变量分离方程与变量变换

0
x 得解 , y
X x 2 作变换 , 方程化为 Y y dY a1 X b1Y g ( Y ) X dX a2 X b2Y
0
0
Y 3 再经变换 u , 将以上方程化为变量分 离方程 X
4 求解
0
5 变量还原
0
dy x y 1 例7 求微分方程 的通解. dx x y 3
方程,称为变量分离方程.
(2.1)
这里f ( x), ( y)分别是x, y的连续函数 .
一、变量分离方程的求解
dy f ( x) ( y ) dx
(2.1)
1
0
分离变量, 当 ( y) 0时, 将(2.1)写成 dy f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. ( y)
0
的所有解.
y 方程两边同除以 y (1 ), 再积分 10

积分得:
dy y y(1 ) 10
dx c1
y ln x c1 10 y
从上式中解出 y, 再将常数记为 c, 得
y 由y (1 ) 0, 求出方程的所有解为 y 0和y 10, 10
故方程的所有解为:
du dx x 2 u
两边积分得:
即
u ln( x) c
2
du dx x 2 u
u (ln( x) c) , ln( x) c 0, c为任意常数
代入原来变量,得原方程的通解为
x[ln( x) c]2 , ln( x) c 0 y , 0, ln( x) c 0
X x , 作变量代换(坐标变换) Y y dY a1 X b1Y 则方程化为 dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
a1 x b1 y c1 0 1 解方程组 , a2 x b2 y c2 0
齐次线性方程组
非齐次线性方程组
P44
(I) 形如
dy y g( ) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g (u)是u的连续函数 .
y 求解方法: 1 作变量代换(引入新变量)u , 方程化为 x dy du du g (u ) u (这里由于 x u) , dx dx dx x
3 2
4 4 , 整理后得通解为: y 2 2 (ln x c1 ) (ln cx )
其中 c e ,由于函数 y 2 x 1在x 0无意义 ,
c1 3
故此解只在 x 0或x 0之一中有意义 .
此外还有解 y 0, 这个解未包含在通解中 , 应补上 .
例3 求微分方程
2
两边积分得 dy ( y) f ( x)dx c
(2.2)
f ( x)的某一原函数 1 的某一原函数 ( y)
由(2.2)所确定的函数 y ( x, c)就为(2.1)的解.
例：
分离变量: 两边积分:
dy x2 y2 1 dx dy 2 x dx 2 y 1
1 1 . 所以所求的特解为: y sin x 1 1 sin x
二、可化为变量分离方程类型 （I）齐次方程
a1 x b1 y c1 f a x b y c 的方程, 2 2 2 其中a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2为任意常数. dy ( II ) 形如 dx
当y 0时, 将变量分离 ,得
1 两边积分得: sin x c, y
dy cos xdx 2 y
1 因而通解为: y sin x c ,
其中c为任意常数 .
此外y 0也是方程的解 , 且不能在通解中取适当 的c得到.
再求初值问题的通解, 以y(0) 1代入通解 , 得c 1
dy p( x) y dx
的通解, 其中p( x)是x的连续函数 . dy 解: 将变量分离后得 p( x)dx y
两边积分得:
ln y p ( x)dx c1
p ( x ) dx c1 y e
由对数的定义有
p ( x ) dx c1 y e
即
p ( x ) dx p ( x ) dx y e e ce . c1
分离变量后得
三、应用举例
例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例， 且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的 半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求 雪球的体积随时间变化的关系。
解: 设在时刻t雪球的体积为 v(t ), 表面积为s(t ),则
根据球体的体积和表面积的关系得
10 y , x 1 ce
c 0.
10 y , c为任常数 , 和y 0. x 1 ce
y ln x c1 10 y
例2 求微分方程
解:
dy x y dx
3 2
的通解.
分离变量后得 两边积分得:
1 y dy dx x 1 2 y 2 ln x c1
0
2
0
解以上的变量分离方程
3
0
变量还原.
例4
求解方程
dy x 2 xy y dx
解: 方程变形为 dy y y 2 dx x x
( x 0)
( x 0)
y 这是齐次方程, 令u 代入得 x du du 即 x u 2 u u x 2 u dx dx
将变量分离后得
例6
求下面初值问题的解
( y x 2 y 2 )dx xdy ,
解: 方程变形为
y (1) 0
dy y y 2 1 ( ) dx x x y 这是齐次方程, 令u 代入方程得 x du x 1 u2 dx du dx 将变量分离后得 2 x 1 u
两边积分得: ln u 1 u 2 ln x ln c 整理后得 变量还原得



1 3 arctan y x 百度文库 3
dy 2 y 1
2 x dx C
注: 若存在y0 , 使 ( y0 ) 0, 则y y0也是(2.1)的解, 可能 它不包含在方程 (2.2)的通解中 , 必须予以补上 .
例1 解:
dy y 求微分方程 y (1 ) dx 10
代入得雪球的体积随时间的变化关系为
1 3
2 3
2 3
2 3
v(t )

6
(12 3t ) .
3
注 : 实际问题要求t [0,4].
作业
• P42: 1, 3, 5, 7 • P43: 2, 4, 6
例8 求微分方程
( y xy )dx ( x x y)dy 0
2 2
的通解.
解:
令u xy, 则du xdy ydx
代入方程并整理得
u(1 u)dx (1 u)(xdu udx) 0
即
2u dx x(1 u)du 0
2
u 1 2dx du 2 u x 1 2 两边积分得 ln u ln x c u 1 x 变量还原得通解为 ln c. xy y
dv (t ) ks (t ) dt
1 3 2 3
s(t ) (4 ) 3 v (t )
2 3
引入新常数 (4 ) 3 k , 再利用题中条件得
1 3
2 3
dv k (4 ) 3 v v , dt v(0) 288 , v(2) 36 1 3 分离变量并积分得方程的通解为 v (t ) ( c t ) . 27 由初始条件得 c 363 , 93 6 6
yf ( xy)dx xg( xy)dy 0 u xy 2 dy x f ( xy ) u xy dx dy y y xf ( 2 ) u 2 dx x x
以及
M ( x, y)(xdx ydy) N ( x, y)(xdy ydx) 0
(其中M , N为x, y的齐次函数 , 次数可以不相同 )等一 些类型的方程 , 均可适当变量变换化为 变量分离方程 .
dy dx
a1 x b1 y c1 dY a1 X b1Y Y f a xb y c dX f ( a X b Y ) g ( X ) 2 2 2 2 2
此外,诸如
dy f (ax by c) u ax by c dx
2
a1 a2 b1
b2 a1 b1 设 k , 则方程可改写成 a2 b2 dy a1 x b1 y c1 k (a2 x b2 y ) c1 f (a2 x b2 y) dx a2 x b2 y c2 a2 x b2 y c2
0的情形
令u a2 x b2 y, 则方程化为
将变量分离后得
(1 u )du dX 2 1 u X
1 两边积分得: arctan u ln(1 u 2 ) ln X c 2
变量还原并整理后得原方程的通解为
y2 2 2 arctan ln ( x 1) ( y 2) c. x 1
注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.
此外y 0也是方程的解 , 若在上式中充许 c 0, 即知y 0也包括在上式中 ,
故方程的通解为
p ( x ) dx y ce ,
c为任常数 .
例4 解:
dy y 2 cos x 求初值问题 dx 的特解. y (0) 1 dy 先求方程 y 2 cos x的通解 ， dx
解:
x y 1 0 解方程组 x y 3 0
得x 1, y 2,
令X x 1, Y y 2代入方程得
Y dY X Y 1 X Y dX X Y 1 2 X du 1 u Y 令u , 得 X X dX 1 u
这里a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2为常数.
的方程可经过变量变换化为变量分离方程. 分三种情况讨论
1 c1 c2 0的情形 y a1 b1 y dy a1 x b1 y x g( ) x dx a2 x b2 y a b y 2 2 x
为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.
第二周
• • • • 阶数与次数 线性与非线性 显示与隐式 通解与特解
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
dy 2 2 x y 1 dx


y x
dy x y ye dx
ye e
定义1 形如
dy F ( x, y ) dx
dy f ( x) ( y ) dx
dx 2 x 1 u
du
u 1 u cx
2
y y 2 1 ( ) cx x x
最后由初始条件 y(1) 0, 可定出c 1.
故初值问题的解为
1 2 y ( x 1) 2
(II) 形如
dy a1 x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
du dy a2 b2 f (u) a2 b2 dx dx
这就是变量分离方程
3
a1 a2 b1 b2
0且c1与c2不同时为零的情形
a1 x b1 y c1 0 则 , a2 x b2 y c2 0
代表xy平面两条相交的直线 , 解以上方程组得交点 ( , ) (0,0).