线性代数习题1.3n阶行列式的定义

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§1.3 n阶行列式的定义
注： 1. n 阶行列式是 n! 项的代数和; 2.
n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同
t 为排列
列 n 个元素的乘积; 3. a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 (1)t ,
p1 p2 pn 的逆序数。
4. 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相互 混淆;
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§1.3 n阶行列式的定义
例1 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. (1) a23a31a42a56a14a65 ;
( 2) a32a43a14a51a66a25 . 解 : a14a23a31a42a56a65
431265 t 1 2 21 6 a14a25a32a43a51a66
a1 p1 a11 a2 P2 a22 anpn a nn
t0
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§1.3 n阶行列式的定义
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 上三角形 : 0 0 ann
1 0 ex : D 0 0 2 4 0 0 3 2 5 0 4 1 6 8
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§1.3 n阶行列式的定义
a11 D a 21 a 31
a11 a21 a31
a12 a 22 a 32
a12 a22 a32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
1
n n1 2
12 n
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§1.3 n阶行列式的定义
内容小结
1、 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.
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思考与练习
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
第一章
行列式
§1.3 n 阶行列式的定义
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§1.3 n阶行列式的定义
引入： 三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11a22 ann
1 4 5 8 160.
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§1.3 n阶行列式的定义
2.对角
1
2
0

0

12 n
n
1
a n1 a 2 ( n 1 )
t
a1n
2 n
n( n 1) 321
1 a1na2( n1) an1
1
t (1234 )
a11a22 a33 a44 x ,
3
3
1
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t 1243
3
a11a22 a34 a43 2 x
故 x 的系数为 1.
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3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
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§1.3 n阶行列式的定义
解： 含 x 3 的项有两项,即 x 1 1 2
1 x 1 1 f x 3 2 x 1 1 1 2x 1 对应于 1t (1234 ) a11a22 a33 a44 1t 1243 a a a a 11 22 34 43
其中 p1 , p2 ,, pn 是1,2,…,n的排列，t 是排列 p1 , p2 ,, pn 的逆序数, 表示对1,2,…,n 所有排 列(共n!个)求和。称上式左边为n阶行列式，右边 为 n 阶行列式的展开式，称 aij (i, j 1,2,, n) 为 n 阶行列式中位于第 i 行第 j 列位置上的元素。
1. 每项均是位于不同行不同列的三个元素的乘积． a1 p1 a2 p2 a3 p3 行标 : 1, 2, 3 列标 : 1, 2, 3的一个排列 2. 3!项
3. 带正号的三项列标排列是：123 , 231 , 312 ; (为偶排列)． 带负号的三项列标排列是：132 , 213 , 321. (为奇排列)．
452316 t 2 24 8
正号
正号
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§1.3 n阶行列式的定义
二、特殊行列式
a11 a21 a n1 0 a22 an 2 0 0 ann
下三角形 1.
a11a22 ann
( 1)t a1 p1 a2 p2 anpn
a11a22 ann
a13 a23 a33
( p1 p2 p3 )

(1)
t ( p1 p2 p3 )
a1 p1 a2 p2 a3 p3
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§1.3 n阶行列式的定义
一、n阶行列式的定义
a11 a21 D a n1 a12 a1n a22 a2 n 1t a a a 1 p1 2 p2 npn an 2 ann
5.
线性代数
n 阶行列式可简记为 | ai, j | 或 det(aij )
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§1.3 n阶行列式的定义
ex. 四阶行列式中 , a11a23a32a44的前面带 负号
含a11a23的项为 a11a23a32a44 和 a11a23a34a42
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