曲边梯形的面积完整版

y
分点越来越密时， 即分割越来越细时， 矩形面积和的极限即 为曲边形的面积。
o
x
函数f(x)在区间[a, b]上的定积分的概念;
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
分割越细，面积的近似值就越精确。当 分割无限变细时，这个近似值就无限逼近 所求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过 程
(1) 分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ], [ 1 , 2], , [i 1 , i ], ,[n 1 , n],
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替 “曲边”（即在很小范围内以直代曲），有 以下三种方案“以直代曲” 。
y
x
O
1
方案1 方案2 方案3
y
y = f(x)
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面
积 A，得 A A1 .
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的 面积A， 得
n
曲边梯形的面积为 S
lim
n
i 1
f (i )xi .
练习 ：求直线x=0, x=2, y=0与 y=x2所围成的曲边梯形的面积.
小结 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
y (1) 分割 (2) 近似代替 (3) 求和 (4) 取极限
o
x
把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积
S的近似值。
x=a
Oa
x=b
bxFra Baidu bibliotek
P
放大
P
再放大
P
因此，我们可以用一条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以
看作直线（即在很小范围内以直代曲）．
1.5.1 曲边梯形的面积 特殊：求直线x0、x1、y0及曲线 yx2 所
围成的平面图形（曲边三角形）面积S是多少？
y
x
O
1
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割 成许多小曲边梯形
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
y
y
y
0
x0
xo
x
直线 几条线段连成的折线 曲线？
y
y
oa
x
b
oa
x b
一般地, 如果函数y=f(x)在某个区间I上的图 象是一条连续不断的曲线, 那么就把它称为区 间I上的连续函数.
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
教材研读
一、求曲边梯形面积的一般步骤
二、定积分
1.函数f(x)在区间[a, b]上的定积分的概念;
2. b f (x)dx的几何意义是什么? a
3.如何理解
b a
f
(x)dx
n1
lim 0 i0
f
(i )
xi ?
4.定积分是变量还是常量?
5.定积分的作用是什么?
微积分在几何上有两个基本问题 1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
• 在 [a, b]中任意插入 n -1个分点．
• 得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
• 区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y
f(2) f(1)
• 把曲边梯形分成 n 个窄 曲边梯形．
y = f(x) f(i)
f(i)xi
O a 1 x1 2 x2
xi-1 i xi
• 任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面积．
xn-1 b x
• 曲边梯形的面积近似为：A
n
f (i )xi ．
i1
y
f(2) f(1)
y = f(x) f(i)
f(i)xi
O a 1 x1 2 x2
xi-1 i xi
xn-1 b x
表示了曲边梯形面积的近似值
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
(2) 以直代曲
Si
f(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
(3) 作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n
i-1 1 f( )
n
i (
- 1 )2
1
i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
(4) 逼近
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n 1)2 ]
1 n3
1 (n 1)n(2n 1) 6
1 (1 1 )(2 1 ) 1 . 6n n3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为1 。
3
3
分割
以直代曲
作和
逼近
当分点非常多（n非常大）时，可以认为 f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常 小），从而可以取小区间内任意一点 xi 对应 的函数值 f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x 来近似表示小曲边梯形的面积
f (x1)x f(x2 )x f(xn )x
A A1 A2 .
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面
积A， 得 A A1 A2 A3 A4 .
y = f(x) y
A1 Oa
Ai
An
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系