数值积分法
数值积分方法
的值大.
二、Simpson公式
n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2， x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多 项式 L2(x)：2 b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
f ( x ) 在节 a x0 x1
xn b
f ( x0 ), f ( x1 ),
, f ( xn )
作n次Lagrange插值多项式: Ln ( x )
l
k 0
n
k
( x ) f ( xk )
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
b
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。
5.2.1 复化梯形积分 将[a, b]分成若干小区间，在每个区间[xi, xi+1]上用 梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加 起来，就得到区间[a, b]上的数值积分。这种方法称 为复化梯形积分。 ★ 计算公式
将[a, b] n等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
其中
4
M 4 max f
a xb
( 4)
( x)
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
积分的数值方法
b b
作为平均高度 f() 的近似值而获得的一种数值 积分方法。
中矩形公式是把 [a,b] 的中点处的函数值： a b f ( ) 2 作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分 方法。 Simpson公式是以函数 f(x) 在 a, b, (a+b)/2 这三点的 函数值 f(a), f(b),
Pn ( x) f ( xk )lk ( x)
k 0 n
式中 这里
( x) lk ( x ) ( x xk )( xk ) j 0 xk x j
n j k
x xj
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
的近似值，即:
多项式Pn(x)易于求积,所以可取
b
y=f(x)
图3-1 数值积分 的几何意义
a
b
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的
有两种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在
积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得:
因而
b
a
f ( x)dx (b a) f ( )
a, b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为
R( f ) f ( x) P( x)dx
b a
b
a
f ( n 1) ( ) ( x)dx (n 1)!
其中
a, b
当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f ( n1) ( x) 0 R ( f ) =0,求积公式(3-10)能成为准确的等式。由于 闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以
x4
ex
6.40 6.389
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
数值积分方法讨论
数值积分方法讨论一、积分方法的定义与分类在数学中，积分是一个重要的概念，用于计算曲线下面的面积或者曲面下面的体积。
而数值积分方法，则是一种近似计算积分的方法，它通过离散化和近似的方式来代替精确的积分计算。
数值积分方法可以分为以下几类：1.牛顿-科茨公式(NC公式)NC公式是一种非常常见的数值积分方法，它基于牛顿插值多项式的思想，将被积函数近似为一个多项式，并通过对多项式进行积分来近似计算原函数的积分。
通过选择不同的插值节点和插值多项式的次数，可以得到不同精度的数值积分结果。
2.梯形法则梯形法则是一种基于线性插值的数值积分方法，它将被积函数近似为一系列梯形的面积之和。
具体而言，梯形法则将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形来近似被积函数的曲线，最后将所有梯形的面积相加得到数值积分结果。
3.辛普森公式辛普森公式是一种基于二次插值的数值积分方法，它将被积函数近似为多个二次多项式，并通过对这些多项式进行积分来近似计算原函数的积分。
辛普森公式的核心思想是将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用二次多项式来近似被积函数的曲线，最后将所有小区间上的积分结果相加得到数值积分结果。
二、数值积分方法的误差分析数值积分方法在计算积分时会引入一定的误差，这些误差包括截断误差和舍入误差。
截断误差是由于对被积函数进行近似表示而引入的误差，而舍入误差则是由于计算机数值计算的有限精度而引入的误差。
1. 截断误差截断误差主要受到数值积分方法的选择和精度的影响。
例如，在牛顿-科茨公式中，选择不同的插值节点和插值多项式的次数会对截断误差产生影响。
一般来说，使用更多的节点和更高次数的多项式可以减小截断误差，提高数值积分的精度。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机数值计算的有限精度而引入的误差。
在计算机中，浮点数的存储和运算都存在精度限制，因此在进行数值积分计算时，可能会发生舍入误差。
为了减小舍入误差，可以采用一些数值稳定的计算方法，如使用高精度计算库或者更精确的数值计算算法等。
数值积分与微分方程数值解法
数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。
本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。
一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。
（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。
（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。
二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。
常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。
（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。
- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。
- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。
（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。
- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。
总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。
python数值积分
python数值积分Python是一种高级编程语言，广泛用于科学计算和数据分析。
在数学和科学计算领域，数值积分是一个重要的问题。
数值积分是指用数值方法计算函数的定积分，即给定一个函数$f(x)$和积分区间$[a,b]$，求$int_a^bf(x)dx$的近似值。
本文将介绍Python中常用的数值积分方法和库。
一、数值积分方法1.矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用函数在小区间中点的函数值$f(frac{a+i*h}{2})$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
具体公式为：$$int_a^bf(x)dxapproxhsum_{i=0}^{n-1}f(frac{a+i*h}{2})$$矩形法的优点是简单易懂，容易实现。
但是它的精度较低，误差较大。
2.梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用小区间两端点的函数值$f(a+i*h)$和$f(a+(i+1)*h)$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
具体公式为：$$int_a^bf(x)dxapproxfrac{h}{2}sum_{i=0}^{n-1}[f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)]$$梯形法的优点是比矩形法更精确，误差较小。
但是它的计算量较大，对于复杂函数和大量数据，可能需要较长的计算时间。
3.辛普森法辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用小区间两端点和中点的函数值$f(a+i*h)$，$f(a+(i+1)*h)$和$f(frac{a+i*h+a+(i+1)*h}{2})$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
数值积分法
1 1 1 i i 1 u pi 1 pi 1 M 2 ui u t 2 t t i 2 u i C ui 1 u 2 t
（1）分段解析法；
（2）中心差分法； （3）平均常加速度法； （4）线性加速度法； （5）Newmark－β法；
（6）Wilson－θ法
•••••••• 时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究 的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
因此提出时域逐步积分法，即只假设在一个时间步距内 是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。
ˆ u p K ˆ i 1 i 1
i 1 i t 1 i u ui 1 ui 1 u u t 2 1 1 1 i 1 i i u ui 1 u u u 2 i 1 t t 2
当τ ＝ Δt ，即t ＝ t i＋1时刻，体系得运动状态为：
( 0) u |t ti u i , u( 0) ui u ( ) a u i 最后得： u 1 2 i ui u ( ) a u 2
i 1 at u i u
目录
1 基本问题 2 时域积分法的构造
3 Newmark法
4 方法特点比较
1.数值算法中的基本问题
车辆运动方程
(t ) cu (t ) ku (t ) p(t ) mu (t ) [C ]u (t ) [ K ]u(t ) [ p(t )] [ M ]u
时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：
数值积分法
数值积分法数值积分法是数学中一种重要的积分技术，它用于解决一类复杂的积分方程。
简而言之，数值积分法使用数学技巧计算复杂的定积分。
它利用数值计算技术，如复合梯形法、改进梯形法、改进Simpsons 法、Romberg积分法等，将一个复杂的函数转换成一系列简单的函数，以便计算它们之间的积分值。
数值积分法包括高斯-勒让德复合梯形法、勒贝格复合梯形法、改进梯形法、改进Simpson法、Romberg积分法等。
由于各种方法的不同，它们在不同条件下的性能也不同。
为了得到最佳的数值积分法，需要仔细分析办法的优劣、特点，以便根据不同的积分问题，选择最合适的方法来求解。
首先，复合梯形法包括高斯-勒让德法和勒贝格法。
这两种方法的共同点是都使用普通梯形法来代替复杂的函数，把它分段细分成很多小段，使其变得更容易计算。
高斯-勒让德法在每个子区间中都使用两个点来定义一个梯形，而勒贝格法在每个子区间中都使用三个点，一般来说，使用三个点比两个点计算精度更高。
其次是改进梯形法和改进Simpson法。
改进梯形法是在复合梯形法的基础上加以改进，它试图使复杂函数在小区间内更准确。
它对每个子区间进行多次拆分，以一定精度来拟合函数。
改进Simpson法也是根据复合梯形法改进而来，它把一个较大的区间拆分成以三点为基础的梯形，使拟合准确性更高。
最后是Romberg积分法。
它是一种改进的复合梯形法，它使用了一种类似复合梯形法的方法，但用一种特殊的矩阵来求解梯形的积分。
它可以把拆分的子区间数值用矩阵的乘方来表示，从而实现自动化求解，用较少的计算量就能准确求解函数积分。
总结而言，数值积分法是一类复杂的积分技术，它们具有计算准确、复杂度低、计算量少等优点，是解决复杂积分问题的不可缺少的工具。
因此，正确选择数值积分法，对于求解复杂积分方程具有重要的意义，值得大力研究和推广。
数值积分法
数值积分法
数值积分法是一种对积分形式进行数值求解的方法，也常称数值积分技术。
数值积分是在计算技术及数学运算中非常重要的一种技术，它主要应用于定积分、不定积分和高维积分的求解，它广泛地应用于工程科学技术中，为工程实践提供了技术支持。
数值积分的基本思想是采用一定的数值方法对积分方程进行步进运算，把不容易精确求解的积分问题变为若干个步进步长固定的离散状态的积分状态，从而利用问题的离散和近似性来求解积分问题。
数值积分包括定积分、不定积分和高维积分等。
定积分可以采用梯形公式、Simpson公式和三点高斯公式等。
梯形公式是最常用的积分公式，原理是把定积分看作一个多边形；Simpson公式是二阶精度的数值积分公式，它的变化灵活；三点高斯公式是基于三个节点（3和4阶）的积分解法。
不定积分采用Gauss-Legendre三点、Gauss-Lobatto七点、Newton-Cotes三、四点和Maszkarinow公式等。
Gauss-Legendre三点公式主要用于正态分布函数的积分——其精度为2阶； Gauss-Lobatto七点公式采用一系列不同权重值，用于求解非线性三次方程，精度为3阶；Newton-Cotes三点、四点和Maszkarinow公式也通常用于积分运算。
高维积分主要包括Monte-Carlo方法和偏微分法。
Monte-Carlo法将积分区间映射到概率空间，在概率空间中设定采样点，然后求解相应的积分值；偏微分法是用一系列多项式做有限元函数，以计算机代替定积分的积分算法。
因此，数值积分法是一种重要的数值分析工具，它能够在有限时间精确地解决复杂的积分问题。
熟练掌握数值积分法，有助于提高计算效率，进而更好地解决实际问题。
常微分方程初值问题的数值积分法
y( xn1) y( xn ) hfh ( xn , y( xn )) Rh ( xn ),
并且当 h 0时，
yh,0
y(x0 )
h1 max xIh
Rh (x)
0,
(7.4.2)
则称(7.4.1) 式为初值问题(7.1.1)的一个相容近似 ，
或称此格式满足相容条件即(7.4.2)式。
若
Rh (xn ) O(h p1), yh,0 y(x0) O(h p )(h 0)
a x0 x1 L xN1 xN b,
令 hn xn1 xn，称为积分网格的步长。
用y0 , y1, y2 , , yN 表示精确解 y(x)在节点 x0 , x1, x2 , , xN 上函数值 y( x0 ), y( x1), y( x2 ), , y( xN )的近似值。
对给定的数值积分法，各个 yn 是按某一递推算法确 定的。若在计算 yn1 时只用到已求出的 y0, y1,L , yn中的 yn ，而无须使用其余值 y0, y1,L , yn1 中的任何一个， 则称此法为单步法，否则，称之为多步法。
xn
的右端积分中用梯形公式，则得
yn1
yn
h 2
[
f
(
xn
,
yn
)
f (xn1, yn1)],
n 0,1,L
称该递推公式为梯形方法。
梯形公式
b f (x)dx (b a) ( f (a) f (b))
a
2
梯形方法
yn1
yn
h 2
[
f
( xn
,
yn
)
f (xn1, yn1)],
n 0,1,L
7.2 几个简单的数值积分法
欧拉数值积分
欧拉数值积分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉数值积分（Euler numerical integration）是一种数值计算方法，用于近似计算定积分的数值值。
它是以数学家欧拉命名的一种数值积分方法，被广泛应用于科学工程计算和数值模拟中。
欧拉数值积分的基本思想是将被积函数在积分区间上进行近似处理，通过对积分区间的划分和插值计算来得到数值积分的结果，从而避免直接对函数进行复杂的解析计算。
在数值积分中，通常采用数值积分公式来计算函数在给定区间上的积分值。
欧拉数值积分是一种基础的数值积分方法，它的优点在于简单易懂、易于实现和具有良好的数值稳定性。
欧拉数值积分还可以适用于各种类型的函数，包括连续函数、离散函数和多项式函数等。
对于给定的积分区间[a, b]和被积函数f(x)，欧拉数值积分的基本步骤如下：1. 将积分区间[a, b]等分为n个小区间，即将积分区间划分为n个子区间[a, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, b]；2. 计算每个小区间的积分近似值，可以采用矩形法则、梯形法则、辛普森法则等数值积分公式；3. 将各个子区间上的积分近似值进行求和计算，得到整个积分区间[a, b]上的数值积分近似值。
欧拉数值积分的计算过程中需要根据具体的被积函数类型和积分区间的大小来选择合适的划分方式和数值积分公式。
在实际应用中，欧拉数值积分通常需要进行数值稳定性分析和误差估计，以确保数值积分结果的准确性和可靠性。
欧拉数值积分在科学工程计算和数值模拟中具有广泛的应用，例如在数值解微分方程、积分方程、优化问题、概率统计等领域中都能看到欧拉数值积分的身影。
它的应用范围涵盖了物理学、工程学、计算机科学、统计学等多个学科领域，为解决复杂实际问题提供了有效的数值计算方法。
第二篇示例：欧拉数值积分，又称欧拉方法(Euler method)，是求解微分方程数值解的一种常用方法。
它是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是一种基本的数值积分方法，用于数值解析微分方程。
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。
它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。
1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。
它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。
2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。
3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。
积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。
1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。
具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。
最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。
2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。
几种常用数值积分方法的比较讲解
学科分类号110.3420本科毕业论文题目几种常用数值积分方法的比较姓名潘晓祥学号1006020540200院（系）数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级2010 级指导教师雍进军职称讲师二〇一四年五月贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本科毕业论文作者签名：年月日贵州师范学院本科毕业论文(设计)任务书毕业设计题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级所属学院数学与计算机科专业数学与应用数学班级四班指导教师签名雍进军讲师职称讲师开题日期2013年7月10日主要目标1．了解什么数值积分基本思想和一些常用的数值积分方法；2．对各种数值积分方法的误差以及代数精度进行分析；3．对各积分方法进行比较总结出优缺点。
主要要求通过对几种常用的数值积分方法进行了的分析，并用这几种方法对被积函数是普通函数做了数值积分，并在计算机上进行实验。
数值积分是计算方法或数值分析理论中非常重要的内容，数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法，对几种常用数值积分方法的分析很必要。
主要内容本文通过对复化求积公式, Newton—Cotes求积公式, Romberg求积公式,高斯型求积公式进行分析讨论并在计算机上积分实验,从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较，并总结出每种求积分法的优缺点以及实用性。
贵州师范学院本科毕业论文（设计）开题报告书论文题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级数学与计算机所属学院专业数学与应用数学班级数本（4）班科学学院指导教师姓名雍进军职称讲师预计字数5000.00字题目性质应用研究日期2013年7月05 日选题的原由：研究意义:数值积分是数学上的重要课题之一,是数值分析中的重要内容之一,也是数学的研究重点.并在实际问题及应用中有着广泛的应用.常用于科学与工程的计算中,如涉及到积分方程,工程计算,计算机图形学,金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用,所以研究数值积分问题有很重要的意义.数值积分是研究如何求出一个积分的数值.这一课题的起源可追溯到古代,其中一个突出的例子是希腊人用内接与外接正多边形推算出圆面积的方法.也正是此法使阿基米德得以求出π值得上界与下界,若干世纪以来,尤其是十六世纪后,已提出了多种数值积分方法,其中有矩形求积法,内插求积法,牛顿科特斯公式,复化求积公式,龙贝格求积公式,高斯型求积公式.但各种方法都有特点,在不同的情况下试用程度不同,我们将着重从求积公式的代数精度和余项等角度对这些方法进行分析比较. 研究动态:这些年来,有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域,历史上,阿基米德,牛顿,欧拉,高斯,切比雪夫等人都对此有过贡献.研究出各种各样的数值求积公式,但一个好的数值求积公式应该满足:计算简单,误差小,代数精度高.我们将对矩形求积法,内插求积法，牛顿科特斯公式,化求积公式,贝格求积公式,斯型求积公式进行比较.对数值求积公式能有进一步的了解和学习.主要内容：1 数值积分方法的基本思想2 几类常用数值积分方法的基本分析2.1 Newton—Cotes求积公式2.2 复化求积公式2.3 Romberg求积公式2.4 高斯型求积公式3 几类数值积分方法的简单比较评述4利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比较研究方法：本论文主要通过对相关文献和书籍的参考,合自己的见解,复化求积公式,Newton—Cotes求积公式,Romberg求积公式,高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验，从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较.完成期限和采取的主要措施：本论文计划用6个月的时间完成,阶段的任务如下:(1)7月份查阅相关书籍和文献;(2)8月份完成开题报告并交老师批阅;(3)9月份完成论文初稿并交老师批阅;(4)10月份完成论文二搞并交老师批阅;(5)11月份完成论文三搞;(6)12月份定稿.主要措施:考相关书籍和文献,合自己的见解,老师的指导下和同学的帮助下完成主要参考文献及资料名称：[1] 关治. 陆金甫. 数学分析基础（第二版）[M]. 北京:等教育出版社.2010.7[2] 胡祖炽. 林源渠. 数值分析[M] 北京:等教育出版社.1986.3[3] 薛毅. 数学分析与实验[M] 北京:业大学出版社2005.3[4] 徐士良. 数值分析与算法[M]. 北京:械工业出版社2007.1[5] 王开荣. 杨大地. 应用数值分析[M] 北京:等教育出版社2010.7[6] 杨一都. 数值计算方法[M]. 北京:等教育出版社 . 2008.4[7] 韩明. 王家宝. 李林. 数学实验（MATLAB）版[M]. 上海:济大学出版社2012.1[8] 圣宝建. 关于数值积分若干问题的研究[J]. 南京信息工程大学. 2009.05.01. : 42[9] 刘绪军. 几种求积公式计算精确度的比较[J]. 南京职业技术学院. 2009.[10] 史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M]. 北京理工大学出版社.2010.4.开题报告会纪要时间2013年8月26日地点宁静楼229教师办公室与会人员姓名职务（职称）姓名职务（职称）姓名职务（职称）雍进军导师（讲师）邓喜才副教授李晟副教授龙林林组长指导教师意见：签名：年月日会议记录摘要：指导小组针对课题《二次函数性质的应用》提问了以下问题以及报告人的回答：雍老师问:选择此题目的目的?潘晓祥答:随着计算机和计算方法的飞速发展,几乎所有学科都走向定量化和精确化,计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。
仿真3数值积分法
•
• 描述各类系统最基本的模型用微分方程或 状态空间表达式，二次建模就是要求出适合用数 字计算机求解的模型，就需要把微分运算转化成 算术运算在用计算机求解。
连续系统数值积分法：就是利用数值积分 方法对常微分方程建立离散化形式的数学模型（ 差分方程）并求出数值解。
最常用的数值解法有：
欧拉法、梯形法、Adams、Runge—Kutta法 。
• 实际在逐步递推过程中，计算 yn+1 时已经获
得一系列的近似值：
以及
。
• 如果能利用多步计算信息（历史时刻值）， 则可能既加快仿真速度又获得较高的仿真精度， 这就是构造多步法的出发点。
• 多步法中以 Adams 法最具代表性，应用最为 普遍。
•
• 一、Adams算法
• 对一阶连续系统
：
•连续解为：
•此时，RK4公式的４个 k 值：
•
例：系统方程
•解
•取步长 h=0.1,试用RK4法求t=0.1，0.2时的解 •将原系统方程化为状态方程形式
:：
•
•
•见仿真结 果
•作业：P149 3.2
•
•
• 第三节 数值积分法的多步算法
• 单步法的特点：计算 n+1 时刻的值 yn+1 时， 只用到第 n 时刻的 yn 和 fn 。
•
(1)
• 之间的误差为：
• 局部截断误差与hp+1是同阶无穷小量,记为 •O(以hp上+1)公式(1)就称为p阶的Taylor展开法递推公
式
•
欧拉法的Taylor级数展开
•只取一次项，其余忽略
•写成差分方程 为 •这就是解微分方程初值问题的欧拉算法。
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值计算方法 数值积分基本公式 - 数值积分基本公式
求
积 公 式
? 存在的问题
1.插值型求积公式的求积系数当节点不等 距时很难求得；
2.误差表达式中的不确定点的处理有难度
4
设 将 积 分 区 间a , b n等 分 , 记 步 长h b a ,
n
牛
选 取 等 距 节 点xk a kh
顿 － 柯 特 斯
将xk
a
kh, h
b
a n
,
x
a
th代 入 求 积 公 式 得 ：
当 n 2时 , 这 时 柯 特 斯 系 数 为
C
2
0
1 4
2 t 1t 2dt 1 ,
0
6
C
1
2
1 2
2 tt 2dt 4 ,
0
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
ba 6
f
a
4
f
a
2
b
f
b
辛普森公式的误差
取 H 3(a) f (a), H 3(b) f (b),
H
3
(
a
2
b
)
f
(
a
2
b
),
H
3
(
a
2
b
)
f ( a b ) 2
误差估计
根 据H ermite 插 值 余 项 ：
b
b
nb
a f ( x )dx a Ln ( x )dx a lk ( x)dx f ( xk )
k0
求 积 公
注意到：Ak
b
a lk ( x)dx
数值积分方法课件
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
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2）计算速度
影响因素：每步积分运算所花费的时间 积分的总次数
一般来说 对于系统阶次高、导函数复杂、精度要求高的复杂仿真 问题宜采用Adams预估—校正法。 为了提高仿真速度，在积分方法选定的前提下，应在保 证精度的前提下尽可能加大仿真步长，以缩短仿真总时间。
3）数值解的稳定性 小于四阶时，同阶的RK法的稳定性比显式Adams法好，但 不如同阶次的隐式Adams法好，因此，从数值解稳定性角 度考虑，应尽量避免采用显式Adams法。
因而，在确定积分方法以后，选择积分步长时，
需要考虑的一个重要的因素就是系统的动态响应
特性，对变化剧烈的快变量，不仅要选择高阶的
计算方法，而且要取较小的积分步长。
为了保证计算稳定性，步长只需限制在系统最小时间常数
的数量级，但为了保证足够的仿真精度，实际选用的积分 步长要比系统最小时间常数小很多。 根据经验，对于一般工程系统的仿真，若采用RK4法， 为保证计算精度在0.5%左右，可采用经验公式
误差分析
y(tk+1)—微分方程的真解（理论解、解析解） —微分方程的数值积分准确解（没有舍 入误差） yk+1—微分方程的数值积分近似解（有舍入误差）
整体截断误差
舍入误差
截断误差：分为局部截断误差和整体截断误差。 局部截断误差：假定前k步为微分方程精确解的误差。 整体截断误差：从初值开始，每步均有局部截断误差
数字系统、数的运算次序以及计算f(t,y)所用的程
序编码等因素有关。
收敛性
定义：设不考虑舍入误差和初始值误差，一
种数值积分格式，若对于任意固定的
tn=t0+nh，当h→0（同时n→∞）时求得的
yn →y(tn)，则称这种积分格式是收敛的。
稳定性分析
数值解的稳定性：是指在扰动（初始误差、舍入误 差、截断误差）影响下，其计算过程中的积累误 差不会随计算步长的增加而无限增加。由于有舍 入误差、截断误差及初始值误差，数值积分所得 到的结果是近似的。所有这些误差都会对以后的 计算结果产生影响。如果计算结果对初值误差或 计算误差不敏感，则该算法是稳定的，否则就是 不稳定的。
大，那么用h/4再做一次计算，并同h/2的计算结果比较。
加倍—减半法 设定一个最小误差限和最大误差限，当估计的局 部误差大于最大误差时，将步长减半，并重新计 算这一步；当误差在最大误差和最小误差之间时，
步长不变；当误差小于最小误差时，将步长加倍。
最优步长法
基本思想：在保证精度的前提下，取最大步长，
，就能求出后
，此外不需要其他时刻的任何
时刻的近似值 处的数据
欧拉法
1） Taylor级数展开
2） 矩形近似解法
3）切线近似
改进的欧拉法
在许多工程问题中，为减小计算量，常常认为迭代 一次就求得了近似解。这样就得到了改进的欧拉 法公式。
预估公式
校正公式
龙格—库塔法
基本思想：
将Tailor展开式夺取几项后截断，能提高截断误差的阶 次，从而可以提高精度。直接采用Taylor级数展开方法需 要计算函数y(t)在某一展开点的高阶导数，使用起来不方 便。
一般情况： （1）当步长h取定时，算法阶次越高，截断误差越小；
（2）当算法阶次取定后，多步法精度比单步法高，隐式
精度比显式高。 因此，当要求高精度仿真时，可采用高阶的隐式多步法， 并取较小的步长。但是，步长也不能太小，否则会增加迭 代次数，增加计算量，同时也会加大舍入误差和积累误差。
总之，实际应用时应视仿真精度要求合理地选择方法和阶次， 并非阶次越高、步长越小越好。
数值积分法
在连续系统的仿真中，主要的计算工作是求解一阶微分 方程
解析法只能用来求解一些特殊类型的方程。实际仿真问 题中归结出来的微分方程主要靠数值解法
数值解法：
寻求解y(t)在一系列离散点
上的近似解
相邻两个时间离散点的间隔
（即数值解）。
称为时间步长，通常等于定值。
用数值积分法求解一阶微分方程的步骤：
假设已经求得 等k+1个节点处的函数值
，根据插值原理可以构造一个多项式 来逼近函数f(t,y)，经过计算处理可以得到
4阶阿达姆斯显式公式 4阶阿达姆斯隐式公式 显式公式与隐式公式比较： 1）相同阶次的隐式公式的系数值比相应的显式公式 的系数小（一阶除外），说明同阶的隐式公式比 显式公式精确
2）隐式公式的稳定性比显式好。
在仿真过程中可以改变步长： 1）分段变步长，将过渡过程分成几段，每段使用不 同的步长 2）根据每步积分误差，自动调整下一步的积分步长。 3）最优步长法，即使每一步积分步长在保证精度的 前提下取最大的步长。
误差在计算的每一步都产生，因此对误差的估计 与控制也必须在每一步进行。原则上是估算出每 一步的局部截断误差，并设法使它保持在某一容
总之，积分方法的选择具有较大的灵活性，要结合实际问题
而定。
误差估计与步长控制
一般来说，数字仿真的总误差不是步长的单调函数，而是一
个具有极值的函数。
在实际仿真中，对于变化比较平稳的慢变量，步
长的改变对积分总误差的影响并不明显。然而，
对于那些变化剧烈的快变量来说，当对它们进行
积分运算时所产生的总误差对步长的改变很敏感。
Runge和Kutta提出间接利用Talor展开式的方法，即用 几个点上的y(t)的一阶导数函数值的线性组合来近似代替 y(t)在某一点的高阶导数，然后用Talor级数展开式确定 线性组合中各加权系数。
y ( t h ) y ( t ) b1 hf ( t , y )
一阶RK公式 二阶RK公式
许值内。控制误差的办法通常有三种，即
误差估计方法
1）折半法 2）RKM法（龙格—库塔—默森法） 基本思想：估计RK法的误差，通常采用的方法是设 法找到另一个低阶（一般低一阶）的RK方法，设 法使这两个方法的ki相同，并将两个公式的计算 结果之差看作是误差。
通常用下列方法表示误差：
当 当
很大时， 为相对误差，即 很小时， 为绝对误差，即
以提高计算速度和精度，此时的步长即为最优步
长。
设第n步步长为hn，时间为tn，则有
给定最大允许误差Emax，设同一时间点tn与Emax所
对应的步长为hmax（一般应大于hn），则有
两式相除得：
当λ>1时，取
当 当λ<1时，取
不同的数值解法对应着不同的差分递推公式。一
个数值法是否稳定取决于该差分方程的特征根是 否满足稳定性要求。 以Euler法为例，讨论数值积分法稳定域问题。 假定系统的微分方程为
且
，即原系统是稳定的。若用Euler法来对
它进行仿真，则有
假定
为其 准确解，即
为它的一个仿真解，另外设
其特征方程为
四阶RK公式
龙格—库塔公式的特点：
1） 单步法。在后一步的计算中，仅仅利用前一步
的计算结果。
2）步长h在整个计算过程中不要求固定，可以根据
精度要求改变。但在一步中，必须用同一个步长h。 3）精度取决于步长h的大小及方法的阶次。 4）欧拉公式可看作是一阶龙格—库塔公式。
多步法 阿达姆斯法（Adams）
件稳定的。
2）除恒稳定法外，其他方法的h都应限制在最小时间常数的
数量级
3）对rk法，k大则稳定域略微增大，而对Adams法来讲，k大 则稳定域反而缩小。
数值积分法的选择与计算步长的确定
积分方法的选择 1）精度要求 影响数值积分精度的因素： 截断误差：积分方法、方法阶次、步长大小 舍入误差：计算机字长、步长大小、程序编码质 量 初始误差：由初始值准确度确定
显然，为了使误差序列 不随n的增加而增加，必须
要求它的特征根
在单位圆内，即
则它所对应的域就是该算法的稳定域。
由图可知，若系统方程的
采用Euler法，为保证计算稳定，要
求 间常数的2倍 ，即要求h小于系统时
设系统方程为
数值积分公式为
高阶多项式函数
稳定条件：
对于RK法，其绝对稳定域为
1）除隐式一阶、二阶Adams法为恒稳定外，其他方法都是条
3）显式比隐式计算量小，显式只需计算一次
右函数，但隐式需计算2次右函数。
预估—校正法
多步法同单步法相比： 缺点： 1）需要存储的数据多，阶次越高，则过去的 结果就要保存得越多。 2）不能自启动 优点： 为了达到相同的仿真精度，用多步法求解所 需计算量可以比单步法少得多。
4阶阿达姆斯预估—校正法
误差、收敛性与稳定性分析
步长控制方法
分段步长法 个步长h，当过渡过程进入该段时，用h做一次计算，然后
按照系统的过渡情况将步长分为几段，每一段都预先给定一
再用h/2做一次计算，求得两者之差的绝对值。
1）如它小于某一个预定的值，则认为h这个步长符合精度该预定值，则认为h这个步长过
1） 把连续变量问题用数值积分方法转化成离散的
差分方程的初值问题
2） 根据已知的初始条件逐步地递推计算后续时刻
的数值解 解初值问题的数值方法的共同特点是步进式的，采 用不同的递推算法，就出现各种不同的数值积分 方法。
数值积分法的分类
单步法：如果由当前时刻的数值
一时刻的数值 信息 多步法：为了求得 知道 时刻 时刻的近似值，不仅需要 ，而且还要用到过去
利用Talor级数展开式求得tn+1=tn+h处的解为 欧拉法只保留了前两项。由这种方法单独 进行一步运算所引起的附加误差，通常称 为局部截断误差。它是由数值解法给出的 近似解与微分方程精确解之间的差，又称 局部离散误差。
欧拉公式：
截断误差：
舍入误差
由计算机字长引起的误差称为舍入误差。 舍入误差与步长成反比，步长越小，计算的次数越 多，则舍入误差越大。 其除了与计算机字长有关外，还与计算机所使用的