高中数学概率大题(经典一)
高中数学第十章概率典型例题(带答案)
高中数学第十章概率典型例题单选题1、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．购买彩票中奖的可能性为1100 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．买100张彩票就一定能中奖 答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误. 故选：A.2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ） A ．249B ．649C ．17D ．27 答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况， 其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.4、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）A．(43,32]B．(1,32]C．(43,32)D．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<12a−2≤1，解得43<a≤32，所以实数a的取值范围为(43,32].故选：A.5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C.7、2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（ ） A ．18B ．38C ．12D ．58答案：C分析：利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13， 所以香港女生数为总数的58×35=38，澳门女生数为总数的38×13=18，所以提问的学生恰好为女生的概率是38+18=12. 故选：C.8、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：60％ B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％ C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％ 答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.多选题9、下列有关古典概型的说法中，正确的是（）A．试验的样本空间的样本点总数有限B．每个事件出现的可能性相等C．每个样本点出现的可能性相等D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)=kn答案：ACD分析：根据古典概型的定义逐项判断即可.由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选：ACD10、某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏答案：AC分析：先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为13，故理论上回答问题一的人数为150×13=50人.掷出点数为奇数的概率为12，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故C正确.对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故D错.故选：AC.11、不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色答案：ABD分析：列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选：ABD.12、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是（）A．P(B|A)+P(B|A)=1B．P(B|A)+P(B|A)=0C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)=P(A)D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)=P(B)答案：AC分析：计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B 是互斥事件，得P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．解：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A正确；当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故C正确；因为A，B是互斥事件，P(AB)=0，则根据条件概率公式P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．故选：AC．13、袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球答案：BD分析：根据互斥事件的定义和性质判断.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.小提示：本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 填空题14、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____． 答案：0.3解析：甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率． 甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜， 则甲队以2:1获胜的概率是：P =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6=0.3. 所以答案是：0.3．小提示：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (AB )=16，P(BC)=14，P(ABC)=112，则P (A )=______． 答案：13分析：根据相互独立事件的概率公式，列出P (A ),P (B ),P(C),P(B)的等式，根据对立逐一求解，可求出P (A )的值.根据相互独立事件的概率公式，可得{ P (A )P (B )=16P(B)P (C )=14P (A )P (B )P(C)=112，所以P (A )=13． 所以答案是：13.16、在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．答案：935分析：根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，第一种摸出“白白红红”的概率为47×36×35×12=335，第二种摸出“白红白红”的概率为47×36×35×12=335，第三种摸出“红白白红”的概率为37×46×35×12=335，所以连续摸4次停止的概率等于935．所以答案是：935解答题17、数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.答案：（1）条形统计图见解析，90∘；（2）不同，理由见解析；（3）13.分析：（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案. （1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人， 所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了1100.55=200人，所以用银行卡支付的人有200×0.15=30人，用微信支付的人有200×0.3=60人， 用现金支付所占比例为50200=0.25，所以0.25×360∘=90∘，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝. （3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13.18、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：（Ⅰ）三人都合格的概率；34（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人. 分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13 设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.。
高考概率大题及答案
高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。
已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。
现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。
2.一批产品某种型号有20%的不合格品。
现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。
首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。
而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。
因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。
假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。
因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。
3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。
现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。
高中数学概率大题经典一
高中数学概率大题（经典一）一．解答题（共10小题）1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．3．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．8．2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．9．在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．10．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，∴P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=．∴随机变量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=≈2.73（2）由题意知①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）教练员组队方案共有144+45+2=191种．2．（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；3．（2012•海安县校级模拟）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．【解答】解：（1）记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件，设“海宝”卡n张，则任一人获奖的概率，∴，由题意：，∴n≥7．至少7张“海宝”卡，（2）ξ～的分布列为；，．4．（2011•江苏模拟）一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从9个球中任取2个，共有C92=36种结果，满足条件的事件是取出的2个球的颜色相同，包括三种情况，共有C42+C32+C22=10设“取出的2个球颜色相同”为事件A，∴P（A）==．（2）由题意知黑球的个数可能是0，1，2P（ξ=0）=P（ξ=1）=，P（ξ=2）=∴ξ的分布列是∴Eξ=0×+1×+2×=．（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，事件发生所包含的事件数C x+52，满足条件的事件是C x1C31+C x1C21+C31C21，设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则P（B）=＜，∴x2﹣6x+2＞0，∴x＞3+或x＜3﹣，x的最小值为6．5．（2010•鼓楼区校级模拟）某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C63种结果，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C21C42+C22C41设“一次抽奖中奖”为事件A，∴即一次抽奖中奖的概率为；（2）X可取0，10，20，P（X=0）=（0.2）2=0.04，P（X=10）=C21×0.8×0.2=0.32，P（X=20）=（0.8）2=0.64，∴X的概率分布列为∴E（X）=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．6．（2010•盐城三模）将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．【解答】解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为，∴正面向上的次数为奇数次的概率为P1=P15（1）+P15（3）+…+P15（15）=∴（Ⅱ）∵P1=C151p1（1﹣p）14+C153p3（1﹣p）12+…+C1515p15，P2=C150p0（1﹣p）15+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1则P2﹣P1=C150p0（1﹣p）15﹣C151p1（1﹣p）14+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1﹣C1515p15=[（1﹣p）﹣p]15=（1﹣2p）15，而，∴1﹣2p＞0，∴P2＞P17．（2010•南通模拟）某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．【解答】解：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A•+•B）=P（A）•P（）+P（）•P（B）=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（A•B）=0.045，都不发生洪水的概率为P（•）=0.75×0.82=0.615，的分布列为：（2）对方案1来说，花费4000元；对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．8．（2010•海安县校级模拟）2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．【解答】解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”设有北京大学志愿者x个，1≤x＜6，那么P（A）=，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2人，来自清华大学志愿者4人；（2）记“清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人”为事件E，那么P（E）=，所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是；（3）ξ的所有可能值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，所以ξ的分布列为Eξ=9．（2010•苏州模拟）在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数C93，满足条件的事件3个数中至少有1个是偶数，包含三种情况一个偶数，两个偶数，三个偶数，这三种情况是互斥的，根据等可能和互斥事件的概率公式得到；（2）记“这3个数之和为18”为事件B，考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，∴；（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=2）=∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为．10．（2005•湖南）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．【解答】解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34．由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．（I）从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C42=6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法，∴3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C42•3!记“3个景区都有部门选择”为事件A1，∴事件A1的概率为P（A1）==．（II）先从3个景区任意选定2个，共有C32=3种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有C41•2!种不同选法．第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有C42种不同选法，∴恰有2个景区有部门选择可能的结果为3（C41•2!+C42）．∴P（A2）==．。
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．352．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．233．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．344．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-5．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4136．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．916B ．58C ．181288D ．5127．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35 C ．34D ．128．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．239．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．25B ．35C ．38D ．5810．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+11．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110D ．32012．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ()3323π- B ()323π-C ()323π+ D ()23323ππ-+二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% ①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．15．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.17．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.18．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为 .19．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．20．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 3AB ，AC 于D ，E.若在△ABC 内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．三、解答题21．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时30,40上的概率.间均落在[)22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/人)12345（1）确定,x y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.26．已知集合{(,)|[0,2],[1,1]}M x y x y =∈∈-. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率； （2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】 由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=， 即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．A解析：A 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.3．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.4．D解析：D 【分析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．5．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩， 则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=， 这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.7．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．8．D解析：D 【分析】设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23P =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.9．D解析：D 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。
高中概率试题及答案
高中概率试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 12. 从52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/133. 一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机取出一个球，取到蓝球的概率是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/5D. 3/54. 一个事件的概率为0.3，那么它的对立事件的概率是多少？A. 0.7B. 0.3C. 0.5D. 0.65. 一个班级有30名学生，其中10名男生和20名女生，随机抽取一名学生，抽到女生的概率是多少？A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/4二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率是_________。
7. 如果一个事件的概率是0.4，那么它发生的概率是_________。
8. 从10个不同的球中随机抽取3个，不放回，抽到特定3个球的概率是_________。
9. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出2个球，两个球都是红球的概率是_________。
10. 一个事件的概率为0.2，那么它不发生的概率是_________。
三、解答题（每题5分，共10分）11. 一个袋子里有2个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求至少一个红球的概率。
12. 一个班级有50名学生，其中25名男生和25名女生。
随机抽取3名学生，求至少有1名男生的概率。
四、计算题（每题7分，共14分）13. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球和2个黄球。
随机取出3个球，求取出的球中至少有一个红球的概率。
14. 一个盒子里有10个球，其中3个是中奖球。
随机抽取2个球，求至少抽到一个中奖球的概率。
五、应用题（每题8分，共16分）15. 一个学校有500名学生，其中300名是高中生，200名是初中生。
随机抽取10名学生，求至少有8名高中生的概率。
高中概率问题练习题及讲解
高中概率问题练习题及讲解1. 掷骰子问题- 题目：一个均匀的六面骰子被掷两次，求两次掷出的点数之和为7的概率。
- 解析：首先确定所有可能的结果总数，即6*6=36种。
然后找出两次掷骰子点数和为7的组合，它们是(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)，共6种。
因此，所求概率为6/36，简化后为1/6。
2. 抽卡片问题- 题目：从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，求抽到黑桃A的概率。
- 解析：一副标准扑克牌中有13张黑桃，其中只有1张是黑桃A。
因此，抽到黑桃A的概率为1/52。
3. 独立事件问题- 题目：如果一个事件A发生的概率是0.3，另一个事件B发生的概率是0.5，且A和B是相互独立的，求A和B同时发生的概率。
- 解析：独立事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。
因此，A和B同时发生的概率为0.3*0.5=0.15。
4. 互斥事件问题- 题目：如果事件A和事件B是互斥的，且它们发生的概率分别为0.4和0.3，求至少有一个事件发生的概率。
- 解析：互斥事件至少有一个发生的概率等于它们各自发生概率的和，减去它们同时发生的概率（如果有的话）。
由于A和B互斥，它们不可能同时发生，所以同时发生的概率为0。
因此，至少有一个事件发生的概率为0.4+0.3=0.7。
5. 条件概率问题- 题目：已知事件A发生的概率为0.5，事件B在A发生条件下发生的概率为0.7，求事件B发生的概率。
- 解析：事件B发生的总概率等于事件A发生且B发生的概率加上事件A不发生且B发生的概率。
由于A和B在A发生条件下是相关的，我们只能计算A发生且B发生的概率，即0.5*0.7=0.35。
事件A不发生且B发生的概率需要额外信息才能计算。
6. 全概率公式问题- 题目：如果事件A1、A2、A3是两两互斥的事件，它们发生的概率分别为p1、p2、p3，且它们的并集概率为1，求事件B在这些条件下发生的概率，已知B在A1、A2、A3条件下发生的概率分别为p(B|A1)、p(B|A2)、p(B|A3)。
高中数学概率大题(经典一)
高中数学概率大题（经典一）一．解答题（共10小题）1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：1 2 3 4 5办理业务所需的时间（分）频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．3．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．8．2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．9．在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．10．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，∴P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=．∴随机变量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=≈2.73（2）由题意知①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）教练员组队方案共有144+45+2=191种．2．（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：1 2 3 4 5办理业务所需的时间（分）频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．3．（2012•海安县校级模拟）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．【解答】解：（1）记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件，设“海宝”卡n张，则任一人获奖的概率，∴，由题意：，∴n≥7．至少7张“海宝”卡，（2）ξ～的分布列为；，．4．（2011•江苏模拟）一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从9个球中任取2个，共有C92=36种结果，满足条件的事件是取出的2个球的颜色相同，包括三种情况，共有C42+C32+C22=10设“取出的2个球颜色相同”为事件A，∴P（A）==．（2）由题意知黑球的个数可能是0，1，2P（ξ=0）=P（ξ=1）=，P（ξ=2）=∴ξ的分布列是∴Eξ=0×+1×+2×=．（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，事件发生所包含的事件数C x+52，满足条件的事件是C x1C31+C x1C21+C31C21，设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则P（B）=＜，∴x2﹣6x+2＞0，∴x＞3+或x＜3﹣，x的最小值为6．5．（2010•鼓楼区校级模拟）某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C63种结果，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C21C42+C22C41设“一次抽奖中奖”为事件A，∴即一次抽奖中奖的概率为；（2）X可取0，10，20，P（X=0）=（0.2）2=0.04，P（X=10）=C21×0.8×0.2=0.32，P（X=20）=（0.8）2=0.64，∴X的概率分布列为∴E（X）=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．6．（2010•盐城三模）将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．【解答】解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为，∴正面向上的次数为奇数次的概率为P1=P15（1）+P15（3）+…+P15（15）=∴（Ⅱ）∵P1=C151p1（1﹣p）14+C153p3（1﹣p）12+…+C1515p15，P2=C150p0（1﹣p）15+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1则P2﹣P1=C150p0（1﹣p）15﹣C151p1（1﹣p）14+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1﹣C1515p15 =[（1﹣p）﹣p]15=（1﹣2p）15，而，∴1﹣2p＞0，∴P2＞P17．（2010•南通模拟）某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．【解答】解：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A•+•B）=P（A）•P（）+P（）•P（B）=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（A•B）=0.045，都不发生洪水的概率为P（•）=0.75×0.82=0.615，设损失费为随机变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000 60000 0P 0.34 0.045 0.615（2）对方案1来说，花费4000元；对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．8．（2010•海安县校级模拟）2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．【解答】解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”设有北京大学志愿者x个，1≤x＜6，那么P（A）=，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2人，来自清华大学志愿者4人；（2）记“清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人”为事件E，那么P（E）=，所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是；（3）ξ的所有可能值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，所以ξ的分布列为Eξ=9．（2010•苏州模拟）在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数C93，满足条件的事件3个数中至少有1个是偶数，包含三种情况一个偶数，两个偶数，三个偶数，这三种情况是互斥的，根据等可能和互斥事件的概率公式得到；（2）记“这3个数之和为18”为事件B，考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，∴；（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=2）=∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为．10．（2005•湖南）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．【解答】解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34．由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．（I）从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C42=6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法，∴3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C42•3!记“3个景区都有部门选择”为事件A1，∴事件A1的概率为P（A1）==．（II）先从3个景区任意选定2个，共有C32=3种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有C41•2!种不同选法．第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有C42种不同选法，∴恰有2个景区有部门选择可能的结果为3（C41•2!+C42）．∴P（A2）==．。
高中算概率的试题及答案
高中算概率的试题及答案试题一：掷骰子问题题目：一个公平的六面骰子被掷两次，求两次掷出的点数之和为7的概率。
答案：1. 首先，确定基本事件总数。
一个六面骰子有6个面，掷两次，所以基本事件总数为6×6=36。
2. 然后，找出所有两次掷出的点数之和为7的情况。
这些情况有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6种。
3. 最后，计算概率。
概率P(A)=有利事件数/基本事件总数=6/36=1/6。
试题二：抽卡片问题题目：一个袋子里有5张红牌和3张蓝牌，随机抽取两张牌，求两张牌颜色相同的概率。
答案：1. 计算基本事件总数。
从8张牌中抽取两张，基本事件总数为C(8,2)=28。
2. 计算两张牌都是红牌的事件数。
从5张红牌中抽取两张，事件数为C(5,2)=10。
3. 计算两张牌都是蓝牌的事件数。
从3张蓝牌中抽取两张，事件数为C(3,2)=3。
4. 计算两张牌颜色相同的事件总数。
两张牌颜色相同包括两张都是红牌和两张都是蓝牌，事件总数为10+3=13。
5. 计算概率。
概率P(A)=有利事件数/基本事件总数=13/28。
试题三：独立事件问题题目：甲、乙两人独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.7。
求甲、乙两人都击中目标的概率。
答案：1. 由于甲、乙两人射击是独立事件，所以两人都击中目标的概率等于各自击中目标概率的乘积。
2. 计算概率。
概率P(A)=P(甲击中)×P(乙击中)=0.6×0.7=0.42。
试题四：几何概率问题题目：在一个半径为1的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于0.5的概率。
答案：1. 确定基本事件对应的面积。
整个圆的面积为π×1²=π。
2. 确定有利事件对应的面积。
距离圆心小于0.5的区域是一个半径为0.5的圆，其面积为π×0.5²=0.25π。
3. 计算概率。
概率P(A)=有利事件面积/基本事件面积=0.25π/π=0.25。
概率高中练习题及讲解
概率高中练习题及讲解### 概率高中练习题及讲解#### 练习题一：掷骰子问题题目：一个公平的六面骰子被掷两次，求至少出现一次6点的概率。
解题思路：1. 首先确定总的可能结果数，即掷两次骰子的所有组合。
2. 然后确定至少出现一次6点的组合数。
3. 使用古典概型概率公式求解。
解答：- 总的可能结果数为 \(6 \times 6 = 36\) 种。
- 至少出现一次6点的组合数为 \(6 + 6 - 1 = 11\) 种（第一次出现6点，第二次出现6点，以及第一次和第二次都出现6点的组合）。
- 概率 \( P = \frac{11}{36} \)。
#### 练习题二：生日问题题目：在一个有30人的班级中，求至少有两人生日相同的概率。
解题思路：1. 考虑一年有365天，忽略闰年。
2. 使用生日问题的经典解法，即计算所有人都有不同生日的概率，然后用1减去这个概率。
解答：- 所有人都有不同生日的概率为 \( \frac{365}{365} \times\frac{364}{365} \times ... \times \frac{336}{365} \)。
- 至少有两人生日相同的概率为 \( 1 - \frac{365 \times 364\times ... \times 336}{365^{30}} \)。
#### 练习题三：独立事件问题题目：一个袋子里有5个红球和5个蓝球。
第一次随机取出一个球，不放回，然后第二次再取出一个球。
求第二次取出红球的概率。
解题思路：1. 确定第一次取出球后，第二次取球的总可能数和有利结果数。
2. 使用条件概率公式求解。
解答：- 第一次取出红球的概率为 \( \frac{5}{10} = 0.5 \)，此时第二次取红球的概率为 \( \frac{4}{9} \)。
- 第一次取出蓝球的概率也为 \( 0.5 \)，此时第二次取红球的概率为 \( \frac{5}{9} \)。
- 总概率为 \( 0.5 \times \frac{4}{9} + 0.5 \times \frac{5}{9} = \frac{9}{18} = 0.5 \)。
高考数学概率真题训练100题含参考答案
高考数学概率真题训练100题含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．在区间(0,1)随机取一个数，则取到的数小于13的概率为（ ）A ．34B ．23C ．13D ．162．向边长为4的正三角形区域投飞镖，则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为（ ）A ．1B ．34C D ．143．某公交车站的末班车在19：0019-：30间随机驶离该站，小明在19：1519-：30间随机到达该站，则小明赶上末班车的概率是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．344．从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为 A ．13B ．12C ．23D ．565．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则3m n =的概率为（ ） A ．118B ．112 C ．19D ．166．如图，先画一个正方形ABCD ，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH ，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是A ．14B ．16C ．18D ．1167．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ） A ．12B ．14C ．13D ．168．在区间[0，2]上随机取一个实数x ，则事件“3x -1＜0”发生的概率为A．12B．13C．14D．169．在等腰直角三角形ABC中，角C为直角．在ACB∠内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM AC<的概率（）．A2B．12C．34D．1410．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A．18B．17C．16D．1511．某公司安排甲、乙、丙3人到,A B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为（）A．15B．16C．13D．1412．从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是A．至少有一个红球，至少有一个白球B．恰有一个红球，都是白球C．至少有一个红球，都是白球D．至多有一个红球，都是红球13．写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算8965⨯，将被乘数89计入上行，乘数65计入右行．然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5785．类比此法画出648345⨯的表格，若从表内（表周边数据不算在内）任取一数，则恰取到奇数的概率是（）A．518B．13C．1318D．2314．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．4π81B．81-4π81C．127D．82715．五行学说最早出现在黄老､道家学说中，据《尚书·洪范》记载：“五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土.水曰润下，火曰炎上，木曰曲直，金曰从革，土曰稼穑.润下作咸，炎上作苦，曲直作酸，从革作辛，稼穑作甘.”后人根据对五行的认识，又创造了木､火､土､金､水五行相生相克理论，如金与木､金与火､水与火､水与土､土与木相克，若从5大类元素中任选2类，则2类元素相克的概率是（）A．34B．25C．35D．1216．“垃圾分类”已成为当下最热议的话题，我们每个公民都应该认真履行，逐步养成“减量、循环、自觉、自治”的行为规范，某小区设置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”四种垃圾桶．一天，小区住户李四提着属于4个不同种类垃圾桶的4袋垃圾进行投放，发现每个桶只能再投一袋垃圾就满了，作为一个意识不到位份子，李四随机把4袋垃圾投放到了4个桶中，则有且仅有一袋垃圾投放正确的概率为（）A．16B．23C．13D．1217．中国古代的贵族教育体系，开始于公元前1046年的周王朝，周王官学要求学生掌握的六种基本才能礼、乐、射、御、书、数.某中学为了传承古典文化，开设了六种选修课程，要求每位学生从中选择3门课程，扎西同学从中随机选择3门课程，则他选中“御”的概率为（）A．16B．13C．12D．2318．不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（）A．314B．37C．67D．132819．同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是奇数的概率为（）A．736B．1136C．1112D．3420．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为A．910B．310C．15D．11021．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（）A．112B．110C．325D．1212522．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是A．12B．13C．14D．1523．若x A∈，则1Ax∈，就称集合A是“和谐集合”.任选集合111,,,1,3,423M⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的一个非空子集是“和谐集合”的概率为（）A．110B．19C．731D．73224．张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是A．、B．、C．、D．、25．在右图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是A．B．C．D．26．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内的概率为15, 若直角三角形的两条直角边的长分别为(),a b a b >,则b a=A ．13B ．12C D 27．不定项选择题是高中物理选择题中必考题型之一，正确答案为A 、B 、C 、D 四个选项中的一个或多个，假设某考生对A 、B 、C 、D 选项正确与否完全不知道，则该考生猜对答案概率是（ ） A ．16B ．114C ．115D ．11628．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则“4X >”表示试验的结果为 A ．第一枚为5点，第二枚为1点 B ．第一枚为5或6点，第二枚为1点 C ．第一枚为6点，第二枚为1点D ．第一枚为1点，第二枚为6点29．2021年湖北省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式，现有甲、乙、丙、丁4名学生都准备选物理与化学，并且他们都对政治、地理、生物三科没有偏好，则甲、乙、丙、丁4人中恰有2人选课相同的概率为（ ） A ．16B ．512 C ．58D ．4930．《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载，已知两周率π小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（ ）A ．35B ．3395C ．21100D ．72031．费马小定理：若p 是质数，且a ，p 互质，那么a 的()1p -次方除以p 所得的余数恒等于1．依此定理，若在数集{}2,3,5,6中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（ ）A ．712 B ．34C ．23D ．1232．一个矩形，如果从中截去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似）0.618≈，称为黄金比，称该矩形为黄金矩形.黄金矩形可以用上述方法无限地分割下去.已知ABCD 是黄金矩形，按上述方法分割若干次以后，得如图所示图形.若在ABCD 内任取一点，则该点取自阴影内部的概率为（ ）A ．4⎝⎭B ．6⎝⎭C ．7⎝⎭D ．8⎝⎭33．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是（ ） A ．13B ．16C ．19D ．11234．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是A ．14B ．13C ．532D ．31635．在正方体1111ABCD A B C D -中，从1,,,A B C B 四个点中任取两个点，这两点连线平行于平面11AC D 的概率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．5636．同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M ，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N ，则有（ ） A ．M N ⊆B ．M N ⊇C ．M ND ．M N <37．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD 外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”.现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（ ）A ．37B ．47C ．314D ．111438．抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是12,反复投掷，数列{}n a 定义如下:1({-1(n n a n =第次投掷出现正面）第次投掷出现反面），若*12()n n S a a a n N =+++∈,则事件40S >的概率为A ．516B ．14C ．116D ．1239．在区间[]0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是（ ）A ．1225B ．1625C ．1725D ．182540．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定41．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为X ，已知16(1)45P X ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品数为（ ） A ．2件 B ．4件 C ．6件 D ．8件42．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是 A ．310B ．23C ．35D ．4543．设k 是一个正整数，在(1+)k x k的展开式中，第四项的系数为116，记函数2yx 与y kx =的图象所围成的阴影部分面积为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是（ ） A ．23B ．13C ．25D ．1644．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为 A ．310 B ．35C ．710 D ．2545．《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A ．2πB ．4πC ．4πD ．2π46．将长为1的小捧随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为 A ．12 B ．13C ．14D ．1547．已知函数，若在[1，8]上任取一个实数，则不等式成立的概率是A ．B ．C ．D ．48．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ） A ．120B ．112C ．110 D ．16二、填空题49．（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为__________. 50．已知某市的1路公交车每5分钟发车一次，小明到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是______.51．已知某运动员在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，则该运动员在一次射击中，至少射中8环的概率是_______. 52．如图，靶子由一个中心圆面I 和两个同心圆环Ⅱ、Ⅱ构成，射手命中I 、Ⅱ、Ⅱ的概率分别为0.33、0.29、0.26，则脱靶的概率是______．53．下列命题中，正确的是______．（填序号）Ⅱ事件A 发生的概率()P A 等于事件A 发生的频率()n f A ；Ⅱ一颗质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点；Ⅱ掷两枚质地均匀的硬币，事件A 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B 为“两枚都是正面朝上”，则()()2P A P B =；54．袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 23 34据此估计，直到第二次就停止的概率为______.55．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．56．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则正确命题的序号是______．Ⅱ事件A 发生的概率为12；Ⅱ事件A B 发生的概率为1120； Ⅱ事件A B 发生的概率为25；Ⅱ从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15．57．随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为__（精确到0.001）． 58．.从分别写上数字1,2,3,9,的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为________________59．如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒.若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为__________．60．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为“向上的为奇数点”，事件B 为“向上的为4点”，则()P A B =______．61．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4、5的五个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和不小于5”的概率是______.62．已知向量(2,1),(,)a b x y ==，若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量//a b 的概率为_______.63．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.64．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________.65．如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为_______66．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为13，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.67．设a ，b 随机取自集合{}1,2,3，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是________． 三、解答题68．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n .求（1）用列举法，列出所有结果； （2）求事件2n m <+的概率.69．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；70．为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率.71．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”.图1共享单车用户年龄等级分布图2共享单车使用频率分布（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表：（2）现从不常使用共享单车的人中分层抽样抽出4人跟踪调查，若从这4人中随机抽取2人，求2人都是年轻人的概率. 参考数据：独立性检验界值表：其中，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.72．为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.Ⅱ从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；Ⅱ从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.73．若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：1221ˆni ii nii x ynx ybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：88211460,379.5ii i i i x x y ====∑∑.74．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5Ⅱ3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 75．设袋中有5个黄球，3个红球，2个绿球，试按：(1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率； (2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率．76．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y ，用(),x y 表示一个基本事件. （1）求满足条件“xy为整数”的事件的概率； （2）求满足条件“2x y -<”的事件的概率.77．投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4．将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．（1）求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；（2）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．78．如今我们的互联网生活日益丰富，网购开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某校学生管理机构为了了解学生网购消费情况，从全校学生中抽取了100人进行分析，得到如下表格（单位：人）参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++参考数据如下：（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学生网购的情况与性别有关？（2）现从所调查的女生中利用分层抽样的方法抽取了5人，其中经常网购的女生分别是：,,A B C，偶尔或从不网购的女生分别是,a b，从这5人中随机选出2人，求选出的2人中至少有1人经常网购的概率79．已知甲袋中有4个白球2个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球.(1)求甲袋中任取出的2个球为同色球的概率；(2)求乙袋中任取出1球为白球的概率.80．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数()AQI，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,n m的值，并完成频率分布直方图：(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；-的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5 (3)在空气质量指数分别为51100-和151200天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.81．甲､乙两人参加一次考试.已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从各选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)分别求甲､乙两人考试合格的概率；(2)求甲､乙两人至少有一人考试合格的概率.82．某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组80,100，得到频率分布直方图，如图所示.[60,80)，第五组[]（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率. 83．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．84．浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7 门科目中自选 3 门参加考试．下面是某校高一200 名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20 分成7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第60 百分位数；(3)若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”的概率．85．某学校在学校内招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如茎叶图所示（单位：cm），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（Ⅱ）根据数据分别写出男、女两组身高的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则各抽几人？（Ⅱ）在（Ⅱ）的基础上，从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？86．2020年江西省旅游产业发展大会于6月12日至6月13日在赣州顺利召开.为让广学生子解赣州旅游文化，赣州市旅游局在赣州市各中小学校开展“赣州市旅游知识网络竞赛”活动.为了更好地分析中学生和小学生对赣州市旅游知识掌握情况，将中学组和小学组的所有参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.（1）若将一般和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？（2）若某县参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计该县参赛选手中优秀等级的人数；（3）如果在优秀等级的选手中取3名，在良好等级的选手中取2名，再从这5人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中恰有2名选手的等级为优秀的概率.注：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.。
高三数学概率练习题及答案2023
高三数学概率练习题及答案2023概率是数学中一个重要的分支，它研究的是不确定事件的可能性。
在高三数学学习中，概率也是一个重要的内容。
为了帮助各位高三学生巩固概率知识，我整理了一些概率练习题及其答案。
练习题一：1.一个有12个红球和8个蓝球的袋子，从中随机抽取4个球，求抽到2个红球2个蓝球的概率。
2.在一批电脑中，有60%的电脑工作正常，40%的电脑存在故障。
如果从中随机抽取3台电脑，求至少有2台工作正常的概率。
3.一副扑克牌共有52张牌，其中黑桃、红桃、梅花和方片各有13张。
从中随机抽取5张牌，求其中至少有3张黑桃的概率。
练习题二：1.一个班级有40个学生，其中20个学生喜欢篮球，15个学生喜欢足球，10个学生既喜欢篮球又喜欢足球。
从中随机抽取一个学生，求该学生既喜欢篮球又喜欢足球的概率。
2.一家手机厂商共有1000部手机，其中100部属于次品。
从中抽取5部手机，求至少有1部次品的概率。
3.在一次模拟考试中，某班级参加考试的学生共有50人。
已知这些学生中80%能取得优异成绩，60%能取得及格成绩。
从中随机抽取3个学生，求至少有2个学生能取得优异成绩的概率。
练习题三：1.甲、乙、丙三个人相继投掷一颗骰子，求他们得到的点数之和为9的概率。
2.某商品的包装中有10个零件，其中4个是次品。
从中无放回地抽取3个零件，求其中至少2个是次品的概率。
3.在一场抽奖活动中，共有1000人参与，其中10人可以获奖。
从中随机抽取5人，求至少有1人获奖的概率。
答案解析：练习题一：1.计算红球的概率：P(红球) = 红球个数/总球数 = 12/20。
计算蓝球的概率：P(蓝球) = 蓝球个数/总球数 = 8/20。
计算抽到2个红球2个蓝球的概率：P(2个红球2个蓝球) = C(12,2) * C(8,2) / C(20,4)。
2.计算正常电脑的概率：P(正常) = 60% = 0.6。
计算故障电脑的概率：P(故障) = 40% = 0.4。
高中数学概率大题(经典一)
高中数学概率大题(经典一).doc
1.给出以下三个命题:
D将一枚硬币抛掷两次,记事件A:两次都出现正面,事件B:两次都出现反面,则事件A与事件B 是对立事件:@在命题中,事件 A 与事件 B 是斥事件;3在 10 件产品中有 3件是次品从中任取 3 件记事件 A:所取 3 件中最多有 2 件是次品事件 B:所取件中至少有 2件是次品,则事件 A 与.事件 B 是互斥事件其中真命题的个数是()
A.0
B.1
c.2
D.3
2.一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,23,4,56
(1)若从袋中随机抽取1个球，求取到3号球的率
若从袋中随机抽取2个球，求取到3号球的概率;(2)
若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，求恰好有一次取到(3)3号球的概率;
若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率;
若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到3号球的概率;
(6)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为，求随机
变量X的分布列.
一个袋子中装有6个大小相同的球，其中有4个黑球，2个白球;(1)若一次取出2个球，求恰好有1个白球的概率;
(2)若一次取出2个球，求取到白球的概率;
(3)若一次取出2个球，取出查看颜色后再放回。
像这样连续抽取3次求恰好有2次取到白球的概率。
某校组织“上海世博会”知识竞赛，已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响.(I)求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率;
3
(II)记为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求的分布列及数学期望EE。
高中概率试题及答案
高中概率试题及答案一、选择题1. 某工厂生产的产品中，次品率为0.05，合格品率为0.95。
从这批产品中随机抽取一件，抽到次品的概率是：A. 0.05B. 0.95C. 0.50D. 0.10答案：A2. 抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率是：A. 0.5B. 1C. 0.25D. 0.75答案：A二、填空题3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，如果随机摸出一个球，那么摸到红球的概率是_________。
答案：\(\frac{5}{8}\)4. 某班有50名学生，其中男生30人，女生20人。
随机选取一名学生，该学生是女生的概率是_________。
答案：\(\frac{2}{5}\)三、简答题5. 某学校有100名学生，其中60名学生参加数学竞赛，40名学生参加物理竞赛，同时参加数学和物理竞赛的学生有10人。
求至少参加一项竞赛的学生的概率。
答案：至少参加一项竞赛的学生数为60+40-10=90人，概率为\(\frac{90}{100}=0.9\)。
四、计算题6. 甲、乙两人进行射击比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.6。
如果两人同时射击，求两人都击中目标的概率。
答案：两人都击中目标的概率为甲击中目标的概率乘以乙击中目标的概率，即\(0.7 \times 0.6 = 0.42\)。
7. 某工厂生产的产品中，有95%的产品是合格的。
如果从这批产品中随机抽取10件，求至少有8件是合格品的概率。
答案：这是一个二项分布问题，设X为10件产品中有k件是合格品的随机变量，X～B(10, 0.95)。
至少有8件合格品的概率为：\[P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\]使用二项分布公式计算，得到：\[P(X \geq 8) = \binom{10}{8}(0.95)^8(0.05)^2 +\binom{10}{9}(0.95)^9(0.05)^1 + (0.95)^{10}\]计算得到具体数值。
高考概率经典解答题及答案
高考概率经典解答题及答案下面是一些经典的高考概率题目及其答案：1. 问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。
因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。
：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。
因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。
2. 问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？答案：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。
抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。
：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。
抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。
因此，抽到一黑一白的概率为(5/12) * (7/11) + (7/12) * (5/11) = 35/66。
3. 问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？答案：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。
共有36种不同的点数组合。
：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。
共有36种不同的点数组合。
其中，和为7的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)这6种组合。
因此，两次投掷的点数之和为7的概率为6/36，即1/6。
以上是一些经典的高考概率题目及其答案，希望对您有帮助。
高三数学概率试题及答案
高三数学概率试题及答案一、选择题1. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.5，那么P(X=5)的值是：A. 0.246B. 0.2048C. 0.5D. 0.01答案：B2. 抛掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的概率是：A. 1/8B. 1/4C. 1/2D. 3/4答案：C3. 从5个不同的球中随机抽取3个球，不考虑顺序，抽取的3个球中至少有1个红球的概率是：A. 1/2B. 2/3C. 3/5D. 4/5答案：D二、填空题4. 一个袋子里有5个红球，3个白球，随机抽取2个球，抽到至少1个红球的概率是______。
答案：13/155. 甲、乙两人进行射击比赛，甲击中目标的概率是0.3，乙击中目标的概率是0.4，两人同时击中目标的概率是0.12，则甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是______。
答案：0.74三、解答题6. 某工厂生产的产品中，次品率为0.03，现从一批产品中随机抽取10件产品进行检验，求恰好有2件次品的概率。
答案：根据二项分布公式，P(X=2) = C_{10}^{2} * 0.03^2 * 0.97^8 ≈ 0.23。
7. 一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。
随机抽取5名学生，求至少有1名女生的概率。
答案：首先计算没有女生的概率，即全部为男生的概率，P(全部为男生) = C_{30}^{5} / C_{50}^{5}，然后用1减去这个概率得到至少有1名女生的概率，P(至少1名女生) = 1 - P(全部为男生)。
8. 某城市有甲、乙、丙三个区，甲区有10%的人感染了某种疾病，乙区有20%的人感染了该疾病，丙区有30%的人感染了该疾病。
随机从该城市中抽取100人，求至少有1人感染该疾病的概率。
答案：首先计算没有人感染的概率，即100% - 甲区感染概率 - 乙区感染概率 - 丙区感染概率，然后根据100人的情况计算没有人感染的概率，最后用1减去这个概率得到至少有1人感染的概率。
高一概率试题及答案
高一概率试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 抛掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是（）。
A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/16答案：B2. 从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是（）。
A. 1/2B. 1/4C. 1/3D. 1/13答案：B3. 一个袋子里有5个红球，3个白球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是（）。
A. 5/8B. 3/8C. 5/6D. 3/6答案：A4. 一个工厂生产的产品中有2%是次品，从这批产品中随机抽取100件，其中至少有2件次品的概率是（）。
A. 0.98B. 0.02C. 0.04D. 0.96答案：D5. 一个袋子里有10个球，其中3个是红球，7个是蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是（）。
A. 3/10B. 7/10C. 3/7D. 7/3答案：A6. 抛掷一枚均匀的骰子，掷出偶数点的概率是（）。
A. 1/2B. 1/3C. 1/6D. 2/3答案：A抽取两个球，两个都是红球的概率是（）。
A. 1/15B. 1/10C. 1/6D. 1/3答案：A8. 从1到100中随机选取一个数，这个数是3的倍数的概率是（）。
A. 1/3B. 1/4C. 33/100D. 1/2答案：C抽取一个球，抽到蓝球的概率是（）。
A. 1/2B. 1/10C. 5/10D. 1/10答案：A10. 抛掷一枚均匀的硬币三次，三次都是正面朝上的概率是（）。
A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/64答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 抛掷一枚均匀的硬币三次，至少两次正面朝上的概率是______。
答案：7/812. 从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张牌，抽到黑桃的概率是______。
答案：1/413. 一个袋子里有8个球，其中4个是红球，4个是白球，随机抽取两个球，两个都是红球的概率是______。
答案：1/714. 抛掷一枚均匀的骰子，掷出3点或5点的概率是______。
概率大题练习题及讲解高中
概率大题练习题及讲解高中概率论是高中数学中的一个重要分支，它涉及到随机事件及其发生的可能性。
以下是一些概率大题的练习题及简要讲解，供高中生参考和练习。
练习题1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子中取出一个球，观察其颜色。
求取出红球的概率。
解答：总共有8个球，其中5个是红球。
取出红球的概率为红球数除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]练习题2：一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
现在随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。
解答：首先计算没有女生的概率，即抽取的3名学生都是男生的概率。
从30名男生中抽取3名，总共有\[ C_{30}^{3} \]种组合，而从50名学生中抽取3名，总共有\[ C_{50}^{3} \]种组合。
因此，没有女生的概率为：\[ P(\text{无女生}) = \frac{C_{30}^{3}}{C_{50}^{3}} \]至少有1名女生的概率为1减去没有女生的概率：\[ P(\text{至少1名女生}) = 1 - P(\text{无女生}) \]练习题3：一个工厂生产的零件中，有2%是次品。
现在随机抽取10个零件进行检查，求至少有1个次品的概率。
解答：这是一个二项分布问题。
次品的概率为0.02，非次品的概率为0.98。
使用二项分布公式计算至少有1个次品的概率：\[ P(\text{至少1个次品}) = 1 - P(\text{0个次品}) - P(\text{1个次品}) \]其中，\( P(\text{0个次品}) \)和\( P(\text{1个次品}) \)分别使用二项分布公式计算。
练习题4：一个骰子有6个面，每个面上的数字是1到6。
投掷骰子两次，求两次投掷结果之和为7的概率。
解答：两次投掷结果之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)六种。
每次投掷有6种可能，所以总共有\[ 6 \times 6 \]种可能的组合。
高中数学概率大题(经典)
高中数学概率大题(经典)高考大题概率训练1、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1，2，……6)。
求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率：(Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。
2、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。
首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫：若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。
再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。
令ξ表示走出迷宫所需的时间。
(1)求ξ的分布列:(2)求ξ的数学期望。
3、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球。
某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球(拿后放回)，记下标号。
若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分。
(1)求拿4次至少得2分的概率：(2)求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望。
4、质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。
将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。
(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率：(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望Eξ。
5、在2006年多哈娅运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决.已知比赛中，第一局日本女排先赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为35胜一局，在这个条件下，(1)求中国女排取胜的概率：(Ⅱ)设决赛中比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ。
(两问均用分数作答)6、甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。
规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球：若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。
现甲进行第一次摸球。
(1)在前三次模球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况，(Ⅱ)在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。
概率经典例题及解析.近年高考题50道带答案概率高考题
概率经典例题及解析.近年高考题50道带答案概率高考题（经典例题）（例1）（2021湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．1-2 1121 B ． - C ． D ．π2πππ（答案）A（解析）令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=形OAC 面积和2π 1 2 1 1 1 π-2 S 1-××=．在扇形OAD 中为扇形面积减去三角2222282S S 1 1 2 1 S 2 π-2 π-2 π，=π×1--=，S 1+S2=，扇形OAB 面积S=，选A ． 228821644（例2）（2021湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX＝A.12661687 B. C. D. 12551255（答案）B275436827（解析）X 的取值为0，1，2，3且PX＝0 ＝，PX＝1 ＝PX＝2 ＝，PX＝3 ＝，故EX[***********]686＋1×，选B.1251251255（例3）（2021四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是1137A. B. C. D. 4248（答案）C0≤x≤4，（解析）设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意?满足条件的关系式?0≤y≤4，?为－2≤x－y≤2.根据几何概型可知，事件全体的测度面积为16平方单位，而满足条件的事件测度阴影部分面积为12平方单位，123故概率为164（例4）（2021江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为. （答案）0.2（解析）从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2 （例5）（2021江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，nm≤7，n≤9可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 2063（解析）基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9. 所以m ，n 都取到奇数共有2021种，故所求概率为63（例6）（2021山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________． 13（解析）当x2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[1，＋∞ . 在[－3，3]3－11上使不等式有解的区间为[1，3]，由几何概型的概率公式得P ＝.3－（－3）3（例7）（2021北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？结论不要求证明 212；3月5日1313（解析）设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”i＝1，2，…，13 ．1根据题意，PAi＝，且Ai∩Aj＝i≠j．13（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 2所以PB＝PA5∪A8＝PA5＋PA813（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且PX＝1 ＝PA3∪A6∪A7∪A11 4＝PA3＋PA6＋PA7＋PA11＝，13PX＝2 ＝PA1∪A2∪A12∪A13 4＝PA1＋PA2＋PA12＋PA13＝，135PX＝0 ＝1－PX＝1 －PX＝2 ＝13所以X 的分布列为54412故X 的期望EX＋2×＝13131313（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．2（例8）（2021福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以32获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？11（答案）1522（解析）方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这235人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，22411因为PX＝5 ＝×，所以PA＝1－PX＝5 ＝，35151511即这两人的累计得分X≤3的概率为.15（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E2X1，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E3X2．?2?2?由已知可得，X1～B 2，，X2～B 2，?， ?35?2424所以EX1＝2×＝EX23355812从而E2X1＝2EX1E3X2＝3EX2＝.35因为E2X1>E3X2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，2?22?22?1?222因为PX＝0 ＝ 1－?× 1－?，PX＝2 ＝× 1－＝PX＝3 ＝ 1－，5?5335?5?3?51511所以PA＝PX＝0 ＋PX＝2 ＋PX＝3 ＝1511即这两人的累计得分X≤3的概率为.15（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：1448所以EX1＋4×＝，9993912412EX2＝0×＋3×＋6×2525255因为EX1>EX2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（例9）（2021浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取有放回，且每球取到的机会均等2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列； 55（2）从该袋子中任取每球取到的机会均等1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝求a ∶b ∶c.39（答案）3∶2∶1（解析）（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.3×31Pξ＝2 ＝，6×642×3×21Pξ＝3 ＝，6×632×3×1＋2×25Pξ＝4 ＝.6×6182×2×11Pξ＝5 ＝，6×691×11Pξ＝6 ＝，6×636所以ξ的分布列为（2）由题意知η的分布列为a 2b 3c 5所以Eη＝＋a ＋b ＋c a ＋b ＋c a ＋b ＋c 35a 5b 5c 5Dη＝1－2·＋2－2·＋3－2·3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 92a －b －4c ＝0，化简得?解得a ＝3c ，b ＝2c ，?a ＋4b －11c ＝0，?故a∶b∶c＝3∶2∶1.（例10）（2021北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望. （答案）43； 278（解析）本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二?11?14P A =个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为 1- 1-=.?33?327（2）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.事件“ξ=2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），4?12?∴P ξ=2k =C k? 33?k4-kk =0,1,2,3,4，∴即ξ的分布列是+2?+4?+6?+8?=. ∴ξ的期望是E ξ=0?[1**********]（课堂练习）1. （2021广东）已知离散型随机变量则X 的数学期望EX＝35A. B ．2 C. D ．3 222. （2021陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．ππππA ．1－B ．－1 B ．2－ D ．42243．在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为4323A ． B ． C ． D ．777144．（2021安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A ．?F ?E?A5. （2021江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A ．1234 B ． C ． D ． 75757575?B31334850B ．C ．D ． . 818181816. （2021辽宁文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为π817. （2021上海理）若事件E 与F 相互独立，且P E =P F =，则P E I F 的值等于4111A ．0B ．C ．D ．4216A ．B ．1-D ．1-π4ππ C ． 48x 2y 28．（2021广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ＋1表示焦点在x 轴上且离心率小a b3于 21151731A ． B C ． D ．23232329．已知数列{an }满足a n ＝a n －1＋n －1n≥2，n ∈N ，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a ，b ，c ，则满足集合{a，b ，c}＝{a1，a 2，a 3}1≤ai ≤6，i ＝1，2，3 的概率是1111A ． B ． C ． D ．7236241210. （2021湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。
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高中数学概率大题（经典一）一．解答题（共10小题）1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间1 2 3 4 5（分）频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．3．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．8．2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．9．在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．10．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，∴P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=．∴随机变量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=≈2.73（2）由题意知①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）教练员组队方案共有144+45+2=191种．2．（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：1 2 3 4 5办理业务所需的时间（分）频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．3．（2012•海安县校级模拟）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．【解答】解：（1）记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件，设“海宝”卡n张，则任一人获奖的概率，∴，由题意：，∴n≥7．至少7张“海宝”卡，（2）ξ～的分布列为；，．4．（2011•江苏模拟）一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从9个球中任取2个，共有C92=36种结果，满足条件的事件是取出的2个球的颜色相同，包括三种情况，共有C42+C32+C22=10设“取出的2个球颜色相同”为事件A，∴P（A）==．（2）由题意知黑球的个数可能是0，1，2P（ξ=0）=P（ξ=1）=，P（ξ=2）=∴ξ的分布列是∴Eξ=0×+1×+2×=．（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，事件发生所包含的事件数C x+52，满足条件的事件是C x1C31+C x1C21+C31C21，设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则P（B）=＜，∴x2﹣6x+2＞0，∴x＞3+或x＜3﹣，x的最小值为6．5．（2010•鼓楼区校级模拟）某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C63种结果，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C21C42+C22C41设“一次抽奖中奖”为事件A，∴即一次抽奖中奖的概率为；（2）X可取0，10，20，P（X=0）=（0.2）2=0.04，P（X=10）=C21×0.8×0.2=0.32，P（X=20）=（0.8）2=0.64，∴X的概率分布列为∴E（X）=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．6．（2010•盐城三模）将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．【解答】解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为，∴正面向上的次数为奇数次的概率为P1=P15（1）+P15（3）+…+P15（15）=∴（Ⅱ）∵P1=C151p1（1﹣p）14+C153p3（1﹣p）12+…+C1515p15，P2=C150p0（1﹣p）15+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1则P2﹣P1=C150p0（1﹣p）15﹣C151p1（1﹣p）14+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1﹣C1515p15=[（1﹣p）﹣p]15=（1﹣2p）15，而，∴1﹣2p＞0，∴P2＞P17．（2010•南通模拟）某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．【解答】解：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A•+•B）=P（A）•P（）+P（）•P（B）=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（A•B）=0.045，都不发生洪水的概率为P（•）=0.75×0.82=0.615，设损失费为随机变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000 60000 0P 0.340.045 0.615（2）对方案1来说，花费4000元；对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．8．（2010•海安县校级模拟）2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．【解答】解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”设有北京大学志愿者x个，1≤x＜6，那么P（A）=，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2人，来自清华大学志愿者4人；（2）记“清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人”为事件E，那么P（E）=，所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是；（3）ξ的所有可能值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，所以ξ的分布列为Eξ=9．（2010•苏州模拟）在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数C93，满足条件的事件3个数中至少有1个是偶数，包含三种情况一个偶数，两个偶数，三个偶数，这三种情况是互斥的，根据等可能和互斥事件的概率公式得到；（2）记“这3个数之和为18”为事件B，考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，∴；（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=2）=∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为．10．（2005•湖南）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．【解答】解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34．由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．（I）从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C42=6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法，∴3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C42•3!记“3个景区都有部门选择”为事件A1，∴事件A1的概率为P（A1）==．（II）先从3个景区任意选定2个，共有C32=3种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有C41•2!种不同选法．第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有C42种不同选法，∴恰有2个景区有部门选择可能的结果为3（C41•2!+C42）．∴P（A2）==．。