具有非线性中立型项的二阶非线性差分方程非振动解的存在性

文章编号： １７ －０ ５２ １）４ ０ １ ４ ６ ４８ ８ （０ ２０ — ０ 卜０
具 有 非 线 性 中立 型 项 的二 阶 非 线 性 差 分 方程
非振 动解 的存在性
王志伟 ，邓 志云
（ 冈山大 学数 理学 院 ，江西 ，吉安 井 ３ ３０ ） ４ ０９
摘
要 ：主要讨论含非线性 中立型项 的二阶非线性差分方程 非振 动解 的存 在性 。我们利用 Ｂ ｎｃ ａａｈ压缩映射原理
注 ：若 本文 中不 等式 没有特 别指 明成立 范 围 ， 均 指对 充分 大 的 自然 数成 立 。
｛ ） ｃ （ ｝为 正 整 数 序 列 ， 且 ｌ ） ｒ ｉ （ ＝∞ ， ｍｖ 刀
ｌ ｉ （） ｍ ｆ， ＝∞ 。 ？ 本文 中总 是假 设 ： （ ） （， 关 于 连 续 ， 且 当 ≠０时 ，有 ） ｘｐ（） ｃ ＞０，ｉ ，， ， ＝１ …，： ２
不 带 自伴 差分 方程 正解 的存 在性 。本文 将 要讨 论带
Ａａ （ 一 ｐ ））∑ （ （ａｘ ∑ｔ ， ）＋ ）
ｎ 力０
）０ ） ， ＝
自伴 的二 阶差 分方 程非 振动 解 的存 在性 。另外 ，文
收稿 日期：２ １—３ ２ ；修 改 日期 ：２ １—４ ３ ０ ２０ —２ ０ ２０ —０ 基金 项 目： 吉市 科计 字［０ ９４ ２ ０ ］０号 ３ 作 者简 介： ＋ 志 伟（９ ７ ） 王 １７ 一，男 ，江 西 吉水人 ，讲 师 ，硕 士 ，主 要从事 动 力系 统 与稳定 性 的研 究（— ｉ ｗ ｚｗ ２ ０ ＠ １ ６ ｏ ； Ｅｍａｌ ｈｈ ｈ ０ ３ ２ ． ｍ） ： ｅ 邓志 ￣（９ ５ ） １７ 一，男 ，江西 吉水 人 ，副教 授 ，硕士 ，主要从 事 应用 数 学研究 （— ｉ ｄｎｃｕｘａ １８ ＠１３ｃｒ） Ｅｍａｌ ｉｇｈ ｎｉｏ９ ７ ６ ． ｎ ． ： ｏ
由条件 （ ．） 存在 正整 数 １ ， ４ 有
５ （， 一 ，） ｌ ） 玄∑（ｃ （ ） ¨ｊ ｌ ｔ ， ｏ ＝ ｔ ＜
∑ ｌ ） ｐ
０ ０
０ ｏ
Ｘ￣ Ｘ／ ， ｍ ≤ ’ Ｘ （ （） ｃ ｚ ）
－
… ２ ， ・ ７
～
～
㈤ Ｉ ＋
ＴＨ Ｅ ＥＸＩ ＴＥＮＣＥ Ｆ Ｅ Ｓ ｏ ＴＨ Ｎｏ Ｎ． ＳＣＩ ｏ ＬＬＡＴｏ ＲＹ ｏ ＬＵＴＩ Ｓ ｏＮ Ｒ Ｆｏ ＴＨＥ
Ｓ ＣｏＮＤ ＤＥ ＮｏＮＬ ＮＥ Ｅ ｏＲ Ｒ Ｉ ＡＲ Ｆ ＥＲ ＤＩ Ｆ ＥＮＣＥ Ｅ ＱＵ ｒ ｏＮ、 Ｔ Ｉ Ｍ Ｈ
Ｎｏ ＮＬＩ ＮＥＡＲ ＮＥＵＴＲＡ Ｌ ＴＥＲＭ Ｓ
＿ ＿
１ ２
井冈山大学学报（ 自然科学版）
其 中 “Ａ”表 示 向前差 分算 子 ，即
，
＝Ｘ＋一 ； ｎ 。
的 解 ｛ 存 在 正 整 数 Ⅳ ， 使 得 当 ）
Ｎ 时 ， 有
， 为给定 自 ， ｆ 然数； ａ ｝ ｛ 是正实数序列；｛ （） ， １ ｝ 『
＜ ；差分方程的解 ｛ 称为非振动的，如果 ０ ） 最终为正或最终为负；否则，称 ｛ 为振动的，即 ） 即不最终为正，也不最终为负。
关于 中立 型差 分方 程 的研 究 ，除 了在 理论 上 具
献 ［］ 论 了该 类 具有 非 线性 中立 型 项 的二 阶 非 线 ４讨
有 非常 重要 的意 义外 ，在 实 际应 用 中也有 着 非常 重
性 差 分方 程解 的振 动性 ，文献【】 用 Ｂ ｎｃ ６利 ａａｈ压 缩 映射 原 理 讨 论 了带 单 滞 量 自伴 二 阶 差 分 方 程 正 解 的存 在性 ，本 文将 利 用 Ｂ ｎｃ ａａｈ压 缩 映射 原理 和离
第３ ３卷第 ４期 ２１ ０ ２年 ７ 月
Ｖ １ ３ Ｎｏ ｏ． ． ３ ４ Ｊ ｌ． ０ ２ ｕｙ ２ １
井 冈山大 学学报 （ 自然 科学 版）
Ｊｕｎ ｌｏ ｉｇ ａ ｇｈ ｎ Ｕｎｖｒｉ Ｎａ ｒｌＳ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｆＪ ｇ ｎ ｓａ ｉｅｓｙ（ ｔ ａ ｃｅ ｅ ｎ ｔ ｕ ｎ １ １
件
证 明 设 Ｂ 为 所 有 有 界 实 序 列 ＝ ＝ Ｃ
｛一。 Ｘｏ构成的 Ｂｎｈ空间，ｌ＝ｕｌｌ ｏ ａｃ ａ Ｉ ｓ ｘ 。取 ｘ ｐ ｌ ｌ
，
Ｍ２ ０，使得 Ｍ。 １ ） ，且 Ｍ２ ｂ ＞ ＜（ 一ｐ Ｍ２ ≤ 。
ＢＣ的一个 子集， ， ｎ｝ ０
阶差 分方 程非 振 动解 的存 在性 ，推 广 了文献 【】 ６。下 面 我 们 将 研 究 带 多 滞 量 的 自伴 差 分 方 程 非 振 动 解 的存 在性 问题 。
， ｔ
立 型差 分 方程 的正解 存 在性和 振 动 性 ，文献 ［．，］ ３４７ 讨 论 了差 分方 程 的解 的振 动 性 ，文 献 ［．１讨 论 了 ８１］
（ｘ（） ａ＋ｐ ＋ｃ ｒ） ｎ ＾
井 冈山大学学报（ 然科 学版） 自
ｌ ３
Ｊｘ ｎ一 ） ） （ Ｘ）（ （ ｌ ｒ
ｃ ＝
｛
，
｝
。 使得 当 ，
（． ２） ６
时，
Ｉ（ ， ） 仍 ， ）一 ∑ ） ） ， 一 ）
ｌ＝ ｌ ｉ
ｉ ｅ ｅ ｃ ｑ ａｉ ｙｍ ｉ ｇｆ ｆ ｄ ｆ ｒ ｎ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ｂ ｋ ｎ ｔ ｌ ｐ ｉ ｇ ｏ ａ ｉ ｕ ｍ ｐｎ ． ａ Ｋｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｄ ｆｅ ｅ ｃ ｑ ａ ｉ ｎ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｅ ｔａ ｒ ｏ ｃｌ ｔ ｎ ｎ ｎ ｏ ｃ ｌ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｌ ａ ｎ ｉ ｒ ｎ ｅｅ ｕ ｔ ； ｏ ｎ ａ ｕ ｒ ｌ ｅ ｍ； ｓ ｉ ａ ｉ ； ｏ － ｓ ｉ ａ ｉ ｏ ｌ ｎ ｔ ｌ ｏ ｌ ｏ
（） （，） ２ 关于 单调不减， 且存在 ｂ ，使 ＞０
ｏ ｏ
∑ ， ） Ｍ ｐ ２ 制
一
（２ ２） ．
（． ２３ ）
，
＜
２… ，
：
刀＋ ） １
ａ
≤
如 通常 一样 ，方程 （ ．）的最 终正 解是指 方程 １１ （ ．）的解 ｛ 存 在 正整数 Ⅳ ，使得 当 １１ ） Ｎ时，
Ｐ（ ＞ ，０ ｉ）０ ∑Ｐｎ ＜ ； ｉ） １ （ ｐ
（ ） ｊｎ ） ３ ｆ （， 关于 连续 ，且 当 ≠０时，有
（ ＞０， Ｊ＝１ ， ， ， …，； ２ 对 于方程 （．）假 设有 如下 条件之 一 １ １ （ ）在 Ⅳｏ ［，】 ，其 中 ｂ＞０满足 Ｌｐ条 １ × ０ｂ 上 ｉ 一
１ 主要 结 果
定理 ２１ 设对 于方 程（．） ． １ 条件 （ ） （ ） １ Ｈ ， Ｈ： ， （ ）和 （ ）成 立 ，则方程 （． 存在 一个 有界 正 Ｈ １ １１ ）
解。
（ ） 刀 ）￣ ） Ｐ（ ｖ 且 （ｕ－ ，ｌ ｉ）一Ｉ ， ｏ Ｖ （ 刀 ，
在 Ｑ上定义映射 ：Ｑ Ｂ ：Ｑ Ｂ Ｃ， Ｃ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｗ ｅ ｍａｎ ｙ ｄ ｓ ｕ ｓ ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｈ ｏ － ｓ ｉ ａ ｏ ｙ ｓ ｌ ｔ ｎ ｆ ｒ ｔ ｅ ｓ ｃ ｎ ｒ ｅ ｏ ｌ ｅ ｒ ｉ ｌ ｉｃ ｓ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆ ｔ ｅ ｎ ｎ ｏ ｃｌ ｔ ｒ ｏ ｕ ｉ ｏ ｈ ｅ ｏ ｄ ｏ ｄ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ｌ ｏ ｎ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｑ ａ ｉ ｎ ｗｉ ｏ ｉ ｅ ｒ ｎ ｕ ｒ ｌｔｒ ． ｓ ｄ ｏ ｈ ｎ ｃ ｏ ｔａ ｔｏ ｐ ｉ ｇ ｐ ｉ ｃ ｐ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｉ ｒ ｎ ｅ ｅ ｕ ｔ ｔ ｎ ｎ ｎ ａ ｅ ｔａ ｅ ｍｓ Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｅ Ｂａ ａ ｈ ｃ ｎ ｃｉ ｎ ｍ ｐ ｎ ｒｎ ｉ ｌ ｎ ｈ ｏ ｈ ｌ ｒ ａ
散 的 Ｋ ａｎ ｓｌ ｉ不 动 点定理 讨 论带 多滞 量 自伴二 ｒｓｏ ｅ ｋｉ ｓ
要的意义。例如在高速计算机连接开关电路的无损 耗传输 网络 以及弹性体 上质 点振 动 问题中都有着
其 实 际应 用背 景 。近 年来 ，对 于差 分方 程解 的振 动
性 和 非振 动性 的研 究引起 了人们 的广 泛关 注 ，并 且 得 到 了许 多好 的结果 。文献 ［， ， ２讨 论 了二 阶中 １ ５ １］
ｉ ｃｅｅ Ｋｒ ｓ ｏ ｅｓ ｉ’ ｆ ｅ ｏ ｎ ｏ ｅ ｄｓｒ ｔ ａ ｎ ｓ ｌｋｉ ｘ ｄ ｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｍ，ｗｅ ｏ ｔｉ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆ ｅ ｅ ｔａ ｌ ｏ ｉｖ ｏｕｉｎ ｏ ｈ Ｓｉ ｈ ｂａｎ ｔｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｖ ｎ ｕ ｌ ｐ ｓ ｉ ｅ ｓ ｌｔ ｆｔ ｅ ｙ ｔ ｏ
【 （ （１ ） ）
＋ － ｔ 一
ｎ≤ ＜ ｌ ０ 刀
：
ｘ￣ － ＋ ｘ∈Ｑ ，当 ｎ ０ Ｃ ，由 （ ．）和 （ ．）和 ２１ ２２
（． ２ ），有 ４
（ ： 一 ，
，
ｌ ‘
Ｍ、
所 以 ＱｃＱ 。
以下 证 明 是 Ｑ 内 的一 个 压 缩 映射 。对 任 意 Ｙ∈Ｑ ， 由 （ ）和 （ ．）得 Ｈ２ ２３
其中 ａ ， ｒｎ ｄ ｝ ｉ｛
由条 件 （ ） ２ ，（ ）及 （．） １ ） Ｈ１，（ ） Ｈ３ １ 、（． ，所 ２ ３ 以存 在正 整数 ｎ ≥ｎ ，使得 当 １≥ 有 ｌ ｏ ， １ ＝ｍｉ｛， 刀， （） ＝１ ， ， Ｊ＝１ ， ， ｎ ｎｆ（） ； ， … ， Ｊ ｆ ２ ， ，… ｔ ２ ｝
Ｗ ＡＮＧ Ｚ ｉ ｉ ＤＥＮＧ Ｚ ｉｙ ｎ ｈ． ， ｗｅ ｈ． ｕ
（ｃ ｏ ｌ ｆ ｔｅ ａｉ ｄＰ ｙｉｓＪｎ ｇ ｎ ｓａ ｉ ｒ ｔ， ’ｎ ｉｎ ｘ ４ ０ ９Ｃ ｉａ） Ｓ ｈ ｏ Ｍａ ｍ ｔ ｓ ｎ ｈ ｓ ）ｉｇ ａ ｇ ｈ ｎ ｏ ｈ ｃａ ｃ Ｕｎｖ ｓｙＪ ａ ，ａ ｇ ｉ ３ ０ ， ｈ ｅｉ ｉ Ｊ ３ ｎ
∑ １－￣ （， ） Ｍ － 乙∑厂 ） ： ｃ
¨ 脚 Ｊ ， ＝ｌ
（４ ２） ・
有 ＞ ；方程 （．）的最终负解是指方程 （．） ０ １ １ １ １
（ ）） （ ：
在集 合 Ｑ 匕 义映 射 ： Ｑ Ｂ 定 Ｃ如 下
ｌ （ 一 ｓ∑ （ ｃ ｃ ＝ ＝ ＋ ÷ｓ ， ） ） ｍｌ 一 ∑ ＝ ｊ
ｌｊｎＵ 一 （，） Ｉ ｇ（） ０， （，） Ｖ Ｉ （） 一Ｖｌ ｊ ｆ ｇ ，
（． １） ２
且
则 Ｑ 是 Ｂ 的一 个 闭 的有 界 凸子集 。取 ＞０，使 Ｃ 得 Ｍ１ ＜ａ＜（ ｐ ２ 卜 ） ，令
ｒ ｔ Ｍ — ｍ— — ， Ｍ Ｊ ｌ — ｌ１ ｛ ， 茎 ） ＜ 乩， （ 州 ２， １ Ｃｉ等 ， ＝ ， ・ … ． ｉ ．二＿＿｝ ｌ ， ３ ＝ｎ＋— — —一 ）
和 离散的 Ｋ ａｎ ｓｌ ｉ不动点定理 ，通过构造适当的映射给 出了差分方程存在 最终 正解 的存 在性 定理 。 ｒｓ ｏｅ ｋｉ ｓ 关键词：非线性差分方程 ；非线性 中立 型项 ；振动 性：非振动性
中图分类号：Ｏ １ ． ２ ２８ 文献标识码：Ａ
・
Ｄ ：０３ ６ ￣ｉ ｎ１７ — ０ ５２ １ ． ．０ ＯＩ ． ９ ． ｓ． ４ ８ ８．０ ２０ ０ ３ １ ９ ｓ ６ ４