实数大小比较的常用方法
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实数的大小比较的常用方法
一、法则法
比较实数大小的法则是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。
例1 比较π-与5-的大小。
析解:由于5|5|,||=-π=π-,且5>π,所以5-<π-。
说明:利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。
二、平方法
用平方法比较实数大小的依据是:对任意正实数a 、b 有:b a b a 2
2>⇔>。
例2 比较73与37的大小。
析解:由于147)37(,63)73(2
2==,而14763<,所以3773<。
说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。
三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小的理论依据是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
例3 若有理数a 、b 、c 对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a 、-a 、b 、-b 、c 、-c 的大小。
析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a 、-a 、b 、-b 、c 、-c 表示的点画出来,容易得到结论:.c b a a b c <-<<-<<-
四、作差法:
差值比较法的基本思路是设a ,b 为任意两个实数,先求出a 与b 的差,再根据
当a -b ﹥0时,得到a ﹥b 。 当a -b ﹤0时,得到a ﹤b 。 当a -b =0,得到a=b 。
例1:(1)比较与的大小。 (2)比较1-与1-的大小。
解 ∵-=<0 , ∴<。 解 ∵(1-)-(1-
)=
>0 , ∴1-
>1-
。
例2、比较的大小。
解析:因为
,所以
。
五、作商法
比较实数的大小的依据是:对任意正数a 、b 有:;b a 1b a ;b a 1b a =⇔=>⇔>.
b a 1b a
<⇔<来比较
a 与
b 的大小。
例1:比较与的大小。
解:∵÷=<1 ∴<
例2 比较1200812008222111++与120081
2008333
222++的大小。
析解:设
1200812008n ,1200812008m 333222222
111++=++=, 1112008a =,则,2008a ,2008a 333
32222==
,
n m ,11a 2a 1a a a n m ,1a 2a 1a a a ,
a 2a a ,0)1a (a a 2a a ,1a 2a 1a a a 1a 1a 1a 1a n m ,
1
a 1
a n ,1a 1a m 2434434232232
434232322>∴>+++++=∴++>+++∴>+∴>-=-++++++=++⋅++=∴++=++=∴2
即.120081
20081200812008333
222222111++>++
例3:比较
20102009与2009
2008
的大小 解:20102009÷20092008=20102009×20082009=40360804036081﹤1
所以20102009﹤20092008
六、倒数法
倒数法的基本思路是设a ,b 为任意两个正实数,先分别求出a 与b 的倒数,再根据当>
时,a <b 。来比较a 与b 的大小。
例1:比较
-
与
-
的大小。
解∵=+ , =+
又∵+
<+ ∴
->
-
例2、已知a ﹥1,b ﹥2,试比较
12+a a 与2
3+a b
的大小 解:a a 12+=a a 2+a 1=2+a 1 因为a ﹥1,所以2+a
1﹤3
b a 23+=b b 3+b 2=3+b 2因为b ﹥2,所以3+b 2
﹥3 因为a a 12+﹤b a 23+ 所以12+a a ﹥2
3+a b
例3、设,则a 、b 、c 的大小关系是( )。
A 、a>b>c
B 、a>c>b
C 、c>b>a
D 、b>c>a
解析:当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时,可选用倒数法。
首先,,
,因为,所以,则b>c。又因为,所以,则a>b。由此可得:a>b>c。故选A。
七、平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a>0,b>0时,可由>得到a>b来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。
例5:比较与的大小
解:,=8+2。
又∵8+2<8+2∴<。
八、估算法
估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。
例4:比较与的大小
解:∵3<<4 ∴-3<1 ∴<
九.比较被开方数法。
基本是思路是,当a>0,b>0,若要比较形如a的大小,可先把根号外的因数a与c 平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。
例6:比较2与3的大小
解:∵2==,3==。
又∵28>27,∴2>3。
十、特殊值法
比较两个实数的大小,有时取特殊值会更简单。
例1:当时,,,的大小顺序是______________。