安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题
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【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及指数函数、对数函数的图象和性质，属于基础题.
2．D
【分析】
由二次不等式的解法得： 或 ，结合集合的包含关系及充要条件得“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件得： 或 ，得解.
【详解】
解不等式 得 或 ，
由“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件
得 或 ，
故选：D.
【点睛】
5．A
【分析】
根据平面向量的线性运算可得 ，结合平面向量数量积的运算即可得解.
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
二面角 的大小为 ，即 与 的夹角为 ，
∴ 与 的夹角为 ，
由平面向量的线性运算可知 ，
∴由平面向量数量积运算可得
，
来自百度文库∴ .
故选：A.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算与数量积运算，向量夹角的求法，属于基础题.
本题考查了二次不等式的解法及集合的包含关系及充要条件，属于基础题.
3．B
【解析】
由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 ，
故其体积为 ．选B．
4．A
【解析】
分析：由题意可构造以 为过一顶点的三条棱的长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由于长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此可得球半径，从而可求得球的体积．
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）若点 是直线 上的动点，过点 分别做圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：直线 过定点.
20．设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
21．如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 ，将 沿 折到 位置， .
2．“ ”是“不等式 成立”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）
A． B． 或 C． D． 或
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
4．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 两两垂直，则球 的体积为（ ）
15．在长方体 中， ， ，若E为 的中点，则点E到面 的距离是______.
16．自点 发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线L所在直线与圆 相切，则反射光线L所在直线方程为______.
三、解答题
17．已知命题 “存在 ”，命题 ：“曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 “曲线 表示双曲线”
10．已知点 为直线 上的一点， 分别为圆 与圆 上的点,则 的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3C． D．4
12．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为1的直线与抛物线 交于点 ，以线段 为直径的圆 上存在点 ，使得以 为直径的圆过点 ，则实数 的取值范围为（ ）
（1）若“ 且 ”是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
18．如图，已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， ， 是线段 的中点.
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)求二面角 的大小.
19．已知圆 满足：①圆心在第一象限，截 轴所得弦长为2；②被 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 ；③圆心到直线 的距离为 .
A． B．
C． D．
13．已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．
7．椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为( )
A． B． C．3D．6
8．已知双曲线 的两条渐近线均和圆 相切，且双曲线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆M过定点 且圆心M在抛物线 上运动，若x轴截圆M所得的弦为 ，则弦长 等于（）
A．2B．3
C．4D．与点位置有关的值
6．C
【分析】
A． B． C． D．
5．如图，在二面角 的棱l上有A、B两点，直线 、 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ，若二面角 的大小为 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
6．已知椭圆 的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
详解：∵三棱锥 中 两两垂直，
∴以 为过同一顶点的三条棱构造长方体，该长方体的外接球即为三棱锥的外接球．
又 是边长为 的正三角形，
∴ ，
∴长方体的体对角线为 ，即球 的直径为 ，
∴球 的体积为 ．
故选A．
点睛：关于球的内接几何体的问题，往往涉及到求球的体积或表面积，求解的关键是确定球心的位置和求出球的半径．当球外接于正方体（或长方体），即正方体（或长方体）的顶点均在球面上时，则正方体（或长方体）的体对角线长等于球的直径．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
22．设圆 的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明 为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于下列四个命题，其中的真命题是（）
： ， ；
： ， ；
： ， ；
： ， .
A． ， B． ， C． ， D． ，
参考答案
1．D
【分析】
根据指数函数和对数函数的图象和性质分别进行判断即可.
【详解】
∵ ，当 时， .即 ，即 ，则 ： ， 为假命题，
， ，
∵ ，
∴ 则 ，即 ： ， 成立，即 为真命题，
当 时， 不成立，即 是假命题，
当 时, ，所以 ，对于 ， 成立，即 为真命题，
综上可知，真命题为 ， ，
故选：D.
本题主要考查命题的真假判断，涉及指数函数、对数函数的图象和性质，属于基础题.
2．D
【分析】
由二次不等式的解法得： 或 ，结合集合的包含关系及充要条件得“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件得： 或 ，得解.
【详解】
解不等式 得 或 ，
由“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件
得 或 ，
故选：D.
【点睛】
5．A
【分析】
根据平面向量的线性运算可得 ，结合平面向量数量积的运算即可得解.
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
二面角 的大小为 ，即 与 的夹角为 ，
∴ 与 的夹角为 ，
由平面向量的线性运算可知 ，
∴由平面向量数量积运算可得
，
来自百度文库∴ .
故选：A.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算与数量积运算，向量夹角的求法，属于基础题.
本题考查了二次不等式的解法及集合的包含关系及充要条件，属于基础题.
3．B
【解析】
由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 ，
故其体积为 ．选B．
4．A
【解析】
分析：由题意可构造以 为过一顶点的三条棱的长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由于长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此可得球半径，从而可求得球的体积．
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）若点 是直线 上的动点，过点 分别做圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：直线 过定点.
20．设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
21．如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 ，将 沿 折到 位置， .
2．“ ”是“不等式 成立”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）
A． B． 或 C． D． 或
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
4．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 两两垂直，则球 的体积为（ ）
15．在长方体 中， ， ，若E为 的中点，则点E到面 的距离是______.
16．自点 发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线L所在直线与圆 相切，则反射光线L所在直线方程为______.
三、解答题
17．已知命题 “存在 ”，命题 ：“曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 “曲线 表示双曲线”
10．已知点 为直线 上的一点， 分别为圆 与圆 上的点,则 的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3C． D．4
12．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为1的直线与抛物线 交于点 ，以线段 为直径的圆 上存在点 ，使得以 为直径的圆过点 ，则实数 的取值范围为（ ）
（1）若“ 且 ”是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
18．如图，已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， ， 是线段 的中点.
(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)求二面角 的大小.
19．已知圆 满足：①圆心在第一象限，截 轴所得弦长为2；②被 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 ；③圆心到直线 的距离为 .
A． B．
C． D．
13．已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题
14．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．
7．椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为( )
A． B． C．3D．6
8．已知双曲线 的两条渐近线均和圆 相切，且双曲线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆M过定点 且圆心M在抛物线 上运动，若x轴截圆M所得的弦为 ，则弦长 等于（）
A．2B．3
C．4D．与点位置有关的值
6．C
【分析】
A． B． C． D．
5．如图，在二面角 的棱l上有A、B两点，直线 、 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ，若二面角 的大小为 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
6．已知椭圆 的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
详解：∵三棱锥 中 两两垂直，
∴以 为过同一顶点的三条棱构造长方体，该长方体的外接球即为三棱锥的外接球．
又 是边长为 的正三角形，
∴ ，
∴长方体的体对角线为 ，即球 的直径为 ，
∴球 的体积为 ．
故选A．
点睛：关于球的内接几何体的问题，往往涉及到求球的体积或表面积，求解的关键是确定球心的位置和求出球的半径．当球外接于正方体（或长方体），即正方体（或长方体）的顶点均在球面上时，则正方体（或长方体）的体对角线长等于球的直径．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
22．设圆 的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明 为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于下列四个命题，其中的真命题是（）
： ， ；
： ， ；
： ， ；
： ， .
A． ， B． ， C． ， D． ，
参考答案
1．D
【分析】
根据指数函数和对数函数的图象和性质分别进行判断即可.
【详解】
∵ ，当 时， .即 ，即 ，则 ： ， 为假命题，
， ，
∵ ，
∴ 则 ，即 ： ， 成立，即 为真命题，
当 时， 不成立，即 是假命题，
当 时, ，所以 ，对于 ， 成立，即 为真命题，
综上可知，真命题为 ， ，
故选：D.