第六章代数系统
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第六章代数系统
1. 填空题:f是X上的n元运算的定义是()。
2. 判断正误,并说明原因:自然数集合N上的减法运算“-”是个封闭的运算。
3. 判断正误,并说明原因:实数集合R上的除法运算“”是个封闭的运算。
4.填空题:代数系统的定义是:()。
5. 填空题:*是X上的二元运算,*具有交换性,则它的运算表的特征是()。
6.填空题:*是X上的二元运算,*具有幂等性,则它的运算表的特征是()。
7. 简答题:*是X上的二元运算,*具有幺元,如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元
8. 简答题:*是X上的二元运算,*具有零元,如何在它的运算表上判定哪个元素是零元
9. 简答题:*是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素是元素x的逆元
10 令N4={0,1,2,3},N4上定义运算+4:
任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)=1
请列出
11. 判断正误,并说明原因:对于整集合I上的减法运算“-”来说, 0是幺元。
12. 填空题:E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的交运算的幺元是()。零元是()。有逆元的元素是(),它们的逆元分别是()。
13. 填空题:E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的并运算的幺元是()。零元是()。有逆元的元素是(),它们的逆元分别是()。
14. 填空题:E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的对称差运算的幺元是()。零元是()。有逆元的元素是()。它们的逆元分别是()。
15. 填空题:对于自然数集合N上的加法运算“+”,13=()。
16. 填空题:你所知道的满足吸收律的运算有()。
17. 填空题:你所知道的具有零元的运算有(),其零元是()。
18. 设是X上的二元运算,如果有左幺元 e L∈X,也有右幺元 e R∈X,则 e L=
e R =e ,且幺元 e 是唯一的。
19. 设是X上的二元运算,如果有左零元θL∈X,也有右零元θR∈X,则θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。
20. 设是X上有幺元e且可结合的二元运算,如果 x∈X,x的左、右逆元都存在,则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。
21. 设是X上且可结合的二元运算,如a∈X,且a-1∈X,则a是可消去的,即
任取x,y∈X,设有a x=a y 则x=y。
22. 对于实数集合R,给出运算如下:+是加法、—是减法、是乘法、max 是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。判
N”。
+-max min|x-y
|
可结合性
可交换性
存在幺元
存在零元
23. 设R是实数集合,在R上定义二元运算* 如下:任取x,y∈R,
x*y=xy -2x -2y +6
1.验证运算* 是否满足交换律和结合律。
2.求运算*是否有幺元和零元,如果有请求出幺元和零元。
3.对任何实数x ,是否有逆元如果有,求它的逆元,如果没有,说明原因。
24.设是X 上有幺元e 且可结合的二元运算,求证如果x ∈X ,都存在左逆元,则x 的左逆元也是它的右逆元。
25. .给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质,并用“Y ”表示“有”,用“N ”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、
有可逆元素,要指出这些元素是什么。
交换性 幂等元
幂等性 有幺元
有零元 有可逆元素
a )
b )
c )
d )
26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构
27. 什么叫做同态核
a b c b c a b c b c a c a b
a ) a
b
c b c a b c b a c c c c
b )
a b c b c a b c a b c a b c
c )
a b c b c a b c b b c c c b
d )
28.请举同构的两个代数系统的例子,并说明它们同构的理由。
29. 给出集合A ={0,1,2,3}和A 上的二元运算“*”。集合B ={S,R,A,L}和B 上的二元运算“o ”。 它们的运算表如下面所示。验证与同构。
30令S={
31. 令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…},+表示加法,*表示乘法, 问和是否同构为什么
32 已知代数系统和
,其中S={a,b,c} P={1,2,3} 二元运算表如下所示:
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1
2
3 0
2 2
3 0 1 3 3 0 1 2
*
S R A L
S S R A L R R A L S
A A L S R L L S R A
o
试证明它们同构。
33给定两个代数系统,
上的乘法运算;
34. 已知代数系统
35. 已知代数系统
36. 已知代数系统
37. 已知代数系统
38 已知代数系统
射, 请证明如果
∈X, 则
逆,即y -1∈Y 。 且如果y=f(x) ,则 y -1= (f(x))-1 =f(x -1
)。(x 映像的逆元=x 逆元的映像)
a b c
a b c
a b c b b c
c b c
1 2 3
1 2 3
1 2 1 1 2 2
1 2 3
*