暨南大学810高等代数考研真题试题汇总2010—2019年
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0 −2 0
1 求 A 的全部特征值； 2 对 A 的每个特征值 λ ，求 A 的属于特征值 λ 的特征子空间的维数和一组基；
3 求正交矩阵 T ，使 T ' AT 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。 五（15 分）设V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间 (n ≥ 1) ，若有线性变换 σ 与向量 ξ 使得 σ ξ n−1 ≠ 0 ，但σ nξ = 0 。
。
（ k1, k2 , k3 ∈ P ）
6 已知方阵 A 的初等因子组为 λ, λ 2 , (λ −1)2 , (λ −1)3 ，则 A 的 Jordan 标准形是
7 “代数基本定理”的内容是_______________。
8 设 A ， B 都是 n 级正定矩阵，则 A−1, A + B, AB, A − B 中为正定矩阵的是
9 正交矩阵的实特征值为
。
。 。
二 （ 15 分 ） 设 p(x) 是 数 域 P 上 的 一 个 不 可 约 多 项 式 ， 若 p(x) | （ f (x) + g(x) ）， 且
p(x) | f (x) g(x) ，则 p(x) | f (x) 且 p(x) | g(x) 。其中 f (x) ， g(x) 是数域 P 上的多项式。
变换σ 在基
−1 2 0
下的矩= 阵为 A
1
1 −1 ，则σ 在基η1, η2 ,η3 下的矩阵为
。
0 1 −1
5 设V 是数域 P 上的一个 3 维线性空间，α1,α2 ,α3 是V 的一组基，若V 上的一个线性函数σ
满足σ (α1 + α3 ) = 1,σ (α2 − 2α3 ) = −1,σ (α1 + α2 ) = −3 ，则σ (k1α1 + k2α2 + k3α3 ) =
λ x + 9 y + 3z = 2 三（15 分）线性方程组 −x + (λ −1) y =λ 当 λ 为何值时方程组有：
3x − y + z =−4
1 唯一解，并求其解； 2 无穷多解，给出解的表达式； 3 无解。
2 −2 0 四（15 分）设 A = −2 1 −2
考试科目名称：高等代数
考试科目代码：810
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上， 不需说明理由，每题 2 分，共 20 分）：
1、如果 f (x) 是有理数域 Q 上的多项式，则 f (x) 在有理数域 Q 上不可约的充分必要条
2010 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副卷）
********************************************************************************************
学科、专业名称：数学学科、基础数学 应用数学 概率论与数理统计等专业 研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810 高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一 填空题（共 9 小题 44 分，每空 4 分）
a aa x a ax a 1 n 级行列式 等于____________。 a xa a x aa a
2 设 A 是一个 n 级方阵， E 是 n 级单位矩阵，且 A2 + A − 4E =0 ，则 ( A − E)−1 = ______。
2 设 A 是实对称矩阵， A2 = 0 ，证明 A = 0 。 七（15 分）已知矩阵 A 是数域 P 上的一个 n 级方阵，如果存在 P 上的一个 n 级可逆方阵 X ，
0 1 0
使得 X −1AX 为对角矩阵，那么称 A 在 P 上可对角化。分别= 判断 A
0
Hale Waihona Puke Baidu0 −1 能否在实数
共 页，第 页
2011 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题）
****************************************************************************************
学科、专业名称：数学学科、基础数学、应用数学、概率论与数理统计专业 研究方向：各方向
6、实 n 元二次型 f ( X ) = X T AX 正定当且仅当对应实对称矩阵 A 的正惯性指数为 n 。
−2 3 −1
域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16 分）用 R[x]4 表示实数域 R 上次数小于 4 的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得
∫ 空间，内积为 ( f , g) =
1
f (x)g(x)d
x。设W 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求W ⊥
0
以及它上的一个基。
考试科目： 高等代数
件是，多项式 g(x) = f (x −11) 在有理数域 Q 上不可约。
11 1 1
14 3 x
2、如果 f (x) = 1 16
9
x 2 ，则 f (x) 是有理数域 Q 上的 3 次多项式。
1 64 27 x3
3、 n 元线性方程组有唯一解的充分必要条件是对应齐次线性方程组有无穷组解。 4、一个向量组的任何一个线性相关组都有非空极大线性无关组。 5、如果一个 n 阶矩阵 A 不可逆，则其伴随矩阵 A * 不可逆。
1 证明ξ ,σξ ,,σ ξ n−1 线性无关；
0 0 0 0
1
0
0
0
2 证明σ 在某基下的矩阵是 A = 0 1 0 0
0 0 1 0
六（15 分）1 设 A ∈ Rm×n ，证明秩 ( A' A) =秩 ( A) =秩 ( AA') 。
3 设V 是 Pn×n 中全体对称矩阵作成的数域 P 上的一个线性空间，则V 的维数为
，
一组基为
。
4 给 出 P3 的 两 组 基 ε1,ε2 ,ε3 和 η1,η2 ,= η3 ： ε1 (1= , 0, 0),ε2 (= 0,1, 0),ε3 (0, 0,1) ，
= η1 (1= ,1,1),η2 (1= ,1, 0),η3 (1, 0, 0) 。则基 ε1,ε2 ,ε3 到η1,η2 ,η3 的过渡矩阵为 。若线性
1 求 A 的全部特征值； 2 对 A 的每个特征值 λ ，求 A 的属于特征值 λ 的特征子空间的维数和一组基；
3 求正交矩阵 T ，使 T ' AT 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。 五（15 分）设V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间 (n ≥ 1) ，若有线性变换 σ 与向量 ξ 使得 σ ξ n−1 ≠ 0 ，但σ nξ = 0 。
。
（ k1, k2 , k3 ∈ P ）
6 已知方阵 A 的初等因子组为 λ, λ 2 , (λ −1)2 , (λ −1)3 ，则 A 的 Jordan 标准形是
7 “代数基本定理”的内容是_______________。
8 设 A ， B 都是 n 级正定矩阵，则 A−1, A + B, AB, A − B 中为正定矩阵的是
9 正交矩阵的实特征值为
。
。 。
二 （ 15 分 ） 设 p(x) 是 数 域 P 上 的 一 个 不 可 约 多 项 式 ， 若 p(x) | （ f (x) + g(x) ）， 且
p(x) | f (x) g(x) ，则 p(x) | f (x) 且 p(x) | g(x) 。其中 f (x) ， g(x) 是数域 P 上的多项式。
变换σ 在基
−1 2 0
下的矩= 阵为 A
1
1 −1 ，则σ 在基η1, η2 ,η3 下的矩阵为
。
0 1 −1
5 设V 是数域 P 上的一个 3 维线性空间，α1,α2 ,α3 是V 的一组基，若V 上的一个线性函数σ
满足σ (α1 + α3 ) = 1,σ (α2 − 2α3 ) = −1,σ (α1 + α2 ) = −3 ，则σ (k1α1 + k2α2 + k3α3 ) =
λ x + 9 y + 3z = 2 三（15 分）线性方程组 −x + (λ −1) y =λ 当 λ 为何值时方程组有：
3x − y + z =−4
1 唯一解，并求其解； 2 无穷多解，给出解的表达式； 3 无解。
2 −2 0 四（15 分）设 A = −2 1 −2
考试科目名称：高等代数
考试科目代码：810
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上， 不需说明理由，每题 2 分，共 20 分）：
1、如果 f (x) 是有理数域 Q 上的多项式，则 f (x) 在有理数域 Q 上不可约的充分必要条
2010 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副卷）
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学科、专业名称：数学学科、基础数学 应用数学 概率论与数理统计等专业 研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810 高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一 填空题（共 9 小题 44 分，每空 4 分）
a aa x a ax a 1 n 级行列式 等于____________。 a xa a x aa a
2 设 A 是一个 n 级方阵， E 是 n 级单位矩阵，且 A2 + A − 4E =0 ，则 ( A − E)−1 = ______。
2 设 A 是实对称矩阵， A2 = 0 ，证明 A = 0 。 七（15 分）已知矩阵 A 是数域 P 上的一个 n 级方阵，如果存在 P 上的一个 n 级可逆方阵 X ，
0 1 0
使得 X −1AX 为对角矩阵，那么称 A 在 P 上可对角化。分别= 判断 A
0
Hale Waihona Puke Baidu0 −1 能否在实数
共 页，第 页
2011 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题）
****************************************************************************************
学科、专业名称：数学学科、基础数学、应用数学、概率论与数理统计专业 研究方向：各方向
6、实 n 元二次型 f ( X ) = X T AX 正定当且仅当对应实对称矩阵 A 的正惯性指数为 n 。
−2 3 −1
域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16 分）用 R[x]4 表示实数域 R 上次数小于 4 的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得
∫ 空间，内积为 ( f , g) =
1
f (x)g(x)d
x。设W 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求W ⊥
0
以及它上的一个基。
考试科目： 高等代数
件是，多项式 g(x) = f (x −11) 在有理数域 Q 上不可约。
11 1 1
14 3 x
2、如果 f (x) = 1 16
9
x 2 ，则 f (x) 是有理数域 Q 上的 3 次多项式。
1 64 27 x3
3、 n 元线性方程组有唯一解的充分必要条件是对应齐次线性方程组有无穷组解。 4、一个向量组的任何一个线性相关组都有非空极大线性无关组。 5、如果一个 n 阶矩阵 A 不可逆，则其伴随矩阵 A * 不可逆。
1 证明ξ ,σξ ,,σ ξ n−1 线性无关；
0 0 0 0
1
0
0
0
2 证明σ 在某基下的矩阵是 A = 0 1 0 0
0 0 1 0
六（15 分）1 设 A ∈ Rm×n ，证明秩 ( A' A) =秩 ( A) =秩 ( AA') 。
3 设V 是 Pn×n 中全体对称矩阵作成的数域 P 上的一个线性空间，则V 的维数为
，
一组基为
。
4 给 出 P3 的 两 组 基 ε1,ε2 ,ε3 和 η1,η2 ,= η3 ： ε1 (1= , 0, 0),ε2 (= 0,1, 0),ε3 (0, 0,1) ，
= η1 (1= ,1,1),η2 (1= ,1, 0),η3 (1, 0, 0) 。则基 ε1,ε2 ,ε3 到η1,η2 ,η3 的过渡矩阵为 。若线性