高中数学直线与椭圆的弦长公式 (1)

消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
解得k1=25，k2 =-25 由图可知k 25.
8
y
直线m为：4x 5y 25 0
x 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
且d 40 25 15 41 42 52 41
dmax
思考：最大的距离是多少？
40 25 42 52
65 41
41
9
知识点1：弦长问题
若直线 l
:
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kx
m与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的
交点为 A(x1, y1), B(x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。
弦长公式：
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
直线和椭圆的位置关系
1
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(两个交点)
2
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0
由方程组：
x2
y2
a2 b2 1
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
=0
方程组有一解
<0
方程组无解
两个交点 一个交点 无交点
相交 相切 相离
3
练习
1：直线y=x+1与椭圆 x2 y 2 1 恒有公共点,
5m
求m的取值范围。
4
练习2.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
42 52
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
且 x02 y02 1 25 9
m m
7
y
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
| AB | 1 k 2 (x1 x2 )2 1 k 2 | x1 x2 |
| AB |
1 1 k2
( y1 y2 )2
1 1 k 2 | y1 y2 |
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例1：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
y2
（适用于任何曲线）
2、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的 斜率。
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课后作业
1、已知椭圆 x2 +y2 =1，过左焦点F作倾斜角为 的直线
9
6
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长
2、已知椭圆 x2 +y2 =1及点B（0， 2），过椭圆的左焦 2
3
3
当- 6 k< 6 时没有交点
3
3
练习3.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足( D )
x2 y2 1 94
A.没有公共点
B.一个公共点
C.两个公共点
D.有公共点
5
教学目标
通过本节课的教学，要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式，以及能够用点差法 解决弦中点问题。
6
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
(3)韦达定理；
(4)弦长公式.
11
变式1：已知椭圆 x2 y2 1,过椭圆右焦点的直线l交 4
椭圆于A, B两点，且 AB = 8，求直线l方程。 5
12
练习
已知椭圆ax2 by2 1于直线x y 1 0交于A, B两点， 且 AB 2 2，若AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 为 2 ，求a,b的值。
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造
出中点坐标和斜率．
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练习
如果椭圆被 x2 y2 1 的弦被点（4，2）平分，
36 9
求这条弦所在直线方程。
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小结
1、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
2
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知识点2：弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
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例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
解后反思
中点弦问题 求解关键在 于充分利用 “中点”这 一条件，灵 活运用中点 坐标公式及 韦达定理
点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2， 求CDF2的面积。 3、已知椭圆 x2 + y2 =1某一条弦AB被P（1,1）平分，
94
求直线AB所在的直线方程。
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