直线与双曲线的位置关系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程
知识点1:直线与双曲线的位置关系
1.直线与双曲线的位置关系的判断
设直线y=kx+b ,双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0(a≠0),Δ=B 2
-
4AC 。
若A=0即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; 若Δ>0,直线与双曲线相交,有两个交点; 若Δ=0,直线与双曲线相切,有一个交点; 若Δ<0,直线与双曲线相离,无交点;
直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题
设直线l:y=kx+n ,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为P1 (x 1,y 1),P2 (x 2,y 2), 且由,消去y→ax 2
+bx+c=0(a≠0),Δ=b 2
-4ac 。
弦长公式:12||PP
=1212x y -=-(k 为直线斜率) 例题选讲:
例1:直线l :y =kx +1与双曲线C :2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B .求实数k 的取值范围;
解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后,整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.①
依题意,直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,
故⎩⎪⎨⎪⎧
k 2-2≠0,
Δ=(2
k )2
-8(k 2
-2)>0,-2k
k 2-2>0,
2k 2
-2>0.
解得k 的取值范围是-2 例2:已知中心在原点,顶点12,A A 在 x 的双曲线经过点(6,6)P (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)动直线l 经过12A PA ∆的重心G ,与双曲线交于不同的两点,M N ,问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。 例3:已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2 =1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点, 而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程; (2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA →·OB → >2 (其中O 为原点),求k 的取值范围. 解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2 b 2=1, 则a 2=4-1=3,c 2=4,由a 2+b 2=c 2,得b 2=1, 故C 2的方程为x 23 -y 2 =1. (2)将y =kx +2代入x 23-y 2 =1,得(1-3k 2)x 2-62kx -9=0. 由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点,得 ⎩⎪⎨⎪ ⎧ 1-3k 2≠0.Δ=(-62k )2+36(1-3k 2) =36(1-k 2)>0. ∴k 2≠1 3 且k 2<1. ① 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=62k 1-3k 2,x 1x 2 =-91-3k 2. ∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2) =(k 2 +1)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+2=3k 2+73k 2-1 . 又∵OA →·OB → >2,得x 1x 2+y 1y 2>2, ∴3k 2+73k 2-1>2,即-3k 2+93k 2-1 >0,解得13 由①②得13 ⎫3 3,1. 例4:已知双曲线的中心在原点,焦点12,F F 在坐标轴上,2,且过点(4,10-. (1)求双曲线方程; (2)若点()3,M m 在双曲线上,求证:120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ; (3)对于(2)中的点M ,求21MF F ∆的面积. 解:(1)由题意,可设双曲线方程为2 2 x y λ-=,又双曲线过点(4,10-,解得6λ= ∴ 双曲线方程为22 6x y -=; (2)由(1)可知,a b == c =, ∴ ()1F -,() 2F ∴ ()13,MF m =--u u u u r ,() 23,MF m =-u u u u r , ∴ 2 123MF MF m ⋅=-u u u u ru u u u u r , 又点()3,M m 在双曲线上, ∴ 296m -=, ∴ 2 3m =, 即120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ; (3)121211 622 S F MF F F m = =⋅=V ∴21MF F ∆的面积为6. 知识点2:抛物线及其标准方程 1.抛物线定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R 例1:(1)(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该拋物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.3 4 B .1 C.54 D.74