二面角的求法(总结)

∴2x0+ 0y0-z0=0且x0+ 3 y0-2z0=0 令x0=1可得z0= 2 , y0= 3 , 即
B
y
u
=（ 1， 3 ，2）
设所求二面角的平面角为θ，则COSθ = 2 = ,所以所求二面角大小为450 2 解毕
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u DD u DD
1
1
解法四：
如图：由题意可知，这是一个直四棱柱 ， △ BFD1在底面上的射影三角形就是 △ABD, 故由射影面积关系可得COSθ= ＳABD／ ＳBＦＤ
A D
E
C
B
分析：1、根据已知条件提供的数量关系
通过计算证明有关线线垂直； 2、利用已得的垂直关系找出二面角的平 面角。 解：如图：
∵SA ⊥ 平面ABC, ∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA ⊥ BD; 于是SB= SA AB = 2 a 又BC= 2a ，∴ SB=BC; ∵E为SC的中点，∴BE⊥SC 又DE⊥SC 故SC⊥平面BDE 可得BD⊥SC 又BD⊥SA ∴BD⊥平面SAC ∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面 角的平面角。 ∵ AB⊥BC，∴AC= AB BC = a 2a = 3a 3 SA 在直角三角形SAC中，tan∠SCA= = AC 3 ∴ ∠ SCA=300 ， ∴∠CDE=900--∠SCA=600 解毕。
19题） 如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， 已知：DC=DC1=2AD=2AB,AD⊥DC, AB//DC （Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E //平面 A1BD ； （Ⅱ）求二面角 A1-BD-C1余弦值。
规范训练二：
2、（本小题为2008年山东高考理科试卷 20题） 如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面 ABCD , ∠ABC =600 ， E、F分别是BC、PC 的中点． （Ⅰ）证明：AE⊥PD ； （Ⅱ）若 H为 PD上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6 ，求二面 2 角E-AF-C 的余弦值．
α β γ
A B β
探究准备：
2、两个平面的法向量 的夹角与这两个平面 所成的二面角的平面 角有怎样的关系？
答：相等或互补
α
β m
互补
α
β m
相等
探究一：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平 分SC,分别交AC、SC于D、E，且 SA=AB=a,BC= 2 a. 求：平面BDE和平面BDC所成的二 面角的大小。
请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：
试一试：
S
例1、如图：在三棱锥S-ABC中，
SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平 分SC,分别交AC、SC于D、E，且 SA=AB=a,BC= 2 a. 求：平面BDE和平面BDC所成的二 面角的大小。
A D
E
C
B
规范训练一
1、（本小题为2007年山东高考试卷理科
D1 A1 F D A P B C B1 C1
解法二：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线； 因为是直棱柱，所以AA1 ⊥ 底面ABCD, 过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF, 由三垂线定理可知，EF⊥PB, ∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角； 同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300， Rt△APB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱 的棱长为2）又AF= 1, ∴∠AEF=450，即 为所求。 D1 A1 F D C B E P C1
B1
A
思考：这种解法同解法一有什么异同？
解法三：
法向量法：建系如图：
设这个四棱柱各棱长均为2. 则D(0，0，0） D1（0，0，2） B（1， 3 ，0） F（-1， 3 ，1） ∴ BF =（-2，0 ，1） A1 F A D1
z C1 B1 D C x
DB
1
=（1， 3 ，-2）
DD1 就是平面ABCD的法向量，再设平面 显然， BDD1的一个法向量为向量 u =(x0,y0,z0)。则 u⊥ FB 且u⊥ D1 B
1
D1
C1
B1
A1
（θ是所求二面角的平面角） 以下求面积略。
F
D
A B
C
点评：这种解法叫做“射影面积法”
在选择和填空题中有时候用起来会很 好
总一总：求二面角的方法你都
学会了哪些？每一种方法在使用 上要注意什么问题？
请同学们先自己思考，然后小 组内交流学习一下。
二面角的几种主要常用的求法：
1、垂面法。见例一和例二的解法一； 2、三垂线法。见例二的解法二； 3、射影面积法。见例二的解法三； 4、法向量夹角法。见例二的解法四。
2、三垂线定理、平面的 法向量。
探究准备： 答
二、想一想：
1、怎样做出二面 角的平面角？
：1、做二面角的平面角主 要有3种方法：
（1）、定义法：在棱上取一 点，在两个半平面内作垂直于 棱的2 条射线，这2条所夹 的 角； （2）、垂面法：做垂直于棱 的一个平面，这个平面与2个 半平面分别有一条交线，这2 条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半 平面内一点（记为A）做另一 个半平面的一条垂线，过这个 垂足（记为B）再做棱的垂线， 记垂足为C，连接AC，则 ∠ACB即为该二面角的平面角。 α C α β
其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的 方法 ，也称为 直接法；射影面积法和法向量 法是没有找出平面角而求乊的方法，也称乊为 间接法。
点评
这几种方法是现在求二面角的常用 的方法，在高考中经常被考查；尤其是 向量法，更有着广泛的被考查性，在应 用的时候主要注意以下两点： 1、合理建系。本着“左右对称 就地取 材”的建系原则。 2、视图取角。由于法向量的取定有人为 的因素，其夹角不一定正好是二面角的 平面交的大小，我们要视原图形的情况 和题意条件进行正确的选择大小，即要 么是这个角，要么是它的补角。
P F A B E C D
谢谢大家的合作
祝大家学习进步
再见
探究准备：
一、忆一忆：
的大小范围；
答：1、二面角是指从一条直线出发的两
个半平面所组成的图形；
平面角是指以二面角的棱上一点为 端点，在两个半平面内分别做垂直于棱 1、二面角的概念，二面角 的两条射线，这两条射线所成的角就叫 的平面角的概念，二面角 做该二面角的平面角。 二面角的大小范围： [00 ，1800]; 2、三垂线定理：平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它就和这条斜线垂直； 平面的法向量：直线L垂直平面α， 取直线L的方向向量，则这个方向向量叫 做平面α的法向量。 （显然，一个平面的法向量有无数个， 它们是共线向量）
2 2
S
E A D C
B
议一议：刚才的证明过
程中，是用什么方法找到 二面角的平面角的？ 请各小组讨论交流一下。
2
2
2
2
探究二：
试一试 例二：如图：直四棱柱ABCDA1B1C1D1,底面ABCD是菱形， AD=AA1 ，∠DAB=600,F为棱AA1的中 点。 求：平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
A1 F A D1 B1 C1
D
B
C
要求：1、各人思考；2、小组讨论；
3、小组交流展示；4、总结。
解法一：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连 接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线。 ∵ F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中 点，∴AP=AB, 又∵∠ DAB=600,且底面ABCD是菱形， ∴可得正三角形ABD, 故 ∠DBA=600, ∵∠P=∠ABP=300, ∴∠DBP=900,即PB⊥DB； 又因为是直棱柱，∴DD1 ⊥ PB, ∴PB⊥面DD1B, 故 ∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面 角。 显然BD=AD=DD1, ∴∠DBD1=450。即为所 求. 解毕。