于理解题目及解答。
二次函数解题时应注意 判断最值和零点是否有 意义
在解题过程中，需要判断最值
和零点是否在给定范围内有意
义。
二次函数复习课课件
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像关 于某条直线进行对称。
详细描述
对称变换包括关于x轴、y轴或原点 对称。在对称变换过程中，二次函 数的开口方向、顶点和对称轴等性 质可能发生变化。
举例
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图 像关于x轴对称，得到新的函数$f(x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。 当$a > 0$时，抛物线开口向上； 当$a < 0$时，抛物线开口向下。 抛物线的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点位于该对称轴 上，坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
详细描述
顶点式是二次函数的一种特殊形式，它通过完全平方的形式简化了函数表达式 ，使得函数图像的顶点和对称轴更加直观。顶点式在解决与二次函数顶点相关 的问题时非常有用。
交点式
总结词
二次函数的交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
详细描述
交点式是二次函数的一种特殊形式，它通过将函数表示为两个一次因式的乘积， 突出了函数与x轴的交点。交点式在解决与二次函数与x轴交点相关的问题时非常 有用。
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在 平面坐标系中沿x轴或y轴方向移
动。
详细描述
平移变换包括向左或向右移动图 像，以及向上或向下移动图像。 在平移过程中，二次函数的开口 方向、顶点和对称轴等性质保持
二次函数知识点复习PPT课件
❖ ③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的 左侧，则a、b同号；若对称轴在Y 轴的右侧， 则a、b异号；(a与b左同右异)数 ❖ 当Δ=b2-4ac>0时，函数与X轴有两个交点； ❖ Δ=b2-4ac <0时，函数与X轴没有交点； ❖ Δ=b2-4ac =0时；函数与X轴只有一个交点；
6.(构造方程解题)已知a,b,c都是实数,且满 足a=6-b,c2=ab-9.求c的值.并判断a与b的大 小关系
a+b=6, ab=c2+9.则以a,b为两根的方程为:
x2-6x+c2+9=0 ,由 △ 0得36-4(c2+9) 0
得-c2 0即c=0有△ = 0所以a=b
2020年10月2日
14
6
韦达定理
ax2+bx+c=0（a 0,
则x1+x2=
b a
，x1.x2=
0c）的两根为x1，x2
a
❖ 1.已知一元二次方程,不解方程,求与根有关
的代数式;
❖ 2.构造一元二次方程;(减和加积等于0):
X2-(x1+x2)x+(x1.x2)=o
3.分解二次三项式.(两根双减,a放最前):
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
20❖20年410.月构2日造一元二次方程来解方程或方程组
7
6 1 1 32
a 2b
2x5 52x
a 2b
2020年10月2日
8
平行相似,AA,SAS.SSS.直角三角形的HL
2020年10月2日
9
2020年10月2日
10
例:D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线 段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E 和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC 相似。问：这样的三角形可以画几个？画出
6.(构造方程解题)已知a,b,c都是实数,且满 足a=6-b,c2=ab-9.求c的值.并判断a与b的大 小关系
a+b=6, ab=c2+9.则以a,b为两根的方程为:
x2-6x+c2+9=0 ,由 △ 0得36-4(c2+9) 0
得-c2 0即c=0有△ = 0所以a=b
2020年10月2日
14
6
韦达定理
ax2+bx+c=0（a 0,
则x1+x2=
b a
，x1.x2=
0c）的两根为x1，x2
a
❖ 1.已知一元二次方程,不解方程,求与根有关
的代数式;
❖ 2.构造一元二次方程;(减和加积等于0):
X2-(x1+x2)x+(x1.x2)=o
3.分解二次三项式.(两根双减,a放最前):
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
20❖20年410.月构2日造一元二次方程来解方程或方程组
7
6 1 1 32
a 2b
2x5 52x
a 2b
2020年10月2日
8
平行相似,AA,SAS.SSS.直角三角形的HL
2020年10月2日
9
2020年10月2日
10
例:D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线 段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E 和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC 相似。问：这样的三角形可以画几个？画出
《二次函数》PPT优秀课件
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
定
二
次
函
数
义
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，
还有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
例2 y m 3 x
m2 7
.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m 2 7 1,
.
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(C
A . m,n是常数,且m≠0
B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n
D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C
y
A．y＝2x＋1
B．
C．y＝3x2＋1
D．y
)
2
x
1
1
2
x
)
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
的二次式表示的.
定义
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫
做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项
系数、一次项系数和常数项.
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
定
二
次
函
数
义
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，
还有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
例2 y m 3 x
m2 7
.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m 2 7 1,
.
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(C
A . m,n是常数,且m≠0
B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n
D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C
y
A．y＝2x＋1
B．
C．y＝3x2＋1
D．y
)
2
x
1
1
2
x
)
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
的二次式表示的.
定义
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫
做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项
系数、一次项系数和常数项.
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(3)根据图像说明，x为何值时，y<0?
解：由图像可知，顶点坐标是(-2，-1)，(2)x=0或x=-4
设函数关系式为：ya(x2)21
过点(0，0)
(3)-4<x<0
所以，0=4a-1
即a= 1
故函数4 解析式是 y 1(x2)2 1
4
学以致用
1.(连云港) 丁丁推铅球的出手高度为1 .6 m ,在如图
图象
思维பைடு நூலகம்展
2.如下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
yax2bxc的解析式是( )
A.yx23x4 B.yx23x5
√ C.yx24x4 D.yx24x5
提示：仔细观察表中的数据，你能从中看出什么？
思维拓展
3. 二次函数图像如图所示： (1)求它的解析式
(2)根据图像说明，x为何值时，y=0?
当x= -1 时，y有最 大 值，此值是 -1 。
，
4、请写出一个二次函数解析式，使其图像的对称轴为x=1， 并且开口向下。
y2x24x1？
基础演练
1. 如图,抛物线 y=ax2+bx+c,请判断下列 各式的符号：
①a 0; ②b 0; ③c 0; ④b2 - 4ac 0;
y
C
O A Bx
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
变变式式12：：若若抛抛物物线线yyaxx2243xx3a的2图1的象图如象图如，图则，
则△aA=BC的面积. 是
。
思维拓展
1.下列各图中可能是函数 y ax2 c
与 y a (a0,c0 )的图象的是( )
x
A
B
C
√D
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得 出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个
图象
思维拓展
2.如下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
yax2bxc的解析式是( )
A.yx23x4 B.yx23x5
√ C.yx24x4 D.yx24x5
提示：仔细观察表中的数据，你能从中看出什么？
思维拓展
3. 二次函数图像如图所示： (1)求它的解析式
(2)根据图像说明，x为何值时，y=0?
所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物
线 y0.1(xk)22.5
①求k的值
y y0.1(x3)22.5
②求铅球的落点与丁丁 (0,1.6)
的距离
③一个1.5m的小朋友跑到
离原点6米的地方(如图)，
O
x
他会受到伤害吗？
学以致用 x
2.(安徽)用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．
⑴若扇形的半径设为x(m),试用x表示弧长 32-2x ; 你能写出扇形花园的面积y(㎡)与半径x (m)之间 的函数关系式和自变量x的取值范围吗？
当x= -1 时，y有最 大 值，此值是 -1 。
，
4、请写出一个二次函数解析式，使其图像的对称轴为x=1， 并且开口向下。
y2x24x1？
基础演练
1. 如图,抛物线 y=ax2+bx+c,请判断下列 各式的符号：
①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;
y
C
O A Bx
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
第十六章二次函数单元复习课件
精品
复习目标
①了解二次函数的定义； ②会用描点法画出二次函数的图象，能从图 象上认识二次函数的性质； ③会根据公式确定图象的顶点、开口方向、 对称轴和增减性，并解决简单的实际问题。 ④通过对实际问题情境的分析确定二次函数 的表达式，并体会二次函数的意义。
实二 际次 生函 活数
课堂回顾 总结方法 反思提高 当堂检测
复习目标
①了解二次函数的定义； ②会用描点法画出二次函数的图象，能从图 象上认识二次函数的性质； ③会根据公式确定图象的顶点、开口方向、 对称轴和增减性，并解决简单的实际问题。 ④通过对实际问题情境的分析确定二次函数 的表达式，并体会二次函数的意义。
实二 际次 生函 活数
(2)当扇形花园半径为多少时，花园面积最大？最
大面积是多少？
(3)如果同样用32m的篱笆围成一个面积最大的矩形
花园，这个花园的面积是多少？对比上面的结论，
你有什么发现？
由扇形面积公式可知：
y 1(322x)x
x 16 8时 2(1)
2
yx2 16x 0x16
y最大值=40-(1-612)64
O
回顾反思
(3)根据图像说明，x为何值时，y<0?
解：由图像可知，顶点坐标是(-2，-1)，(2)x=0或x=-4
设函数关系式为：ya(x2)21
过点(0，0)
(3)-4<x<0
所以，0=4a-1
即a= 1
故函数4 解析式是 y 1(x2)2 1
4
学以致用
1.(连云港) 丁丁推铅球的出手高度为1 .6 m ,在如图
变变式式12：：若若抛抛物物线线yyaxx2243xx3a的2图1的象图如象图如，图则，
则△aA=BC的面积. 是
。
思维拓展
1.下列各图中可能是函数 y ax2 c
与 y a (a0,c0 )的图象的是( )
x
A
B
C
√D
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得 出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个
知识结构
概念：y = a x 2 + b x + c (a 0 )
开口方向
图 像
顶点
与 对称轴
性 增减性
质 最值
与一元二次方程的关系
应用
热身练习
1、函数 y(m1)xm213x1，当 m= -1 时，它是二次函数
y1 y2
3、抛物线 y2(x1)21的对称轴是 X=-1，顶点坐标是(-1,-1)
所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物
线 y0.1(xk)22.5
y
①求k的值
②求铅球的落点与丁丁
的距离
③一个1.5m的小朋友跑到
离原点6米的地方(如图)，
O
x
他会受到伤害吗？
参考答案
①求k的值
y y0.1(x3)22.5
解：由图像可知，抛物
线过点(0,1.6)
即当x=0时，y=1.6
1.6=-0.1k2+2.5
知识结构
概念：y = a x 2 + b x + c (a 0 )
开口方向
图 像
顶点
与 对称轴
性 增减性
质 最值
与一元二次方程的关系
应用
热身练习
1、函数 y(m1)xm213x1，当 m= -1 时，它是二次函数
y1 y2
3、抛物线 y2(x1)21的对称轴是 X=-1，顶点坐标是(-1,-1)