复合函数零点问题

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复合函数零点问题

例1：设定义域为的函数 ，若关于的方程R ()1

,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩

x 由3个不同的解，则______ ()()20f x bf x c ++=123,,x x x 22212

3x x x ++=思路：先作出的图像如图：观察可发现对于任意的，满足的的个数()f x 0y ()0y f x =x 分别为2个（）和3个（），已知有3个解，从而可得必为

000,1y y >≠01y =()1f x =的根，而另一根为或者是负数。所以，可解得：

()()20f x bf x c ++=1()1i f x =，所以

1230,1,2x x x ===222

1235x x x ++=答案：5

例2：关于的方程的不相同实根的

x (

)

2

2

213120x x ---+=个数是（

）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 8

思路：可将视为一个整体，即，则方程变为可解得：21x -()21t x x =-2320t t -+=或，则只需作出的图像，然后统计与与的交点总数即可，1t =2t =()21t x x =-1t =2t =共有5个 答案：C

例3：已知函数

，关于的方程11

()||||f x x x x x

=+

--x 2()()0f x a f x b ++=（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 ．

,a b R ∈a 思路：所解方程

可视为

2()

()0f x a f x b ++=

，故考虑作出的图像：， 则

()()20f x a f x b ++=()f x ()2

,12,012,102

,1x x x x f x x x x x

⎧>⎪⎪

<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有，()f x ()()122,02f x f x =<<所以，解得 ()()()122,4a f x f x -=+∈42a -<<-答案：

42a -<<-例4：已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方

R 0x >()()121,0212,22

x x f x f x x -⎧-<≤⎪

=⎨->⎪⎩x 程的实数根个数为（ ）

()()2

610f x f x --=⎡⎤⎣⎦A.

B.

C.

D.

6789思路：已知方程可解，()()2

610f x f x --=⎡⎤⎣⎦得

，

只需统计

()()1211

,23

f x f x ==-与的交点个数即可。由奇

11

,23

y y ==-()y f x =函数可先做出的图像，时，

0x >2x >，则的图像只需将()()1

22

f x f x =

-(]2,4x ∈的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半

(]0,2x ∈轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B

小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。

例5：若函数有极值点，且，则关于的方程

()3

2

f x x ax bx c =+++12,x x ()11f x x =x 的不同实根的个数是（

）

()()()2

320f x af x b ++=A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

思路：由极值点可得：为 ①的两根，观察

()'

232f

x x ax b =++12,x x 2320x ax b ++=

到方程①与结构完全相同，

()

()

()2

320f x af x b ++=所以可得的两根为

()

()

()2

320f x af x b ++=，

其中，若，可判()()1122,f x x f x x ==()111f x x =12x x <

断出是极大值点，是极小值点。且

1x 2x ，所以与有两

()()2211f x x x f x =>=()1y f x =()f x 个交点，而与有一个交点，共计3个；若

()2f x ()f x ，可判断出是极小值点，是极大值点。且

12x x >1x 2x ，所以与有两个交点，而与有一个

()()2211f x x x f x =<=()1y f x =()f x ()2f x ()f x 交点，共计3个。综上所述，共有3个交点 答案：A

例6：已知函数，若方程恰有七个不相同的()243f x x x =-+()()2

0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦实根，则实数的取值范围是（ ）

b A.

B.

C.

D.

()2,0-()2,1--()0,1()0,2

思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为

()f x 最多只能解出2个，若要出七个

()()2

0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦()f x 根

，

则

，

所以

()()()121,0,1f x f x =∈，解得：

()()()121,2b f x f x -=+∈()2,1b ∈--