高考数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题
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例14、已知函数 （ ）存在单调递减区间，求 的取值范围
三、不等式恰好成立问题的处理方法
例15、不等式 的解集为 则 ___________
例16、已知 当 的值域是 ,试求实数 的值.
例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。
（1）对任意x [-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
例11、当x (1,2)时，不等式 < 恒成立，求a的取值范围。
二、不等式能成立问题的处理方法
若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；
若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .
例12、已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围______
例13、若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是 ．
例8、解析: 当 时，由 得 .令 ，则易知 在 上是减函数，所以 时 ，则 ∴ .
例9、解析：（1） （2） 在区间 上单调递增 在 上恒成立 恒成立 ， 。
设 ， ，
令 得 或 (舍去)，
当 时, ，当 时 百度文库 单调增函数；
当 时 ， 单调减函数,
。 。
当 时， ，此时 在区间 恒成立，所以 在区间 上单调递增， ， 。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恒成立问题的处理方法
1、转换求函数的最值：
（1）若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 ， 的下界大于A
（2）若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 , 的上界小于A
例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x [-1,+ ]时，都有f(x) a恒成立，求a的取值范围。
（2）存在x [-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
（3）对任意x1、x2 [-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1、若不等式 对任意实数x恒成立，求实数m取值范围
2、已知不等式 对任意的 恒成立，求实数k的取值范围
3、设函数 ．对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值。
综上，当 时, ； 当 时， 。
例10、解析：对 ,不等式 恒成立
则由一次函数性质及图像知 ，即 。
例11、解：1<a 2.
例12、解：
例13、第二个填空是不等式能成立的问题. 设 .则关于 的不等式 的解集不是空集 在 上能成立 ,
即 解得 或
例14、解： ，则
因为函数 存在单调递减区间，所以 有解.由题设可知, 的定义域是 ,
11、①对一切实数x,不等式 恒成立，求实数a的范围。
②若不等式 有解，求实数a的范围。
③若方程 有解，求实数a的范围。
12、 ①若x,y满足方程 ，不等式 恒成立，求实数c的范围。
②若x,y满足方程 ， ，求实数c的范围。
13、设函数 ，其中 ．若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
例5、若不等式 对 恒成立，求实数a的取值范围
例6、若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围
例7、已知函数 ，其中 为实数．若不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围．
3、分离参数法
（1） 将参数与变量分离，即化为 （或 ）恒成立的形式；
（2） 求 在 上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式 (或 ) ，得 的取值范围。
而 在 上有解,就等价于 在区间 能成立,即 , 成立, 进而等价于 成立,其中 .
由 得, .于是, ,
由题设 ,所以a的取值范围是
例15、解：6
例16、解：是一个恰成立问题,这相当于 的解集是 .
当 时,由于 时, ,与其值域是 矛盾,
当 时, 是 上的增函数,所以, 的最小值为 ,令 ,即
4、对于满足|p| 2的所有实数p,求使不等式 恒成立的x的取值范围。
5、已知不等式 恒成立。求实数 的取值范围。
6、对任意的 ，函数 的值总是正数，求x的取值范围
7、 若不等式 在 内恒成立，则实数m的取值范围 。
8、不等式 在 内恒成立，求实数a的取值范围。
9、不等式 有解，求 的取值范围。
10、对于不等式 ，存在实数 ，使此不等式成立的实数 的集合是M；对于任意 ，使此不等式恒成立的实数 的集合为N，求集合 ．
14、设函数 ，其中常数 ，若当 时， 恒成立，求 的取值范围。
15、已知向量 =( ，x+1)， = (1-x，t)。若函数 在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案
例1、解：a的取值范围为[-3，1]
例2、解：等价于 对任意 恒成立,又等价于 时, 的最小值 成立.
例2、已知 对任意 恒成立,试求实数 的取值范围;
例3、R上的函数 既是奇函数，又是减函数，且当 时，有 恒成立，求实数m的取值范围.
例4、已知函数 在 处取得极值 ，其中 、 为常数.（1）试确定 、 的值； （2）讨论函数 的单调区间；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
2、主参换位法
例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值.要使 恒成立，只需 .即 ，
从而 . 解得 或 . 的取值范围为 .
例5、解： 例6、解：
例7、解析：由题设知“ 对 都成立，即 对 都成立。设 （ ），
则 是一个以 为自变量的一次函数。 恒成立，则对 ， 为 上的单调递增函数。 所以对 ， 恒成立的充分必要条件是 ， ， ，于是 的取值范围是 。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例8、当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .
例9、已知函数 ,其中 （1）当 满足什么条件时, 取得极值?（2）已知 ,且 在区间 上单调递增,试用 表示出 的取值范围.
4、数形结合
例10 、若对任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________
由于 在 上为增函数,
则 ,所以
例3、解：由 得到： 因为 为奇函数，
故有 恒成立，
又因为 为R减函数，从而有 对 恒成立
设 ，则 对于 恒成立，
在设函数 ,对称轴为 .
①当 时， ，
即 ，又 ∴ (如图1)
②当 ，即 时,
,即 ,
∴ ,又 ,∴ (如图2)
③当 时， 恒成立.∴ (如图3)
故由①②③可知： .
三、不等式恰好成立问题的处理方法
例15、不等式 的解集为 则 ___________
例16、已知 当 的值域是 ,试求实数 的值.
例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。
（1）对任意x [-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
例11、当x (1,2)时，不等式 < 恒成立，求a的取值范围。
二、不等式能成立问题的处理方法
若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；
若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .
例12、已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围______
例13、若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是 ．
例8、解析: 当 时，由 得 .令 ，则易知 在 上是减函数，所以 时 ，则 ∴ .
例9、解析：（1） （2） 在区间 上单调递增 在 上恒成立 恒成立 ， 。
设 ， ，
令 得 或 (舍去)，
当 时, ，当 时 百度文库 单调增函数；
当 时 ， 单调减函数,
。 。
当 时， ，此时 在区间 恒成立，所以 在区间 上单调递增， ， 。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恒成立问题的处理方法
1、转换求函数的最值：
（1）若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 ， 的下界大于A
（2）若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 , 的上界小于A
例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x [-1,+ ]时，都有f(x) a恒成立，求a的取值范围。
（2）存在x [-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
（3）对任意x1、x2 [-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1、若不等式 对任意实数x恒成立，求实数m取值范围
2、已知不等式 对任意的 恒成立，求实数k的取值范围
3、设函数 ．对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值。
综上，当 时, ； 当 时， 。
例10、解析：对 ,不等式 恒成立
则由一次函数性质及图像知 ，即 。
例11、解：1<a 2.
例12、解：
例13、第二个填空是不等式能成立的问题. 设 .则关于 的不等式 的解集不是空集 在 上能成立 ,
即 解得 或
例14、解： ，则
因为函数 存在单调递减区间，所以 有解.由题设可知, 的定义域是 ,
11、①对一切实数x,不等式 恒成立，求实数a的范围。
②若不等式 有解，求实数a的范围。
③若方程 有解，求实数a的范围。
12、 ①若x,y满足方程 ，不等式 恒成立，求实数c的范围。
②若x,y满足方程 ， ，求实数c的范围。
13、设函数 ，其中 ．若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
例5、若不等式 对 恒成立，求实数a的取值范围
例6、若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围
例7、已知函数 ，其中 为实数．若不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围．
3、分离参数法
（1） 将参数与变量分离，即化为 （或 ）恒成立的形式；
（2） 求 在 上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式 (或 ) ，得 的取值范围。
而 在 上有解,就等价于 在区间 能成立,即 , 成立, 进而等价于 成立,其中 .
由 得, .于是, ,
由题设 ,所以a的取值范围是
例15、解：6
例16、解：是一个恰成立问题,这相当于 的解集是 .
当 时,由于 时, ,与其值域是 矛盾,
当 时, 是 上的增函数,所以, 的最小值为 ,令 ,即
4、对于满足|p| 2的所有实数p,求使不等式 恒成立的x的取值范围。
5、已知不等式 恒成立。求实数 的取值范围。
6、对任意的 ，函数 的值总是正数，求x的取值范围
7、 若不等式 在 内恒成立，则实数m的取值范围 。
8、不等式 在 内恒成立，求实数a的取值范围。
9、不等式 有解，求 的取值范围。
10、对于不等式 ，存在实数 ，使此不等式成立的实数 的集合是M；对于任意 ，使此不等式恒成立的实数 的集合为N，求集合 ．
14、设函数 ，其中常数 ，若当 时， 恒成立，求 的取值范围。
15、已知向量 =( ，x+1)， = (1-x，t)。若函数 在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案
例1、解：a的取值范围为[-3，1]
例2、解：等价于 对任意 恒成立,又等价于 时, 的最小值 成立.
例2、已知 对任意 恒成立,试求实数 的取值范围;
例3、R上的函数 既是奇函数，又是减函数，且当 时，有 恒成立，求实数m的取值范围.
例4、已知函数 在 处取得极值 ，其中 、 为常数.（1）试确定 、 的值； （2）讨论函数 的单调区间；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
2、主参换位法
例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值.要使 恒成立，只需 .即 ，
从而 . 解得 或 . 的取值范围为 .
例5、解： 例6、解：
例7、解析：由题设知“ 对 都成立，即 对 都成立。设 （ ），
则 是一个以 为自变量的一次函数。 恒成立，则对 ， 为 上的单调递增函数。 所以对 ， 恒成立的充分必要条件是 ， ， ，于是 的取值范围是 。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例8、当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .
例9、已知函数 ,其中 （1）当 满足什么条件时, 取得极值?（2）已知 ,且 在区间 上单调递增,试用 表示出 的取值范围.
4、数形结合
例10 、若对任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________
由于 在 上为增函数,
则 ,所以
例3、解：由 得到： 因为 为奇函数，
故有 恒成立，
又因为 为R减函数，从而有 对 恒成立
设 ，则 对于 恒成立，
在设函数 ,对称轴为 .
①当 时， ，
即 ，又 ∴ (如图1)
②当 ，即 时,
,即 ,
∴ ,又 ,∴ (如图2)
③当 时， 恒成立.∴ (如图3)
故由①②③可知： .