专题2.3-平面向量中范围、最值等综合问题-玩转压轴题-突破140分之高三数学选填题高端精品(原卷版

专题03 平面向量中范围、最值等综合问题

一．方法综述

平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．

二．解题策略

类型一与向量的模有关的最值问题

【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量满足，，，则的最大值等于（）

A. 4

B. 2

C.

D. 1

【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.

【举一反三】

1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在中，，点是边上的动点，且,,，则当取得最大值时，的值为（）

A. B. 3 C. D.

2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量满足：，且，若，其中，且，则的最小值是__________．

3、【2018浙东北联盟联考】已知向量，满足，，若，则的最大值为_________，最小值为__________．

类型二与向量夹角有关的范围问题

【例2】已知向量与的夹角为，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为________________.

【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．

【举一反三】

1、非零向量满足=，，则的夹角的最小值是．

2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（）

A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定

类型三与向量投影有关的最值问题

【例3】设，，，且，则在上的投影的取值范围( )

A. B. C. D.

【指点迷津】由已知求得及，代入投影公式，对分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。

【举一反三】

1、已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为( )

A. 3

B.

C. -3

D.

2、【2018福建省闽侯第六中学模拟】设，且，则在上的投影的取值范围（）

A. B. C. D.

类型四与平面向量数量积有关的最值问题

【例4】【2018广州华南师范大学附中模拟】如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（）

A. B. C. 1 D.

【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.

【举一反三】

1、【2018福建莆田市第二十四中学模拟】已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的最大值为（）

A. B. C. D.

2、【2018浙江镇海中学模拟】在平面内，，动点，满足，，则的最大值是

A. 3

B. 4

C. 8

D. 16

3、【2008云南大理市云南师范大学附属中学模拟】已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）

A. -1

B. -2

C. -3

D. -4

类型五平面向量系数的取值范围问题

【例5】【2018辽宁沈阳市四校协作体联考】在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；

（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；

（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

【举一反三】

1、【2018重庆第一中学模拟】给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为（）

A. B. C. D.

2、【2018四川德阳联考】已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________

3、【2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟】已知，点在内，且与的夹角为，设，则的值为（）

A. B. C. D.

类型六平面向量与三角形四心的结合

【例6】【2018全国名校大联考】已知的三边垂直平分线交于点，分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________．

【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

【举一反三】

1、【【2018河北武邑中学调研】在中，，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为__________.

2、【2018江西南昌市第二中学模拟】如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）

A. 4

B.

C.

D.

3、【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考】已知点是锐角三角形的外心，若（，），则（）

A. B. C. D.

三．强化训练

1．【2018湖南五市十校联考】在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（）

A. B. C. D. 24

2. 【2018山西芮城中学模拟】长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是（）

A. B. C. D.