三重纯量积

力矩M的大小告訴著我們向量 繞著向量M逆時針旋轉的傾 向。(用右手定則)
Figure 11.39
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三重純量積
The Triple Scalar Product
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三重純量積
給定空間向量 u、v、 w ，則 u 和 v ×w的內積Fra Baidu biblioteku (v ×w)
被稱作三重純量積。
定理11.9: 純量三重積
a. u ×v
b. v ×u
c. v ×v
解:
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例題 1 – 解 cont’d
注意(b)的答案和(a)僅差一個負號。
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外積
定理11.7: 外積的代數性質 設u、v、w為三個空間向量，c為純量。
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外積
定理11.8: 外積的幾何性質 設u、v為空間中非零向量， 為u、v的夾角。
垂直於u、v。 。
u與v平行。
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外積
定義: 空間向量的外積
令
、
，
則兩向量的外積是
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外積
一種便利的方式去計算u ×v 就是使用行列式餘因式展開的方 法。
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外積
記得減號符號在j分量前。 任何2 ×2 行列式都可以用對角線 的型式計算。
以下有兩個計算的例子:
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例題 1 – 計算外積
設u = i – 2j + k 和 v = 3i + j – 2k，求出下列問題的外積。
三重純量積
從定理11.10我們很自然地得到一個結果:
三個向量共平面 平行六面體的體積為0。
也就是說: 如果這三個向量 有相同的初始點且他們共平面

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例題 2 – 使用外積
找出一個單位向量會與下列兩個向量垂直 :
u = i – 4j + k
v = 2i + 3j
解: u ×v的外積如圖11.37表示，它與u 和 v 垂直。
Figure 11.37
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例題 2 – 解法 cont’d
因為 所以垂直於 u 和 v 的單位向量為:
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外積
在物理學上，外積可以被用來測量扭力矩(torque)—力 F施於 點 P的力矩(moment)M, 如圖 11.39所示。 施力點在 Q,，則 F 在 P 點造成的力矩為
學習目標
求空間中兩向量的外積 運用向量的三重純量積(triple scalar product)
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外積
The Cross Product
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外積
在物理學、工程學、幾何學上，有許多運用關於「已知兩空 間向量，求垂直向量」。 我們將學習外積來求此向量。 外積是一種極為容易用單位向量式來定義與計算。 因為它計算的結果是向量，所以它又被稱做向量積。
設三向量
、
、
與
，
則它們的三重純量積為:
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三重純量積
如果u、 v、 w 沒有在同一平面， 則三重純量積u (v ×w) 可 以被用來表示以u、 v、 w為鄰邊的平行六面體的體積(多面體， 任何表面是平行四邊形) ， 如圖 Figure 11.41所示。
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Figure 11.41
三重純量積
定理11.10: 三重純量積的幾何性質
一個以u、 v、 w為鄰邊的平行六面體，它的體積V是 :
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例題5 – 用三重純量積計算體積
用u = 3i – 5j + k、 v = 2j – 2k、 w = 3i + j + k 為鄰邊構成的平 行六面體，求它的體積。 解: 從定理11.10得知
Figure 11.42
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例題5 – 解 cont’d 20
以u、v為鄰邊構成的平行四邊形面積。
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外積
u ×v 和 v ×u 都會和 u 、 v所構成的平面垂直。 其中一種記 住 u、v 和 u ×v方向的方法是比較單位向量 i、j和 k = i ×j， 如圖11.36。
Figure 11.36
u、v 和 u ×v 這三個向量構成了一個右手系統， 然而 u、v 和 v ×u 構成了左手系統。