八年级数学《线段垂直平分线角平分线》知识点

八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》知识点

1、线段垂直平分线的性质

（1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的

距离相等．

定理的数学表示：如图1，∵ C Ｄ⊥A Ｂ,且AD=BD

∴ ＡC ＝BC.

定理的作用:证明两条线段相等 （2)线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线的判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2,∵ AC ＝ＢC

∴ 点Ｃ在线段AB 的垂直平分线m 上.

定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.

３、关于线段垂直平分线性质定理的推论

（1）关于三角形三边垂直平分线的性质:

三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.

性质的作用：证明三角形内的线段相等.

(2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;

若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部． 反之，也成立。

４、角平分线的性质定理:

角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

图1

图2

定理的数学表示：如图４,

∵ OE 是∠AOB 的平分线，Ｆ是OE 上一点,且CF ⊥O Ａ于点C,ＤF ⊥OB 于点Ｄ， ∴ ＣＦ=DF ．

定理的作用:①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线．

5、角平分线性质定理的逆定理:

角平分线的判定定理:在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图５，

∵点Ｐ在∠ＡOB 的内部,且ＰＣ⊥OA 于C,PD ⊥ＯB 于D ，且PC=P Ｄ，

∴点P 在∠AOB 的平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.

6、关于三角形三条角平分线的定理：

(1）关于三角形三条角平分线交点的定理:

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的数学表示：如图6，如果ＡＰ、ＢQ 、ＣR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ＡBC 、∠A ＣB 的平分线，那么：

① AP 、ＢＱ、CR 相交于一点I;

② 若I Ｄ、IE 、ＩF 分别垂直于ＢC 、CA 、AB 于点D 、E 、F,则DI ＝EI ＝F Ｉ. 定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题. （2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心).

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

(1)会作已知线段的垂直平分线; (2)会作已知角的角平分线； (3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

图4