优选几何证明概述

(3)AD BC (4) AB平分BC
此命题有5个逆定理.
①
ABC 中（(32）) AADD平B分CA
（ 1）AB AC (4) AB平分BC
②
ABC中（ (24） ) AABD平平分分BCA
(3) AD （ 1）AB
BC AC
③
ABC中（ (13）) AADB
AC BC
（ 2）AD平分A (4) AB平分BC
例3 一个三角形的两边 和其中一边的高，同另一三 角形的两边和其中一边的高 对应相等，则此两个三角形 全等.(这曾经是我国初中课本 上的一道习题)
证题思路如下图：
作业：
1．例3中的结论成立吗？如不成立试举出 反例. 2. 写出命题“两直线夹角的平分线上一点距 此两边等远”的逆命题、否命题及逆否命题，
又只需证AEH CGF ，而此容易
得证.
例7 E 为 ABC 的中线AD 上任一点， 且 B C ，求证：
BC AC 2R , (R, R 表圆半径)
BC AC 2R
可见 BCD BCD, ACD ACD. 从而 A BDC BDC A,
B ADC ADC B.
ABC ABC. [证毕] 思考：以上证明一定成立吗？
可考虑 BC AC R 1 的特例，
BC AC R 1
即得：“同园内接两三角形，若有 两边分别相等，则必全等”这显然 不成立！(如下页图)
求证：ABCD是平行四 边形.
B
证明：如图做辅助线 D
FC
(证明略)
思考：以上证明有
问题吗？
AE
B
问题出在哪里？能举出反例吗？
如右下图所示，作等腰三 D
角形DAE，在AB边上任取一
点B，作等腰梯形BEDC.
得四边形ABCD. 显然四
边形ABCD符合题目条件，
但ABCD非平行四边形.
●
A
C
●
●
BE
例2 设两个三角形有两边及外接圆半径成比例， 则必相似.(前苏联中学教材中定理)
能用同一法证明的命题，实际上是依 据事实：具有所示性质的图形是唯一的。
例5 以正方形ABCD的一边CD为底向形 内作等腰三角形ECD使其两底角为15 ，则 是等边三角形。
证明：（同一法）
（3） 证明方法分类
直接证法
归谬法
证明方法
反证法
间接正法
穷举法
同一法
作业：
1.两圆相交，则其交点不能在连心线的同侧. 2. 若 ABC 与 ABC 有公共底边 BC，且 AB AC AB AC ，则点 A 在 ABC 外部. 3. 设梯形两腰之和等于一腰，则此腰两邻角 的平分线必通过另一腰的中点. 4. 以正方形一边为底在正方形所在的一侧作 等腰三角形，使其顶角为 30 ，则将其顶点与 正方形另两顶点连接，必构成正三角形.
并证明其逆命题. 3. 证明：圆外切四边形的一双对边之和等 于另一双对边之和.叙述并证明其逆定理. 3题逆定理证明提示：(用反证法或同一法)
2.1.2 直接证法与间接证法
1. 直接证法与间接证法的意义 ⑴ 直接证法
本科公理
此前定义、定理 本题结论
本题题设
这种由原题入手的证明方法叫直接证法.
⑵ 间接证法
互 否
否命题： 若P,则Q.
(互逆)
互逆否 (互逆)
逆命题： 若P,则Q.
互 否
逆否命题： 若P,则Q.
命题的四种形式的真假关系： 互为逆否的命题同真假
2、逆命题与逆定理 ★逆命题就是逆定理吗？
★一个定理的逆定理是唯一的吗？.
如“等腰三角形顶角的平分线也是底边 的中垂线”
ABC中（ （ 12））AABD平A分CA
④
ABC 中（(14）) AABB平分ACBC
(3)AD BC （ 2）AD平分A
⑤
ABC中((34))AADB平分BCBC
（ 1）AB AC （ 2）AD平分A
A
BDC
3、充分条件、必要条件与充要条件 分析如下命题： (1)平行四边形对角线互相平分. (2)菱形对角线互相垂直.
4、证明的意义 ★证明的含义和作用 ★证明的组成
反证法的类型：
归谬法 ——结论的反面只有一款。 穷举法 ——结论的反面有若干款。 应用举例： 例4 园内不是直径的两弦，不能平分。 已知： 求证：
证明：（用归谬法证）
例5 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半。
已知： 求证：
证明：（用穷举法）
② 同一法
当欲证某图形具有某种性质而又不易 直接证明时，有时候可以作出具有所示性 质的图形，然后证明所作图形就是同一个， 把它们等同起来。这种证法叫做同一法。
将一个命题改为它的等效命题来进行证 明，这样的证明方法叫间接正法.
① 反证法 反证法就是证明一个命题时，直接证明不 容易，而证明其逆否命题成的一种方法.
否定结论 公理、定理 四者不相容或(说P成立) 定义、题设
运用反证法证明的一般步骤是： Ⅰ 否定结论； Ⅱ 由此结合已知 推出矛盾；
Ⅲ 因此原结论不能为假，只能为真。
优选几何证明概述
§2.1 几何证明概述
2.2.1 命题及其结构
1、命题的四种形式（变化） ★命题的构成
前提（题设）……结论…… 命题可分为真命题与假命题 ★数学命题的一般形式（假言命题）
若P，则Q. 或 P Q
符号“ ”表示推出.
★命题的换位——逆命题 命题的换质——否命题
★命题的四种形式
原命题： 若P,则Q.
2.1.3分析法与综合法
1. 分析法 ——执果索因
D(果)
向下
C1 C C2
找结 论的
充分
…… B1 B2 B B3 B4 …… 条件
A (因)
例6 ABCD 外接于 EFGH，则它们的 对角线共点。
证法一： （用分析法证）
欲证它们对角线 共点.
只需证AC与EG互相平分.
即只需证AECG是平行四边形. 又只需证AE=CG.
①论题——即要证明的问题 ②论据——即已知为真的命题 ③论证——即一系列的推理
5、证明要严谨
证明中常见的错误有：论题错误、论 据不足、论证不充分等
判断一个命题不成立，通常是找反例.
例1 有一组对边相等和一组对角相等的 四边形是平行四边形
D A
C 题设：四边形ABCD
Βιβλιοθήκη Baidu中, AD=BC, ∠A=∠C.
证法一： 在如图两三角形中有
BC AC OC , (O, O是外心)
BC AC OC
则
1 BC 2 1 BC
OC OC
,
或 MC M C
OC OC
B
2
Rt MOC Rt M OC,
A MOC MOC A.
同理可证：B B
故
ABC ABC.
B
A ON
C M
A
O N
M
C
证法二：如图，则因