冲刺2021届新高考数学二轮复习解答题限时训练09(解析版)

解答题限时训练09

1．（2020·湖南衡阳市八中高三月考）在①102

n

n a a ++=，②1661n n a a +=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，______，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

【答案】选①：3

12n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，存在，最大值4；选②：125

66

n a n =-+，存在，最大值50；选③：

21724

2

n n n a -+=

，不存在，理由见解析. 【解析】选①：因为102n

n a a ++=，即112n n

a a +=-，14a =， 所以数列{}n a 是首项为4、公比为12

-的等比数列，1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫

=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

当n 为奇数时，141281113212

n n n

S ⎡⎤

⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭

+， 因为81132n

⎛⎫

+

⎪⎝

⎭

随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =； 当n 为偶数时，141281113212

n n n

S ⎡⎤

⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭

+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②：因为1661n n a a +=-，即11

6

n n a a +-=-，14a =， 所以{}n a 是首项为4、公差为16

-

的等差数列，()112541666n a n n ⎛⎫

=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，

解答题 限时70min

125066

n -+≥，解得25n ≤，240a >，250a =， 故n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ，

25252414255026S ⨯⎛⎫

=⨯+

⨯-= ⎪⎝⎭

，n S 的最大值为50. 选③：因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 则()()()()()

21112217911716

2

2

n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-=

=

， 因为14a =，所以21724

2

n n n a -+=，

当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.

2．（2020·全国高三月考（理））已知函数()πsin cos 34

f x x x ⎛⎫=⋅++ ⎪

⎝

⎭，x ∈R ． （1）当π0,2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

时，求()f x 的值域；

（2）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2c =，锐角A 满足：142

A f ⎛⎫=

⎪⎝⎭．点

D 满足：3AD DC =，BD =，求ABC 的面积．

【答案】（1）12⎡⎤

⎢⎥⎣

⎦；（2）

【解析】()π1sin cos sin cos 32f x x x x x x ⎛⎫⎛

⎫=⋅++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

211sin 2sin 2244x x x x =-+=+

1πsin 223x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

当π0,2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦

，

πsin 232x ⎡⎤⎛

⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()142f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣

⎦．

∴()f x

的值域是142⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦

． （2）1π1

sin 42232

A A f ⎛⎫⎛⎫=+=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，可得π

3A =，

设DC x =，则3AD x =

，BD =

，

由余弦定理，(

)

)

2

2

2

321cos 232

2

x A x +-

=

=

⨯⨯，解得1x =或2x =，

又11sin 2422ABC S AB AC A x =

⋅⋅=⨯⨯=△， ∴ABC

的面积为

3．（2020·泰安市基础教育教学研究室高三其他模拟）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：

改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21 改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36 （1）完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?

（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T 天(即从开工运行到第kT 天，k ∈N*)进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还