电工基础正弦交流电路

解：最大值 有效值
U m 220 2V 311 .1V
U Um 220 2 V 220V
2
2
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素
2．频率与周期 正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T，如图4.2所示。每秒内变化
的次数称为频率f，它的单位是赫兹（Hz）。
频率是周期的倒数，即
f 1 T
在我国和大多数国家都采用50Hz作 为电力标准频率，习惯上称为工频。
314rad/s
f 314 Hz 50Hz
2π 23.14
T 1 1 s 0.02s f 50
3．初相
(t 称) 为正弦量的相位角或相位，它反映出正弦量变化的进程。
t=0时的相位角称为初相位角或初相位。 规定初相的绝对值不能超过π。
如图4.3所示，图中u和i的波形可用下式表示
u U m sin(t u )
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。
复数与复平面上的有向线段（矢 量）对应，复数的加减与表示复数 的有向线段（矢量）的加减相对应， 并且复平面上矢量的加减可用对应 的复数相加减来计算。
图4.6 矢量和与矢量差
4.2.2 复 数 的 运 算
2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
图4.3 u和i的相位不相等
初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。 同相的两个正弦量同时到达零值，同时到达最大值，步调一致。 如图4.4中的i1和i2。
相位差 为180的两个正弦量叫做反相。
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素
例4.4 已知某正弦电压在 t 0时
为110 2 V，初相角为 30，求其 有效值。
表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值有正、有负，也可能为零。
最大的瞬时值称为最大值（也叫幅值、峰值）。用带下标的小写字母表
示。如Im、Um及Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。
正弦量的有效植：
I Im
U Um
E Em
2
2
2
例4.1 已知某交流电压为V，这个交流电压的最大值和有效值分别为多少？
改用j代表虚单位，即
j 1
如图4.5所示，有向线段A可用下面的复数 表示为 A=a+jb
由图4.5可见， r a2 b2
r 表示复数的大小，称为复数的模。有向线
段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，
用 表示，规定幅角的绝对值小于180。
2．复数的表达方式
图4.5 有向线段的复数表示
复数的直角坐标式 ： A a jb r cos jr sin
r(cos j sin)
4．2．1复数
复数的指数形式 ： A re j
复数的极坐标形式 ： A r
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A*表示A的共
轭复数，则有
A=a+jb
A*=a-jb
例4.5 写出下列复数的直角坐标形式。
（1）548
（2）190
（3）5.5 90
解： （1）548 5cos48 j5sin 48 3.35 j3.72
4．1．1交流电路概述
交流电与直流电的区别在于：直流电的方向、大小不随时间变化；而交流 电的方向、大小都随时间作周期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。 图4.1所示为直流电和交流电的电波波形。
正弦电压和电流等物理量，常统称为正弦量。
频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。
4．1．1交流电路概述
如： A1=a1+jb1= r11
A2=a2+jb2 =r22
A1 A2
r11 r2 2
r1 r2
角频率是指交流电在1秒钟内变化的电角度。 若交流电1秒钟内变化了f次，则可得角频率 与频率的关系式为
2πf 2
T
图4.2 正弦电流波形图
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素
例4.3 已知某正弦交流电压为 u 311sin 314tV ，求该电压的最大值、
频率、角频率和周期各为多少？
解：
Um 311V
（2）190 cos90 j sin 90 j
（3）5.5 90 5.5cos(90) j5.5sin(90) j5.5
4.2.2 复 数 的 运 算
1．复数的加减
若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。
如：
A1=a1+jb1
A2=a2+jb2
则 A1±A2=（a1+jb1）±a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）
图4.1 直流电和交流电的电波波形图
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素
以电流为例介绍正弦量的基本特征。依据正弦量的概念，设某支路中正弦 电流i在选定参考方向下的瞬时值表达式为
i Im sin(t )
1．瞬时值、最大值和有效值
把任意时刻正弦交流电的数值称为瞬时值，用小写字母表示，如i、u及e
第4章 正弦交流电路
4．1交流电路中的基本物理量 4．2正弦量的相量表示 4．3电路基本定律的相量形式 4．4 电阻、电感、电容电路 4．5 谐振电路 4．6正弦交流电路中的功率
第4章 正弦交流电路
4．1交流电路中的基本物理量
案例4.1 我们最熟悉和最常用的家用电器采用是都是交流电，如电视、 电脑、照明灯、冰箱、空调等家用电器。即便是像收音机、复读机等采用直 流电源的家用电器也是通过稳压电源将交流电转变为直流电后使用。这些电 器设备的电路模型在交流电路中的规律与直流电路中的规律是不一样的，因 此分析交流电路的特征及相应电路模型的交流响应是我们的重要任务。
i I m sin(t i )
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素
两个同频率正弦量的相位角之 差或初相位角之差，称为相位
差，用表示。
图4.3中电压u和电流i的相位差 为
(t u ) (t i ) u i
u ＞ i ，则u较i先到达正的幅值。
在相位上u比i超前 角，或者说i比 u滞后 角。
解：此正弦电压表达式为
u U m sin(t 3Leabharlann Baidu)
则 u(0) U m sin 30
u(0) 110 2
图4.4 正弦量的同相与反相
U m sin 30 0.5 V 220 2V
U Um 220 2 V 220V
2
2
4．2正弦量的相量表示
4．2．1复数
1．复数的实部、虚部和模
叫1虚单位，数学上用i来代表它，因为在电工中i代表电流，所以